【数学】2019届一轮复习北师大版概率与统计学案
【命题热点突破一】抽样方法
例1、【2017江苏，3】 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件.
【答案】18
【解析】所求人数为，故答案为18．
【变式探究】某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150件、120件、180件、150件．为了调查产品的情况，需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本，若采用分层抽样法，设甲产品中应抽取的产品件数为x，某件产品A被抽到的概率为y，则x，y的值分别为( )
A．25， B．20，
C．25， D．25，
【答案】D
【解析】抽取比例为＝，故x＝150×＝25，每个个体被抽到的概率均为＝.
【特别提醒】 三种抽样方法均是等概率抽样，当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
【变式探究】
从编号分别为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．
【答案】74
【命题热点突破二】用样本估计总体
例2、【2016高考山东】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位 小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
（A）56 （B）60 （C）120 （D）140
【答案】D
【变式探究】(1)将某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图183所示)，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
图183
A．91，91.5 B．91，92
C．91.5，91.5 D．91.5，92
(2)2014年6月，一篇关于“键盘侠”(“键盘侠”一词描述了部分 民在现实生活中胆小怕事自私自利，却习惯在 络上大放厥词的一种现象)的时评引发了大家对“键盘侠”的热议．某地区新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可度做出调查 在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度．若该地区有9600人，则估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．
【答案】（1）C （2）6912
【解析】（1）中位数为＝91.5，平均数为90＋＝91.5.
（2）根据样本估计总体的思想，可知该地区群众对“键盘侠”持反对态度的概率约为
，所以该地区9600人中对“键盘侠”持反对态度的大约有9600×＝6912（人）.
【特别提醒】 统计的基本思想之一就是以样本估计总体．以样本的频率估计总体的概率、以样本的特征数估计总体的特征数．
【变式探究】
(1)某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外进行体育锻炼的时间(分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5)，[5，10)，…，[35，40]，作出的频率分布直方图如图184所示，则原始的茎叶图可能是( )
图184
图185
(2)高三年级上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图186所示，数据分组依次如下
[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]．
估计该班数学成绩的平均分数为( )
图186
A．112
B．114
C．116
D．120
【答案】（1）B （2）B
【解析】（1）根据频率分布直方图，可知样本中位于区间[15，20）内的数据有20×0.02×5＝2（个），位于区间[20，25）内的数据有20×0.04×5＝4（个），据此检验只有选项B中的茎叶图符合.
（2）由图易知该班数学成绩的平均分数为80×0.005×20＋100×0.015×20＋120×0.02×20＋140×0.01×20＝114. 学
【命题热点突破三】统计案例
例3、某高校共有15 000人，其中男生10 500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均参加体育运动时间情况，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均参加体育运动时间的样本数据(单位 小时)．
(1)应收集多少名女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均参加体育运动时间的频率分布直方图(如图187所示)，其中样本数据分组区间为[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，估计该校学生每周平均参加体育运动时间超过4个小时的概率．
(3)在样本数据中，有60名女生每周平均参加体育运动的时间超过4个小时，请画出每周平均参加体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95 的把握认为“该校学生每周平均参加体育运动的时间与性别有关”．
P( 2≥ 0)
0.10
0.05
0.010
0.005
0
2.706
3.841
6.635
7.879
附 2＝
【解析】
（3）由（2）知，300名学生中有300×0.75＝225（名）学生每周平均参加体育运动的时间超过4小时，其余75名学生每周平均参加体育运动的时间不超过4小时.又因为抽取的300名学生中有210名男生、90名女生，所以每周平均参加体育运动时间与性别的列联表如下
男生
女生
总计
每周平均参加体育运动
的时间不超过4小时
45
30
75
每周平均参加体育运动
的时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可得 2的观测值 ＝＝≈4.762>3.841.
所以有95 的把握认为“该校学生每周平均参加体育运动的时间与性别有关”.
【特别提醒】 在计算 2时要注意公式中各个字母的含义，分子上是总量乘2×2列联表中对角线数字乘积之差的平方，分母上是四个分和量的乘积．
【变式探究】
为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x(单位 小时)与当天投篮命中率y之间的关系.
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
(1)求小李这5天的平均投篮命中率；
(2)用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．
【解析】
所以＝x＋＝0.01x＋0.47.
当x＝6时，＝0.53，故小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53.
【特别提醒】 回归直线一定过样本点的中心(x，y)，当已知回归直线方程两个系数中的一个时，可以直接代入样本点中心的坐标求得另一个系数．正相关和负相关是根据回归直线方程的斜率判断的 正相关时回归直线方程的斜率为正值；负相关时回归直线方程的斜率为负值．回归直线方程斜率的符号与相关系数的符号是一致的．
【命题热点突破四】古典概型与几何概型
例4、【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形 自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A． B．
C． D．
【答案】B
【变式探究】【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7 00,8 00,8 30发车,小明在7 50至8 30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】如图所示,画出时间轴
小明到达的时间会随机的落在图中线段中,而当他的到达时间落在线段或时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率．故选B．
【变式探究】三位学生两位老师站成一排，则老师站在一起的概率为________．
【答案】
【解析】三位学生两位老师站成一排，有A＝120（种）站法，老师站在一起，共有AA＝48（种）站法，故老师站在一起的概率为＝.学* 学 ]
【特别提醒】求古典概型的概率的关键是计算基本事件的个数和所求的随机事件含有的基本事件的个数，在计算时要注意不要重复也不要遗漏
【变式探究】
已知圆O x2＋y2＝12，直线l 4x＋3y＝25，则圆O上的点到直线l的距离小于2的概率为________．
【答案】
【特别提醒】与角度相关的几何概型问题一般用直接法，或转化为与线段长度、面积有关的几何概型问题．计算与线段长度有关的几何概型的方法是 求出基本事件对应的线段长度、随机事件对应的线段长度，随机事件对应的线段长度与基本事件对应的线段长度之比即为所求．
【举一反三】
如图所示，
大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短直角边长为3，向大正方形内抛撒一颗黄豆(假设黄豆不落在线上)，则黄豆恰好落在小正方形内的概率为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【特别提醒】计算与面积相关的几何概型的方法 算出基本事件对应图形的面积和随机事件对应图形的面积，随机事件对应图形的面积与基本事件对应图形的面积之比即为所求．
【变式探究】
某高二学生练习投篮，每次投篮命中率约为30 ，现采用随机模拟的方法估计该生投篮命中的概率 选用计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2表示命中，4，5，6，7，8，9表示不命中，再以每3个随机数为一组，代表3次投篮的结果．经随机模拟产生了如下随机数
807 956 191 925 271 932 813 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 527 989
据此估计该学生3次投篮恰有2次命中的概率为( )
A．0.15 B．0.25
C．0.2 D．0.18
【答案】C
【解析】随机数共有20组，其中表示3次投篮恰有2次命中的有191，271，027，113，共4组，所以所求概率约为＝0.2.
【特别提醒】每次命中率约为30 ，3次投篮命中2次的概率，可以看作3次独立重复试验恰好成功2次的概率，直接计算为C×0.32×0.7＝0.189，与随机模拟方法求得的概率具有差异．随机模拟的方法求得的概率具有随机性，两次随机模拟求得的概率值可能是不同的．
【命题热点突破五】相互独立事件和独立重复试验
例5、【2017课标II，理18】海水养殖场进行某水产品的新、旧 箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个 箱，测量各箱水产品的产量（单位 g）某频率分布直方图如下
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件 “旧养殖法的箱产量低于50 g, 新养殖法的箱产量不低于50 g”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关
箱产量＜50 g
箱产量≥50 g
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
附
【答案】（1）；（2）见解析；（3）.
【解析】（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于” ， 表示事件“新养殖法的箱产量不低于” 学
由题意知
旧养殖法的箱产量低于的频率为
故的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于的频率为
故的估计值为0.66
因此，事件A的概率估计值为
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量
箱产量
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
由于
故有的把握认为箱产量与养殖方法有关．
【变式探究】某项比赛规则是
甲、乙两队先进行个人赛，每支参赛队中成绩的前三名队员再代表本队进行团体赛，团体赛是在两队名次相同的队员之间进行，且三场比赛同时进行．根据以往比赛统计 两名队员中个人赛成绩高的队员在各场胜的概率为，负的概率为，且各场比赛互不影响．已知甲、乙两队各有5名队员，这10名队员的个人赛成绩如图所示．
(1)计算两队在个人赛中成绩的均值和方差；
(2)求甲队在团体赛中至少有2名队员获胜的概率．
【解析】
（2）设“甲队中参加个人赛成绩为第i名的队员在团体赛中获胜”为事件Ai（i＝1，2，3）.
由题意可知P（A1）＝，P（A2）＝P（A3）＝，且A1，A2，A3相互独立.
设“甲队至少有2名队员获胜”为事件E，则E＝A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3，
故P（E）＝××＋××＋××＋××＝.
【特别提醒】在做涉及相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的互斥事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，如果某些相互独立事件符合独立重复试验的特点，那么就用独立重复试验的概率计算公式解答．
【变式探究】
已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检验将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位 元)，求X的分布列和均值(数学期望)．
【解析】
解 （1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，
则P（A）＝＝.
（2）X的可能取值为200，300，400.
P（X＝200）＝＝，
P（X＝300）＝＝，
P（X＝400）＝1－P（X＝200）－P（X＝300）＝1－－＝.
故X的分布列为
X
200
300
400
P
所以E（X）＝200×＋300×＋400×＝350.
【命题热点突破六】随机变量的分布列、均值与方差
例6、【2017课标1，理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位 cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．
附 若随机变量服从正态分布，则，
，．
【答案】（1）.（2）（i）见解析；（ii）.
【解析】
（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.因此
.
的数学期望为.
（ii）由，得的估计值为， 的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10.02.
，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为.学
【变式探究】【2016年高考四川】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 .
【答案】
【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数的取值为，其中
在1次试验中成功的概率为，
所以在2次试验中成功次数的概率为，，
则.学
【变式探究】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3此密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．
（2）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3.
又P（X＝1）＝，P（X＝2）＝×＝，P（X＝3）＝××1＝，
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
所以E（X）＝1×＋2×＋3×＝.
【特别提醒】求离散型随机变量分布列的关键有两点 一是确定离散型随机变量的所有可能取值，不要遗漏；二是根据离散型随机变量取值的实际意义求出其各个值的概率．
【变式探究】
某树苗培育基地为了解该基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度(单位 cm)，并将所得数据分组，得到频率分布表如下
组距
频数
频率
[100，102)
17
0.17
[102，104)
18
0.18
[104，106)
24
0.24
[106，108)
a
b
[108，110)
6
0.06
[110，112]
3
0.03
合计
100
1
(1)求上表中a，b的值；
(2)估计该基地榕树树苗的平均高度；
(3)该基地从高度在区间[108，112]内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中高度在区间[110，112]内的有X株，求X的分布列和数学期望．
【解析】
（3）由频率分布表知树苗高度在区间[108，112]内的有9株，在区间[110，112]内的有3株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3.
P（X＝0）＝＝＝，P（X＝1）＝＝＝，
P（X＝2）＝＝＝，P（X＝3）＝＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
[ | |X|X| ]
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【特别提醒】常见的离散型随机变量的概率分布模型有两个 超几何分布和二项分布．从摸球模型上看，超几何分布是不放回地取球，二项分布是有放回的取球．注意从摸球模型理解这两个分布．
【变式探究】
将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到如图所示的黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，.
(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望．
【解析】
解 (1)记“小球落入A袋中”为事件M，“小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件为事件N.
若小球落入A袋中，则小球一直向左落下或一直向右落下，
故P(M)＝＋＝＋＝，
从而P(N)＝1－P(M)＝1－＝.学
ξ
0
1
2
3
4
P
故ξ的数学期望E(ξ)＝4×＝.
【特别提醒】求解离散型随机变量的期望和方差的基本方法 先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后分别求出取这些值时的概率，列出分布列，最后根据公式计算随机变量的数学期望和方差．
【命题热点突破七】求解离散型随机变量的分布列、期望与方差，利用期望与方差进行决策问题
例7、【2017北京，理17】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）
【答案】（1）0.3（2）见解析（3）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人 A和C.
所以的所有可能取值为0,1,2.
.
所以的分布列为
0
1
2
故的期望.
（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
【变式探究】
某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为6万元．根据以往经验，今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半，否则与前一天持平．现有两种采摘方案
方案① 茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；
方案② 茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人的成本为3.2万元．
根据天气预报，该地区5月12日不降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40 ，每天是否下雨互不影响．
(1)若采用方案①，求茶厂14日当天采茶的预期收益；
(2)从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理．
【解析】
(2)茶厂若采用方案①，设茶厂13日采茶的预期收益为η万元，则η的可能取值为6和3.
因为P(η＝6)＝，P(η＝3)＝，
所以η的分布列为
η
6
3
P
所以η的数学期望E(η)＝6×＋3×＝4.8，
所以若茶厂采用方案①，则采茶的总收益为6＋4.8＋3.84＝14.64(万元)；
若茶厂采用方案②，则采茶的总收益为6×3－3.2＝14.8(万元)．
因为14.64<14.8，所以茶厂采用方案②更合理．
【易错提醒】 (1)对问题的实际意义理解不透，弄错ξ的取值；(2)求ξ取各个值的概率时出现计算方面的错误；(3)对采用方案①采茶的总预期收益的意义理解错误，不能正确求出采用方案①采茶的总预期收益；(4)找错两种方案优劣的比较标准．
【变式探究】为迎接中秋节，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金m元，正确回答问题B可获奖金n元．活动规定 参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动终止．假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大？
【解析】
②先回答问题B，再回答问题A，则参与者获奖金额η的可能取值为0，n，m＋n，
则P(η＝0)＝1－P2＝，
P(η＝n)＝P2(1－P1)＝×＝，
P(η＝m＋n)＝P2P1＝×＝，
故E(η)＝0×＋n×＋(m＋n)×＝＋.
因为E(ξ)－E(η)＝(＋)－(＋)＝，
所以当>时，E(ξ)＞E(η)，即先回答问题A，再回答问题B，该参与者获奖金额的期望值较大；
当＝时，E(ξ)＝E(η)，无论是先回答问题A，再回答问题B，还是先回答问题B，再回答问题A，该参与者获奖金额的期望值相等；学
当<时，E(ξ)
C．>，< D．>，>
【答案】A
【解析】
，选A．
4.【2017山东，理5】为了研究某班学生的脚长（单位 厘米）和身高（单位 厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由已知 ,选C. 学 .
【考点】线性相关与线性回归方程的求法与应用．
5.【2017山东，理8】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
6.【2017课标II，理13】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 。
【答案】1.96
【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得．
7.【2017山东，理18】（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下 将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果 评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率。
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
【答案】（I）(II)X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
X的数学期望是.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
X的数学期望是
=
【考点】1.古典概型.2.随机变量的分布列与数学期望.3.超几何分布.
8.【2017课标1，理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位 cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．
附 若随机变量服从正态分布，则，
，．
【答案】（1）.（2）（i）见解析；（ii）.
【解析】
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学 可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由，得的估计值为， 的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10.02.
，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为.学
9.【2017课标II，理18】海水养殖场进行某水产品的新、旧 箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个 箱，测量各箱水产品的产量（单位 g）某频率分布直方图如下
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件 “旧养殖法的箱产量低于50 g, 新养殖法的箱产量不低于50 g”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关
箱产量＜50 g
箱产量≥50 g
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
附
【答案】（1）；（2）见解析；（3）.
【解析】（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于” ， 表示事件“新养殖法的箱产量不低于”
由题意知
旧养殖法的箱产量低于的频率为
故的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于的频率为
故的估计值为0.66
因此，事件A的概率估计值为学
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量
箱产量
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
由于
故有的把握认为箱产量与养殖方法有关．
10.【2017北京，理17】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）
【答案】（1）0.3（2）见解析（3）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人 A和C.
所以的所有可能取值为0,1,2.
.
所以的分布列为
0
1
2
故的期望.
（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
【考点】1.古典概型；2.超几何分布；3.方差的定义.
11.【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.
（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.
【解析】
所以，随机变量的分布列为
0
1
2
3
随机变量的数学期望.
（Ⅱ）解 设表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
.
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.学
【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望
12.【2017课标3，理18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位 ℃
）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位 瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位 元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位 瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【答案】(1)分布列略；
(2) n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.
【解析】（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知
，，.
因此的分布列为
0.2
0.4
0.4
13. 【2017江苏，23】 已知一个口袋有个白球,个黑球(
),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉.
1
2
3
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率;
（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,是的数学期望,证明
【答案】（1）（2）见解析
【解析】解 (1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为 .
(2) 随机变量 的概率分布为
X
…
…
P
…
…
随机变量 的期望为
.
所以
.
14.【2017江苏，3】 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件.
【答案】18
【解析】所求人数为，故答案为18．学*
15.【2017江苏，7】 记函数的定义域为.在区间上随机取一个数,则的概率是 ▲ .
【答案】
1.【2016年高考四川】（本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位 吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使85 的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9．
【解析】
（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．
由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
300 000×0.12=36 000．
（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，
所以2.5≤x<3．
由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，
解得x=2.9．
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85 的居民每月的用水量不超过标准．
2.【2016高考山东】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位 小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
（A）56 （B）60 （C）120 （D）140
【答案】D
【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时为后三组，有（人），选D. 学
1. 【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7 00,8 00,8 30发车,小明在7 50至8 30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
2.【2016高考新课标3】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和
平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为
．下面叙述不正确的是（ ）
(A)各月的平均最低气温都在以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大
(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于的月份有5个
【答案】D
3.【2016高考山东】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位 小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
（A）56 （B）60 （C）120 （D）140
【答案】D
【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时为后三组，有（人），选D.
4.【2016高考新课标2】从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为，所以.选C.
5.【2016年高考北京】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【答案】C
6.【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .
【答案】
【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为
7.【2016年高考四川】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 .
【答案】
8.【2016高考新课标2】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说 “我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说 “我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说 “我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．
【答案】1和3
【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.
9.【2016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.
【答案】0.1
【解析】这组数据的平均数为，．故答案应填 0.1，
10.【2016高考山东】在上随机地取一个数 ，则事件“直线y= x与圆相交”发生的概率为 .
【答案】
【解析】直线y= x与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率P=.
11.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求的分布列；
（II）若要求,确定的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？
【答案】（I）见解析（II）19（III）
所以的分布列为
16
17
18
19
20
21
22
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,故的最小值为19.
（Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位 元）. 学
当时,
.
当时,
.
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.
12.【2016高考新课标2】某险种的基本保费为（单位 元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下
上年度出险次数
0
1
2
3
4
5
保费
0.85
1.25
1.5
1.75
2
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下
一年内出险次数
0
1
2
3
4
5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60 的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）设表示事件 “一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故
（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
13.【2016年高考四川】（本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位 吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使85 的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9．
【解析】
（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．
由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
300 000×0.12=36 000．
14.【2016年高考北京】（本小题13分）
A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位 小时）；
A班
6 6.5 7 7.5 8
B班
6 7 8 9 10 11 12
C班
3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
（1）试估计C班的学生人数；
（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位 小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，（结论不要求证明）
【答案】（1）40；（2）；（3）.
【解析】
（1）由题意知，抽出的名学生中， 自班的学生有名，根据分层抽样方法，班的学生人数估计为；（2）设事件为“甲是现有样本中班的第个人”，，学
事件为“乙是现有样本中班的第个人”，，
由题意可知，，；，，
，,.
设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，
因此
（3）根据平均数计算公式即可知，.
15.【2016高考山东】（本小题满分12分）
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，
【解析】
由事件的独立性与互斥性，
,
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.学
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P
所以数学期望.
16.【2016高考天津】（本小题满分13分）
某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
【解析】解 由已知，有
所以，事件发生的概率为.
随机变量的数学期望.
17.【2016高考新课标3】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位 亿吨）的折线图
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（II）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注
参考数据 ，，，≈2.646.
参考公式 相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
．
【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨．
（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，
，
所以，关于的回归方程为 .
将2016年对应的代入回归方程得 ，
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
1．(2015·陕西，2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )
A．167 B．137 C．123 D．93
【答案】B
【解析】由题干扇形统计图可得该校女教师人数为 110×70 ＋150×(1－60 )＝137.故选B.
2．(2015·安徽，6)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )
A．8 B．15 C．16 D．32
【答案】C
3．(2015·重庆，3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下
则这组数据的中位数是( )
0
1
2
2
8 9
2 5 8
0 0 0 3 3 8
1 2
A．19 B．20 C．21.5 D．23
【答案】B
【解析】从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.
4．(2015·新课标全国Ⅱ，31)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位 万吨)柱形图．以下结论不正确的是( )
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以 我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以 我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【答案】D
5．(2015·福建，4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝y－x．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A．11.4万元 B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
【答案】B
【解析】回归直线一定过样本点中心(10，8)，∵＝0.76，∴＝0.4，由＝0.76x＋0.4得当x＝15万元时，＝11.8万元．故选B.
6．(2015·江苏，2)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．
【答案】6
【解析】这组数据的平均数为(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6. 学
12．(2015·湖南，12)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位 分钟)的茎叶图如图所示
13
14
15
0 0 3 4 5 6 6 8 8 9
1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8
0 1 2 2 3 3 3
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．
【答案】4
7．(2015·新课标全国Ⅱ，18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下
A地区 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C “A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
【解析】
解 (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．学 .
1．(2015·广东，4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )
A．1 B. C. D.
【答案】C
【解析】从袋中任取2个球共有C＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有CC＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为＝.
2．(2015·江苏，5)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
【答案】
【解析】这两只球颜色相同的概率为，故两只球颜色不同的概率为1－＝.
3．(2015·陕西，11)设复数 ＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若| |≤1，则y≥x的概率为( )
A.＋ B.－ C.－ D.＋
【答案】B
4．(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
【答案】A
【解析】该同学通过测试的概率为p＝0.6×0.6＋C×0.4×0.62＝0.648.学
5．(2015·湖南，7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
附 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4.
A．2 386 B．2 718 C．3 413 D．4 772
【答案】C
6．(2015·山东，8)已知某批零件的长度误差(单位 毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )
(附 若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26 ，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44 .)
A．4.56 B．13.59 C．27.18 D．31.74
【答案】B
【解析】由题意，知P(3＜ξ＜6)＝＝＝13.59 .
7．(2015·安徽，17)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位 元)，求X的分布列和均值(数学期望)．
【解析】
解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.
P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200，300，400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.
故X的分布列为
X
200
300
400
P
E(X)＝200×＋300×＋400×＝350.
8．(2015·福建，16)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．
【解析】
(2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3.
又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
9．(2015·重庆，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
【解析】
解 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0，1，2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．学
10．(2015·天津，16)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有 自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手 自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
(2) 随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.
P(X＝ )＝( ＝1，2，3，4)．
所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3[ | ]
4
P
随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
11．(2015·山东，19)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下 若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．
【解析】
解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345；
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，
随机变量X的取值为 0，－1，1，因此
P(X＝0)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，
P(X＝1)＝1－－＝，
所以X的分布列为
X
0
－1
1
P
则E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝.
12．(2015·湖南，18)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
【解析】
由题意，A1与A2相互独立，A12与1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A12＋1A2，C＝B1＋B2.
因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以
P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
P(B2)＝P(A12＋1A2)＝P(A12)＋P(1A2)
＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)
＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)
＝×＋×＝.
故所求概率为
P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.学
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望为E(X)＝3×＝.
