2018-2019学年河北省临漳县第一中学高二上学期第一次月考数学试题 Word版

2018-2019学年河北省临漳县第一中学高二上学期第一次月考数学试题 Word版

‎2018-2019学年河北省临漳县第一中学高二上学期第一次月考数学卷 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。‎ 第I卷 ‎ 一、 选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（　　）‎ A. ‎100 B. 99 C. 98 D. 97‎ 2. 设集合A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|2x-3＞0}，则A∩B=（　　）‎ A. （-3，-） B. （-3，） C. （1，） D. （，3）‎ 3. 设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a=3，，，则B=（　　）‎ A. B. C. 或 D. ‎ 4. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.若sinB·sinC=sin2A,则△ABC的形状是（）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 5. 设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（　　）‎ A. -15 B. -9 C. 1 D. 9‎ 6. 已知数列满足递推关系：，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ 7. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是　　‎ ‎2018-2019学年河北省临漳县第一中学高二上学期第一次月考数学卷 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。‎ 第I卷 ‎ 一、 选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（　　）‎ A. ‎100 B. 99 C. 98 D. 97‎ 2. 设集合A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|2x-3＞0}，则A∩B=（　　）‎ A. （-3，-） B. （-3，） C. （1，） D. （，3）‎ 3. 设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a=3，，，则B=（　　）‎ A. B. C. 或 D. ‎ 4. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.若sinB·sinC=sin2A,则△ABC的形状是（）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 5. 设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（　　）‎ A. -15 B. -9 C. 1 D. 9‎ 6. 已知数列满足递推关系：，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ 7. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ 1. 已知两个正数a，b满足3a+2b=1，则+的最小值是（　　）‎ A. 23 B. 24 C. 25 D. 26‎ 2. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　）‎ A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏[]‎ 3. 设a=log73，，c=30.7，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. b＜c＜a D. b＜a＜c 4. 等差数列和，和的前n项和分别为与，对一切自然数n，都有，则等于　　‎ A. B. C. D. ‎ 5. 设x. y. z为正数，且，则 A. 2x<3y<5z B. 5z<2x<3y C. 3y<5z<2x D. 3y<2x<5z 第II卷 ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 6. 设等比数列{an}满足a1+a2=-1，a1-a3=-3，则a4=______．‎ 7. ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=______．‎ 8. 已知实数x，y满足x2+y2=1，则的取值范围是______ ．‎ 1. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______ ．‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70分）‎ 2. ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）‎ ‎=c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎ 18.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4． （1）求{an}的通项公式；‎ ‎ （2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和． ‎ 3. 已知集合A={x|m-1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（-x2+2x+8）的定义域为B． （1）当m=2时，求A∪B、（∁RA）∩B； （2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．‎ ‎ ‎ 1. 已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足（b-c）2=a2-bc． （1）求角A的大小；‎ ‎ （2）若a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积．‎ ‎ ‎ 2. ‎△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC． （Ⅰ）求C的大小； （Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．‎ ‎ ‎ 3. 设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，满足，，． （1）求证：数列为等比数列；‎ ‎ （2）求数列{Sn}的前n项和Tn． ‎ 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. C 2. D 3. A 4. C 5. A 6. C 7. C 8. C 9. B 10. D 11. C 12. D ‎ ‎13. -8  ‎ ‎14.   ‎ ‎15. [，+∞）．  ‎ ‎16. （-∞，-1）∪（4，+∞）  []‎ ‎17. 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0 已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC， 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC， 即2cosCsin（π-（A+B））=sinC 2cosCsinC=sinC ∴cosC=， ∴C=； （Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2-2ab•， ∴（a+b）2-3ab=7， ∵S=absinC=ab=， ∴ab=6， ∴（a+b）2-18=7， ∴a+b=5， ∴△ABC的周长为5+．  ‎ ‎18. 解：（1）设{an}是公差为d的等差数列， {bn}是公比为q的等比数列， 由b2=3，b3=9，可得q==3， bn=b2qn-2=3•3n-2=3n-1； 即有a1=b1=1，a14=b4=27， 则d==2， 则an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1； （2）cn=an+bn=2n-1+3n-1， 则数列{cn}的前n项和为 （1+3+…+（2n-1））+（1+3+9+…+3n-1）=n•2n+ =n2+．  ‎ ‎19. 解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|-2＜x＜4}， 则A∪B={x|-2＜x≤7}， 又∁RA={x|x＜1或x＞7}， 则（∁RA）∩B={x|-2＜x＜1}‎ ‎， （2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B， 分2种情况讨论： ①、当A=∅时，有m-1＞2m+3，解可得m＜-4， ②、当A≠∅时， 若有A⊆B，必有，解可得-1＜m＜， 综上可得：m的取值范围是：（-∞，-4）∪（-1，）．  ‎ ‎20. 解：（1）∵（b-c）2=a2-bc，可得：b2+c2-a2=bc， ∴由余弦定理可得：cosA===， 又∵A∈（0，π）， ∴A=, （2）由sinC=2sinB及正弦定理可得：c=2b， ∵a=3，A=， ∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=3b2， ∴解得：b=，c=2， ∴S△ABC=bcsinA==.  ‎ ‎21. 解：（Ⅰ）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， （2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC． ∴由已知，得， 即a2+b2-c2=-ab， ∴， 由0＜C＜π， ∴． （Ⅱ）∵，∴， ∴a=2sinA，b=2sinB． 设周长为l，则 = = ∵，∴2＜2sin（A+）+≤2+， ∴△ABC周长的最大值为．  ‎ ‎22. 证明：（1），，， ∴n（Sn+1-2Sn）=2Sn， ‎ ‎∴=2•， ∴a1=1， ∴=1， ∴数列是以1为首项，以2为公比的等比数列， （2）由（1）知， ∴， ∴Tn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n-1， ∴2Tn=1×21+2×22+…+（n-1）•2n-1+n•2n， 由错位相减得-Tn=1+21+22+…+2n-1-n•2n=-n•2n=2n-1-n•2n=（1-n）2n-1， ∴Tn=（n-1）2n+1.  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 【分析】‎ 本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键，根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案，属基础题．‎ ‎【解答】‎ 解：∵等差数列{an}前9项的和为27， ∴9a5=27，a5=3， 又∵a10=8， ∴d=1， ∴a100=a5+95d=98， 故选C.‎ ‎2. 【分析】 本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案． 【解答】 解：∵集合A={x|x2-4x+3＜0}=（1，3）， B={x|2x-3＞0}=（，+∞）， ∴A∩B=（，3）， 故选D.‎ ‎3. 【分析】 本题主要考查正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题． 由已知及正弦定理可求sinB==，利用小边对小角可知B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可解得B的值． 【解答】 解：∵a=3，，， ‎ ‎∴由正弦定理可得：sinB===， ∵a＞b， ∴B为锐角，B=． 故选A．‎ ‎4. 【解析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得．由sinB•sinC=sin2A，利正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．  本题主要考查了正余弦定理的应用，运用正余弦定理来判断三角形各个角之间的关系，属于简单题. 【答案】 解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA===， ∵A∈（0，π），∴． ∵sinB•sinC=sin2A， ∴bc=a2， 代入b2+c2=a2+bc，∴（b-c）2=0，解得b=c． ∴△ABC的形状是等边三角形． 故选：C．‎ ‎5. 解：x、y满足约束条件的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值， 由解得A（-6，-3）， 则z=2x+y 的最小值是：-15． 故选：A． 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可． 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．‎ ‎6. 【分析】[]‎ 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，，a1=，可得．再利用等差数列的通项公式即可得出，属于中档题．‎ ‎【解答】‎ 解：∵，a1=，∴． ∴数列是等差数列，首项为2，公差为1． ∴=2+2016=2018‎ ‎． 则． 故选C．‎ ‎7. 【分析】 本题主要考查了二次不等式的恒成立问题的求解，解题的关键是熟练应用二次函数的性质. 当k=0时，不等式kx2-kx+1＞0可化为不等式1＞0，显然成立；当k≠0时，不等式kx2-kx+1＞0恒成立，则，解不等式可求k的范围. 【解答】‎ 解：当k=0时，不等式kx2-kx+1＞0可化为1＞0，显然恒成立； 当k≠0时，若不等式kx2-kx+1＞0恒成立， 则对应函数的图象开口朝上且与x轴无交点， 则 解得：0＜k＜4， 综上k的取值范围是[0，4）， 故选C. ‎ ‎8. 【分析】 本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式应用的条件.根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案． 【解答】 解：根据题意，正数a，b满足3a+2b=1， 则， 即的最小值是25. ​故选C．‎ ‎9. 【分析】 本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题． 设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值． 【解答】 解：设这个塔顶层有a盏灯， ∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍， ∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列， 又总共有灯381盏， ∴381==127a，解得a=3‎ ‎， 则这个塔顶层有3盏灯， 故选B．‎ ‎10. 解：0=log71＜a=log73＜log77=1， ＜=0， c=30.7＞30=1， ∴b＜a＜c． 故选：D． 利用指数函数和对数函数的单调性求解． 本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．‎ ‎11. 解：∵S9==9a5，T9==9b5， ∴a5=S9，b5=T9， 又∵当n=9时，=， ∴==， 故选：C． 利用等差数列的前n项和公式分别表示出等差数列{an}和{bn}的前n项的和分别为Sn和Tn，利用等差数列的性质化简后，得到a5=S9，b5=T9，然后将n=9代入已知的等式中求出的值，即为所求式子的值． 此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握等差数列的性质及求和公式是解本题的关键．‎ ‎12. 解：x、y、z为正数， 令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0． 则x=，y=，z=． ∴3y=，2x=，5z=． ∵==，＞=． ∴＞lg＞＞0． ∴3y＜2x＜5z． 故选：D． x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系． 本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎13. 解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=-1，a1-a3=-3， ∴a1（1+q）=-1，a1（1-q2）=-3‎ ‎， 解得a1=1，q=-2． 则a4=（-2）3=-8． 故答案为：-8． 设等比数列{an}的公比为q，由a1+a2=-1，a1-a3=-3，可得：a1（1+q）=-1，a1（1-q2）=-3，解出即可得出． 本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎14. 解：由cosA=，cosC=，可得 sinA===， sinC===， sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=， 由正弦定理可得b= ==． 故答案为：． 运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值． 本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎15. 解：由题意作出如下图形： 令k=，则k可看作圆x2+y2=1上的动点P到定点A（-1，-2）的连线的斜率而相切时的斜率， 由于此时直线与圆相切，设直线方程为：y+2=k（x+1）， 化为直线一般式为：kx-y+k-2=0， 利用直线与圆相切建立关于k的方程为：=1， ∴k= 而由题意及点P所在的位置图可以知道斜率k临界下时斜率为，而由于点A的横坐标与单位圆在x轴的交点横坐标一样，此时过点A与单位圆相切的直线的倾斜角为90°，所以斜率无最大值． 综合可得，的取值范围是[，+∞）． 故答案为：[，+∞）． 由题意，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子形式可以联想成在单位圆上动点P与定点A构成的斜率，进而求解． 此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．‎ ‎16. 【分析】 本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想，求最值，同时考查乘1法和基本不等式的运用，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题和一小题． 【解答】 解：正实数x，y满足+=1， 则x+=（+）（x+）=2++≥2+2=4， 当且仅当y=4x=8，x+取得最小值4． 由x+＜m2-3m有解，可得m2-3m＞4， 解得m＞4或m＜-1． 故答案为（-∞，-1）∪（4，+∞）．‎ ‎17. 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． （I）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数； （II）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．‎ ‎18. （1）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式； （2）求得cn=an+bn=2n-1+3n-1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和． 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎19. （1）根据题意，由m=2可得A={x|1≤x≤7}，由并集定义可得A∪B的值，由补集定义可得∁RA={x|x＜1或x＞7}，进而由交集的定义计算可得（∁RA）∩B，即可得答案； （2）根据题意，分析可得A⊆B，进而分2种情况讨论：①、当A=∅时，有m-1＞2m+3，②、当A≠∅时，有，分别求出m的取值范围，进而对其求并集可得答案． 本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，（2）中注意A可能为空集．‎ ‎20. （1）由已知等式可得b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值． （2）由sinC=2sinB及正弦定理可得c=2b，又a=3，A=，由余弦定理可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可得解．‎ ‎21. （Ⅰ）由正弦定理得到a2+b2-c2=-ab，由此利用余弦定理能求出． （Ⅱ）由正弦定理求出a=2sinA，b=2sinB．由此利用正弦加法定理求出周长l=，由此能求出△ABC 周长的最大值． 本题三角形周长的最大值的求法，考查余弦定理、正弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、方程与函数思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎22. （1）先根据向量的平行得到n（Sn+1-2Sn）=2Sn，继而得到=2•，问题得以证明， （2）由（1）可得以，由错位相减法即可求出数列{Sn}的前n项和Tn． 本题考查了向量的平行和等比数列的定义和错位相减法求和，属于中档题．‎