北京市昌平区新学道临川学校2020届高三上学期期末考试数学（文）试题

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‎2019-2020学年临川学校高三（上）期末数学试卷（文科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数的虚部为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：，所以的虚部是，故选C．‎ 考点：本题主要考查复数的概念及其代数运算．‎ 点评：简单题，首先计算并化为代数形式，再确定虚部．‎ ‎2.设集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式，求出集合，再与集合求交集即可.‎ ‎【详解】因为，又，‎ 所以.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题型.‎ ‎3.已知，则＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由同角三角函数基本关系将转化，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，，所以.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，属于基础题型.‎ ‎4.某校开设共4门选修课，一位同学从中随机选取2门，则与未同时被选中的概率为(　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求与同时被选中的概率，再由互为对立事件的概率之和为1，即可求出结果.‎ ‎【详解】记“与同时被选中”为事件A，所以事件A发生的概率为，‎ 所以与未同时被选中的概率为.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查古典概型，属于基础题型.‎ ‎5.，使得，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由分离参数得到，求出的最小值即可.‎ ‎【详解】因为，所以，当且仅当时，取等号，所以只需，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用基本不等式处理不等式成立的问题，属于基础题型.‎ ‎6.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. 4 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图先确定几何体的形状，由体积公式即可求解.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，其底面为等腰直角三角形，且腰长为2，三棱柱的高为2，所以该三棱柱的体积为.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查由三视图来求几何体的体积，属于基础题型.‎ ‎7.设向量，满足，，则( )‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合向量的运算法则求解其模即可.‎ ‎【详解】由题意结合向量的运算法则可知：‎ ‎.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8.设为等差数列，，为其前项和，若，则公差( )‎ A. -2 B. ‎-1 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合等差数列的性质和前n项和的定义求解公差即可.‎ 详解】由题意可得：，‎ 则，等差数列的公差.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的前n项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9.已知是抛物线的焦点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线交于，两点，若为等边三角形，则的离心率（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出，的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值．‎ ‎【详解】解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为：，‎ 联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程，‎ 解得，可得，‎ 为等边三角形，可得，即有，‎ 则．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．‎ ‎10.已知函数的图像与轴相切，则( )‎ A. -1 B. ‎0 ‎C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设切点坐标，再由题意可得且，解方程组即可求出.‎ 详解】设切点为，由得，所以，‎ 所以由题意可得，，所以，‎ 由函数与的图像易知，两函数交点只有一个，且横坐标为0，‎ 所以解得，所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的切线问题，通常先设切点坐标，由题意列方程组求解，属于基础题型.‎ ‎11.已知圆锥的顶点为，为底面中心，为底面圆周上三点，为底面的直径，，为的中点，为弧的中点.设直线与直线所成角为，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先取OA中点N，连结MN，NC，只需说明等于直线与直线所成角，再解三角形即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为在圆锥中，为底面的直径，为圆锥的顶点，所以底面，‎ 取OA中点N，连结MN，NC，因为为的中点，所以,故等于直线与直线所成角.‎ 设,由题意，，所以,‎ 故,,‎ 所以,‎ 故，选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，只需用立体几何法在几何体中作出异面直线所成的角，解三角形即可，属于基础题型.‎ ‎12.已知点在圆上，，，为中点，则的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的特征可确定为锐角，因此只需求出的正切值的最大值即可.‎ ‎【详解】设，因为为中点，所以，所以，‎ 因为点在圆上，则,不妨令，‎ 则，‎ 令，则 所以当且仅当时，取最大值，故.故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的综合，通常情况下，需要依题意表示出所求的量，通过求函数的值域来确定结果，属于中档试题.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若，满足约束条件则的最大值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.‎ ‎【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值，‎ 联立直线方程：，可得点的坐标为：，‎ 据此可知目标函数的最大值为：.‎ ‎【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎14.已知函数则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可.‎ ‎【详解】结合函数的解析式分类讨论：‎ 当时，，解得：，此时，‎ 当时，，解得，此时，‎ 综上可得，不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15.已知是数列的前项和，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由和，可求出数列的通项公式，从而可求出结果.‎ ‎【详解】因为是数列的前项和，，‎ 所以由，所以，‎ 所以数列是以为公比的等比数列，又，所以，‎ 故,所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列，属于基础题型.‎ ‎16.若函数（，）的图像关于点对称，且在上单调递减，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数图像关于点对称，且在上单调递减，可列出关于的不等式组，再由，可求出结果.‎ ‎【详解】因为的图像关于点对称，且在上单调递减，‎ 所以有，即，又 ，‎ 因为，所以有，‎ 所以，因为,‎ 所以，故.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，通常借助函数的单调性和周期性来处理，属于中档试题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：60分 ‎17.如图，在梯形中，，为上一点，，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）设，若，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先由题中条件求出，再由余弦定理即可求解；‎ ‎(2)先由，表示出，进而可用表示出，，再由，即可求解.‎ 详解】解：（1）由，，得.‎ 在中，；‎ 在中，． ‎ 在中，由余弦定理得，‎ ‎，‎ ‎． ‎ ‎（2）因为，所以，．‎ 在中，；‎ 在中，， ‎ 由得，， ‎ 所以，即， ‎ 整理可得．‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形的问题，常用余弦定理和正弦定理等来处理，属于基础题型.‎ ‎18.在三棱柱中，侧面是菱形，，平面平面，为的中点，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由直线与平面垂直的判定定理，结合题中条件，即可证明结论成立；‎ ‎(2)由三棱柱的体积公式，即可求解.‎ ‎【详解】解：（1）连接．‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ 且，平面，‎ ‎∴平面， ‎ 而平面，∴，‎ 又，则有，‎ ‎∵四边形是菱形，，‎ ‎∴为边长为2的等边三角形， ‎ ‎∵为的中点，∴，即，‎ 又，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）由（1）得，又，‎ ‎∵平面，而平面，‎ ‎∴，又，则有，‎ 所以的面积为． ‎ 由（1）可知平面，‎ 三棱锥的体积 ‎． ‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定定理，以及几何体的体积，属于基础题型.‎ ‎19.近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如下表：‎ 年份 ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 年份序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 工业增加值 ‎13.2‎ ‎13.8‎ ‎16.5‎ ‎19.5‎ ‎20.9‎ ‎22.2‎ ‎23.4‎ ‎23.7‎ ‎24.8‎ ‎28‎ 依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎5.5‎ ‎20.6‎ ‎82.5‎ ‎211.52‎ ‎129.6‎ ‎（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值（万亿元）与年份序号回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数，其拟合指数；研究人员乙采用函数，其拟合指数；研究人员丙采用线性函数，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.（注：相关系数与拟合指数满足关系）.‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；‎ ‎（3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.‎ 附：样本 的相关系数，‎ ‎，，.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）2019‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1），.‎ 因为越大，拟合效果越好，所以丙的拟合效果最好．‎ ‎（2），‎ ‎.‎ 因此关于的线性回归方程为．‎ ‎（3）从2008年开始计数，‎ ‎2018年是第11年，其工业增加值的预报值：‎ ‎.‎ ‎2019年是第12年，其工业增加值的预报值：‎ ‎.‎ 故可以预测到2019年的工业增加值能突破30万亿元大关．‎ ‎【点睛】本题主要考查回归方程的求解与应用，相关系数的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎20.已知椭圆，离心率，过点的动直线与椭圆相交于，两点.当轴时，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知为椭圆的上顶点，证明为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先由离心率得到的关系，再由题中轴时，，即可求出，进而可得结果;‎ ‎(2)分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，联立直线与椭圆的方程，由根与系数关系，表示出直线的斜率，从而可证明结论成立.‎ ‎【详解】解：（1）由可得，所以，‎ 即，从而椭圆．‎ 当轴时，，由，不妨取，，‎ 代入椭圆，得，‎ 故椭圆．‎ ‎（2）依题意，．‎ 当的斜率存在时，设，，，‎ 将代入的方程，得， ‎ 当时，‎ ‎，． ‎ ‎，‎ 因为，，‎ 所以 ‎ ‎． ‎ 由（1）得，当的斜率不存在时，，，‎ 所以．‎ 综上，．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的方程，以及椭圆的几何性质，通常情况下联立直线与椭圆方程，由根与系数关系，结合题意求解，属于中档试题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）若有两个极值点，，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先对函数求导，再根据条件可得恒成立，进而可求结果；‎ ‎(2)由(1)以及根与系数关系，先找到，的关系，将转化为关于的函数，研究函数的单调性，即可证明结论成立.‎ ‎【详解】解：（1） ‎ 因为为单调增函数，所以，即恒成立， ‎ ‎，当且仅当时取等号，‎ 即． ‎ ‎（2）证明：由（1）得，‎ 依题意可得的两个零点为，，‎ 所以，且，． ‎ 所以 ‎ ‎ 令，．则，单调递减，‎ 因为，所以，故．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常情况下，需要构造函数，用导数的方法来处理，难度较大.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在极坐标系中，直线，圆.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和圆的参数方程；‎ ‎（2）已知点在圆上，到和轴的距离分别为，，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）直线的直角坐标方程为：；圆的参数方程为（为参数，且）；（2）7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用极坐标方程与直角坐标方程，普通方程与参数方程的转化方法进行转化即可；‎ ‎(2)结合(1)中的结论得到关于的表达式，结合三角函数的性质确定其最大值即可.‎ ‎【详解】（1）由得，；‎ 所以直线的直角坐标方程为：；‎ 由圆得， ，因为， ，，‎ 所以圆直角坐标方程：‎ 由得，‎ 圆的参数方程为（为参数，且），‎ ‎（2）设点坐标为，‎ 则 ，．‎ 那么，‎ 当时，取得最大值7．‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，最值问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎23.已知.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意零点分段确定不等式的解集即可；‎ ‎(2)结合(1)中的结论绘制函数和的图象，结合函数图像可知题中的不等式成立.‎ ‎【详解】（1）不等式等价于 或或 解得， ，或，或．‎ 所以，不等式的解集是．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以 ‎ ‎ 如图所示，画出函数和的图象，‎ 观察图象，可得．‎ ‎【点睛】绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎