海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）

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海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2019.1‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．双曲线的左焦点坐标为 A． B． C． D． ‎ ‎2.已知向量满足， 且，则的夹角大小为 A． B．　 C． D．‎ ‎3.已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则 A． 0 B． C． D．‎ ‎4.直线被圆截得的弦长为2，则的值为 A． B．　 C． D．‎ ‎5.已正六边形的6个顶点中的三个座位顶点的三角形中，等腰三角形的个数为 A．6 B．7 C．8 D．12‎ ‎6.已知函数，则“”是“函数在区间上存在零点”的 A充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 ‎ C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件 ‎7.已知函数，是的导函数，则下列结论中错误的是 A.函数的值域与的值域相同 B.若是函数的极值点，则是函数的零点 C.把函数的图像向右平移个单位，就可以得到函数的图像 D.函数和在区间上都是增函数 ‎8.已知集合.若，且对任意的，，均有，则集合B中元素个数的最大值为 A．25 B．49 C．75 D．99‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9.以抛物线的焦点为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 .‎ ‎10.执行如下图所示的程序框图，当输入的M值为15，n值为4 时，输出的S值为 .‎ ‎11.某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， .‎ ‎12.设关于的不等式组表示的平面区域为Ω，若点A（1，-2），B（3,0），C（2，-3）中有且仅有两个点在Ω内，则的最大值为 .‎ ‎13.在DABC中，，且，则 .‎ ‎14.正方体的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面上，且平面.‎ ‎（Ⅰ）当点M与点C重合时，线段AP的长度为 ；‎ ‎（Ⅱ）线段AP长度的最小值为 .‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ ‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）比较和的大小；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间的最小值.‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：‎ ‎（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；‎ ‎（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取3人，设表示这3人重成绩满足的人数，求的分布列和数学期望； ‎ ‎（Ⅲ）根据以往培训数据，规定当时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，‎ 且 ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ ‎ 椭圆的左焦点为F，过点的直线与椭圆交于不同两点A,B ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率； ‎ ‎（Ⅱ）若点B关于轴的对称点为B’，求的取值范围.‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ 已知函数． ‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：对任意成立.‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 设n 为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，‎ 记 ‎（Ⅰ）当时，若，请写出满足的所有元素 ‎（Ⅱ）设且，求的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值.‎ 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 数学（理科）2019.01‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1.A 2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D ‎ 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9.10. 11.12. 13.14.‎ 三、解答题: 本大题共6小题，共80分.‎ ‎15．解：（Ⅰ）因为 所以 因为，所以，所以 ‎（Ⅱ）因为 设，所以 所以 其对称轴为 当，即时，在时函数取得最小值 当，即时，在时函数取得最小值 ‎16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件 由茎叶图中的数据可以知道，名同学中，有名同学考核优秀 所以所求概率约为 ‎（Ⅱ）的所有可能取值为 因为成绩的学生共有人，其中满足的学生有人 所以，‎ ‎，‎ 随机变量的分布列为 ‎（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有个 所以 所以可以认为此次冰雪培训活动有效.‎ ‎17．解：（Ⅰ）在平面中过点作，交于 因为平面平面 平面 平面平面 所以平面 因为平面 所以 又，且 所以平面 ‎（Ⅱ）因为平面，所以 又，‎ 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系 所以，‎ 因为平面，所以取平面的法向量为 设平面的法向量为 因为，所以 所以 令 ，则 ，所以 所以 由题知为锐角，所以的余弦值为 ‎（Ⅲ）‎ 法一：‎ 假设棱上存在点，使得，显然与点不同 所以四点共面于 所以，‎ 所以，‎ 所以就是点确定的平面，所以 这与为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二：‎ 假设棱上存在点，使得 连接，取其中点 在中，因为分别为的中点，所以 因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以与重合 所以点在线段上，所以是，的交点，即就是 而与相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 法三：假设棱上存在点，使得，‎ 设，所以 因为，所以 所以有，这个方程组无解 所以假设错误，即问题得证 ‎18．解：（Ⅰ）‎ 因为，所以 所以离心率 ‎（Ⅱ）法一：‎ 设 显然直线存在斜率，设直线的方程为 所以，所以 ‎，所以 所以 因为 所以 因为 所以 因为，所以 法二：‎ 设 当直线是轴时，‎ 当直线不是轴时，设直线的方程为 所以，所以，‎ ‎，所以 所以 因为 所以 因为 ‎ 所以 因为，所以 综上，的取值范围是.‎ ‎19．解：（Ⅰ）因为 所以 当时，‎ 所以，而 曲线在处的切线方程为 化简得到 ‎（Ⅱ）法一：‎ 因为，令 得 当时，，，在区间的变化情况如下表:‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 所以在上的最小值为中较小的值，‎ 而，所以只需要证明 因为，所以 设，其中，所以 令，得，‎ 当时，，，在区间的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 极小值 所以在上的最小值为，而 注意到，所以，问题得证 法二：‎ 因为“对任意的，”等价于“对任意的，”‎ 即“，”，故只需证“，”‎ 设，所以 设，‎ 令，得 当时，，，在区间的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 极小值 所以上的最小值为，而 所以时，，所以在上单调递增 所以 而，所以，问题得证 法三：‎ ‎“对任意的，”等价于“在上的最小值大于”‎ 因为，令 得 当时，，，在在上的变化情况如下表:‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 所以在上的最小值为中较小的值，‎ 而，所以只需要证明 因为，所以 注意到和，所以 设，其中 所以 当时，，所以单调递增，所以 而 所以，问题得证 法四：‎ 因为，所以当时，‎ 设，其中 所以 所以，，的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 极小值 所以在时取得最小值，而 所以时，‎ 所以 ‎20.解：(Ⅰ)满足的元素为 ‎（Ⅱ）记，，‎ 注意到，所以，‎ 所以 因为，所以 所以中有个量的值为1，个量的值为0.‎ 显然 ‎，‎ 当，时，‎ 满足，.所以的最大值为 又 注意到只有时，，否则 而中个量的值为1，个量的值为0‎ 所以满足这样的元素至多有个，‎ 当为偶数时，.‎ 当时，满足，且.‎ 所以的最小值为 当为奇数时，且，这样的元素至多有个，‎ 所以.‎ 当，时，满足，.‎ 所以的最小值为 综上：的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，.‎ ‎（Ⅲ）中的元素个数最大值为 设集合是满足条件的集合中元素个数最多的一个 记，‎ 显然 集合中元素个数不超过个，下面我们证明集合中元素个数不超过个 ‎，则 则中至少存在两个元素 ‎，‎ 因为，所以不能同时为 所以对中的一组数而言，‎ 在集合中至多有一个元素满足同时为 所以集合中元素个数不超过个 所以集合中的元素个数为至多为 记，则中共个元素，‎ 对于任意的，，.‎ 对，记其中，，‎ 记，‎ 显然，，均有.‎ 记，中的元素个数为，且满足，，均有.‎ 综上所述，中的元素个数最大值为.‎