数学卷·2018届湖北省襄阳五中高二下学期3月月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届湖北省襄阳五中高二下学期3月月考数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年湖北省襄阳五中高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．下列程序框图中表示判断框的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是（　　）‎ A．分层抽样 B．抽签抽样 C．随机抽样 D．系统抽样 ‎3．椭圆x2+4y2=1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知命题“∀a，b∈R，如果ab＞0，则a＞0”，则它的逆否命题是（　　）‎ A．∀a，b∈R，如果ab＜0，则a＜0 B．∀a，b∈R，如果a≤0，则ab≤0‎ C．∃a，b∈R，如果ab＜0，则a＜0 D．∃a，b∈R，如果a≤0，则ab≤0‎ ‎5．已知=（2，2，1），=（4，5，3），则下列向量中是平面ABC的法向量的是（　　）‎ A．（1，2，﹣6） B．（﹣2，1，1） C．（1，﹣2，2） D．（4，﹣2，1）‎ ‎6．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如表：‎ 认为作业多 认为作业不多 总数 喜欢玩电脑游戏 ‎18‎ ‎9‎ ‎27‎ 不喜欢玩电脑游戏 ‎8‎ ‎15‎ ‎23‎ 总数 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 根据表中数据得到5.059，因为p（K2≥5.024）=0.025，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（　　）‎ A．97.5% B．95% C．90% D．无充分根据 ‎7．一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”．若a，b，c∈{4，5，6，7，8}‎ ‎，且a，b，c互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（　　）‎ A．1﹣ B． C．1﹣ D．‎ ‎9．已知服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量，在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ）和（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某大型国有企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm）服从正态分布N，则适合身高在163～178cm范围内员工穿的服装大约要定制（　　）‎ A．6830套 B．9540套 C．8185套 D．9755套 ‎10．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B，为抛物线上两点，若=3，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点，则m的取值范围是（　　）‎ A． B．（1，） C．（1， +1） D．（2， +1）‎ ‎12．已知函数f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则集合M∩N面积为（　　）‎ A． B． C．π D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13．所给命题：‎ ‎①菱形的两条对角线互相平分的逆命题；‎ ‎②{x|x2+1=0，x∈R}=∅或{0}=∅；‎ ‎③对于命题：“p且q”，若p假q真，则“p且q”为假；‎ ‎④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件．‎ 其中为真命题的序号为　　．‎ ‎14．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是　　．（用数字作答）‎ ‎15．如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为　　．‎ ‎16．某情报站有A，B，C，D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是　　．（用最简分数表示）‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．‎ ‎18．已知数列{an}满足a1=，an+1=，n∈N+．‎ ‎（1）求证：数列{﹣2}是等比数列，并且求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和Sn．‎ ‎19．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点，PA⊥平面ABC，E是PC的中点，，PA=AC=1．‎ ‎（1）求证：AE⊥PB；‎ ‎（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．‎ ‎20．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记ak=1；出现“×”，则记ak=﹣1，令Sn=a1+a2+••+an．‎ ‎（Ⅰ）当p=q=时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅱ）当p=，q=时，求S8=2且Si≥0（i=1，2，3，4）的概率．‎ ‎21．如图，椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的短轴长，C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．‎ ‎（Ⅰ）求C1、C2的方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：MA⊥MB：‎ ‎（Ⅲ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的最小值．‎ ‎22．设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，‎ ‎（1）p是q的什么条件？‎ ‎（2）求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省襄阳五中高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．下列程序框图中表示判断框的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】选择结构．‎ ‎【分析】平行四边形框为输入（输出）框，矩形框为处理框，圆角矩形框为起止框，菱形框为判断框 ‎【解答】解：判断框是菱形框 故选D ‎　‎ ‎2．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是（　　）‎ A．分层抽样 B．抽签抽样 C．随机抽样 D．系统抽样 ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】学生人数比较多，把每个班级学生从1到最后一号编排，要求每班学号尾数为5的同学留下进行交流，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法．‎ ‎【解答】解：∵学生人数比较多，‎ ‎∵把每个班级学生从1到最后一号编排，‎ 要求每班编号尾数为5的同学留下进行交流，‎ 这样选出的样本是采用系统抽样的方法，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．椭圆x2+4y2=1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】把椭圆的方程化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2求出c的值，利用离心率公式e=，把a与c的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，得到a=1，b=，‎ 则c==，所以椭圆的离心率e==．‎ 故选A ‎　‎ ‎4．已知命题“∀a，b∈R，如果ab＞0，则a＞0”，则它的逆否命题是（　　）‎ A．∀a，b∈R，如果ab＜0，则a＜0 B．∀a，b∈R，如果a≤0，则ab≤0‎ C．∃a，b∈R，如果ab＜0，则a＜0 D．∃a，b∈R，如果a≤0，则ab≤0‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】命题的逆否命题是条件与结论交换并且否定，故可得答案．‎ ‎【解答】解：命题的逆否命题是条件与结论交换并且否定，‎ 故命题“∀a，b∈R，如果ab＞0，则a＞0”，则它的逆否命题“∀a，b∈R，如果a≤0，则ab≤0“‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．已知=（2，2，1），=（4，5，3），则下列向量中是平面ABC的法向量的是（　　）‎ A．（1，2，﹣6） B．（﹣2，1，1） C．（1，﹣2，2） D．（4，﹣2，1）‎ ‎【考点】直线的方向向量．‎ ‎【分析】设平面ABC的法向量是=（x，y，z），则，即可得出．‎ ‎【解答】解：设平面ABC的法向量是=（x，y，z），则，∴，‎ 取x=1，解得y=﹣2，z=2．‎ ‎∴=（1，﹣2，2）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如表：‎ 认为作业多 认为作业不多 总数 喜欢玩电脑游戏 ‎18‎ ‎9‎ ‎27‎ 不喜欢玩电脑游戏 ‎8‎ ‎15‎ ‎23‎ 总数 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 根据表中数据得到5.059，因为p（K2≥5.024）=0.025，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（　　）‎ A．97.5% B．95% C．90% D．无充分根据 ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】根据条件中所给的计算出的观测值的数据，把观测值同临界值进行比较，得到认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为1﹣0.025=97.5%．‎ ‎【解答】解：∵根据表中数据得到5.059，‎ 因为p（K2≥5.024）=0.025，‎ ‎∴认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为1﹣0.025=97.5%‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．一个三位自然数 的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”．若a，b，c∈{4，5，6，7，8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】根据题意，分析“凹数”的定义，根据十位数分类讨论即可求出凹数的个数，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率．‎ ‎【解答】解：根据题意，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”，‎ 在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数组成三位数，有A53=60种取法，‎ 在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数，将4放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A42=12种情况，‎ 将5放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A32=6种情况，‎ 将6放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A22=2种情况，‎ 根据分类计数原理可得12+6+2=20种，‎ 故它为“凹数”的概率是=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（　　）‎ A．1﹣ B． C．1﹣ D．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】作出图形，以长度为测度，即可求出概率．‎ ‎【解答】解：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，‎ O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=‎ ‎，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣=1﹣．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．已知服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量，在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ）和（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某大型国有企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm）服从正态分布N，则适合身高在163～178cm范围内员工穿的服装大约要定制（　　）‎ A．6830套 B．9540套 C．8185套 D．9755套 ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎【分析】变量服从正态分布N，即服从均值为173cm，方差为25的正态分布，适合身高在163～183cm范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.4%，身高在168～178cm范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：68.3%，从而得出适合身高在163～278cm范围内，概率为： =81.85%，即可求出员工穿的服装大约情况，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵员工的身高（单位：cm）服从正态分布N，‎ 即服从均值为173cm，方差为25的正态分布，‎ ‎∵适合身高在163～183cm范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，‎ 其概率为：95.4%，身高在168～178cm范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：68.3%‎ 从而得出适合身高在163～278cm范围内，概率为： =81.85%，‎ 适合身高在163～278cm范围内员工穿的服装大约套数是：10000×81.85%=8185套 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B，为抛物线上两点，若=3，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出A，B的坐标，即可求出△AOB的面积．‎ ‎【解答】解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，直线AB的方程为y=（x﹣1），‎ 联立直线AB与抛物线的方程可得A（3，2），B（，﹣），‎ 所以|AB|==，‎ 而原点到直线AB的距离为d=，‎ 所以S△AOB=，‎ 当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．若直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点，则m的取值范围是（　　）‎ A． B．（1，） C．（1， +‎ ‎1） D．（2， +1）‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】由题意作出函数的图象，由图象求出m的临界值，从而求m的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意作图象如下，‎ y=的图象由椭圆的一上部分与双曲线的上部分构成，‎ 故直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点的临界直线有，‎ 当y=﹣+m过点（2，0）时，即0=﹣1+m，故m=1；‎ 当直线y=﹣+m与椭圆的上部分相切，‎ 即y′==﹣，‎ 即x=，y=时，此时，m=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则集合M∩N面积为（　　）‎ A． B． C．π D．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】先分析M，N所表示的平面区域，并在平面直角坐标系中用图形表示出来，最后结合平面几何的知识解决问 ‎【解答】解：因为f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，f（y）=（y﹣2）2﹣1，‎ 则f（x）+f（y）=（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣2，f（x）﹣f（y）=（x﹣2）2﹣（y﹣2）2．‎ ‎∴M={（x，y）=（x﹣2）2+（y﹣2）2≤2}，‎ N={（x，y）||y﹣2|≤|x﹣2|}．‎ 故集合M∩N所表示的平面区域为两个扇形，‎ 其面积为圆面积的一半，即为π．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13．所给命题：‎ ‎①菱形的两条对角线互相平分的逆命题；‎ ‎②{x|x2+1=0，x∈R}=∅或{0}=∅；‎ ‎③对于命题：“p且q”，若p假q真，则“p且q”为假；‎ ‎④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件．‎ 其中为真命题的序号为　③④　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①，原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形“，对角线互相平分的四边形不一定是菱形；‎ ‎②，{0}中有一个元素0，∅中一个元素都没有；‎ ‎③，若p、q中只要有一个是假，则“p且q”为假；‎ ‎④，满足有两条边相等且有一个内角为60° 的三角形一定为等边三角形，等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°．‎ ‎【解答】解：对于①，原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形”，对角线互相平分的四边形不一定是菱形，故错 对于②，{0}中有一个元素0，∅中一个元素都没有，故错；‎ 对于③，若p、q中只要有一个是假，则“p且q”为假，故正确；‎ 对于④，满足有两条边相等且有一个内角为60° 的三角形一定为等边三角形，等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°，故正确．‎ 故答案为：③④‎ ‎　‎ ‎14．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是　﹣540　．（用数字作答）‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据题意，分析该程序的作用，可得b的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，分析可得常数项．‎ ‎【解答】解：第一次循环：b=3，a=2；‎ 第二次循环得：b=5，a=3；‎ 第三次循环得：b=7，a=4；‎ 第四次循环得：b=9，a=5；不满足判断框中的条件输出b=9．‎ ‎∵（﹣）6=的展开式的通项为：‎ ‎=‎ 令3﹣r=0得r=3‎ ‎∴常数项为=﹣540．‎ 故答案为：﹣540．‎ ‎　‎ ‎15．如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为　e=2﹣5　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】解法一：可先直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；‎ 解法二：对椭圆进行压缩变换，，‎ ‎，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解法一：由题意，可得直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为 两直线联立则点T（），则M（），由于此点在椭圆上，故有 ‎，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0‎ 即e2+10e﹣3=0，解得 故答案为 解法二：对椭圆进行压缩变换，，，‎ 椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．‎ 延长TO交圆O于N，易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，，‎ 设T（x′，y′），则，y′=x′+1，‎ 由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，，‎ ‎（负值舍去），‎ 易知：B1（0，﹣1），直线B1T方程：‎ 令y′=0‎ ‎，即F横坐标 即原椭圆的离心率e=．‎ 故答案：．‎ ‎　‎ ‎16．某情报站有A，B，C，D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是　　．（用最简分数表示）‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】由题意可得，第n+1周也使用A种密码的概率 Pn+1=Pn•，且P2=0，P3=，以此类推可得第七周使用A的概率P7 的值．‎ ‎【解答】解：第一周使用A，第二周使用A的概率P2=0，第三周使用A的概率P3=，依此类推，‎ 第四周使用A的概率 P4=（1﹣）•=，‎ 第五周使用A的概率P5=（1﹣）•=，‎ 第六周使用A的概率P6=（1﹣P5）•=，‎ 第七周使用A的概率P7=（1﹣P6）•=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】正弦函数的单调性；余弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）函数f（x）展开后，利用两角和的公式化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调增区间．‎ ‎（Ⅱ）利用f（A）=，求出A的大小，利用余弦定理求出bc的值，然后求出△‎ ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为=‎ ‎=‎ ‎=‎ 所以函数f（x）的单调递增区间是〔〕（k∈Z）‎ ‎（Ⅱ）因为f（A）=，所以 又0＜A＜π所以 从而故A=‎ 在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=‎ ‎∴1=b2+c2﹣2bccosA，即1=4﹣3bc．‎ 故bc=1‎ 从而S△ABC=‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}满足a1=，an+1=，n∈N+．‎ ‎（1）求证：数列{﹣2}是等比数列，并且求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）对已知等式取倒数，再减2，结合等比数列的定义和通项公式即可得到结论；‎ ‎（2）求得=n•（）n+2n，运用数列的求和方法：分组求和和错位相减法，以及等差数列和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．‎ ‎【解答】解：（1）证明：由a1=，an+1=，n∈N+，‎ 取倒数，可得==+，‎ 即﹣2=（﹣2），‎ 所以数列{﹣2}是以为首项，为公比的等比数列，‎ 可得﹣2=•（）n﹣1=（）n；‎ 所以数列{an}的通项公式为an=，n∈N*；‎ ‎（2）=n•（）n+2n，‎ 设Tn=1•（）+2•（）2+…+n•（）n，‎ Tn=1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，‎ 两式相减得Tn=+（）2+…+（）n﹣n•（）n+1，‎ ‎=（1﹣）﹣n•（）n+1，‎ 所以Tn=﹣，‎ 又2+4+6+…+2n=n2+n，‎ 所以前n项和Sn=﹣+n2+n．‎ ‎　‎ ‎19．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点，PA⊥平面ABC，E是PC的中点，，PA=AC=1．‎ ‎（1）求证：AE⊥PB；‎ ‎（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由线面垂直得PA⊥BC，由圆O的直径，得AC⊥BC，从而AE⊂平面PAC，进而BC⊥AE，由等腰三角形性质得AE⊥PC，由此能证明AE⊥PB．‎ ‎（2）过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF，推导出∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC ‎∴PA⊥BC，‎ 又AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点 ‎∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，又PA∩AC=A ‎∴BC⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC ‎∴BC⊥AE…‎ ‎∵PA=AC，E是PC的中点 ‎∴AE⊥PC，又BC∩PC=C ‎∴AE⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC ‎∴AE⊥PB． …‎ 解：（2）过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF 又由（1）得AE⊥PB，AE∩AF=A ‎∴PB⊥平面AEF，又EF⊂平面AEF ‎∴PB⊥EF，又AF⊥PB ‎∴∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角…‎ ‎∵在Rt△PAC中，PA=AC=1，则，‎ 在Rt△PAB中，PA=1，，同理得 ‎∴在Rt△AEF中，‎ 故二面角A﹣PB﹣C的正弦值为．…‎ ‎　‎ ‎20．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记ak=1；出现“×”，则记ak=﹣1，令Sn=a1+a2+••+an．‎ ‎（Ⅰ）当p=q=时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅱ）当p=，q=时，求S8=2且Si≥0（i=1，2，3，4）的概率．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（I）ξ=|S3|的取值为1，3，故欲求ξ的分布列，只须分别求出取1或3时的概率即可，最后再结合数学期望的计算公式求得数学期望即可；‎ ‎（II）由S8=2知，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又Si≥0（i=1，2，3，4）知包括两种情形：若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；或者若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．分别求出它们的概率后求和即得．‎ ‎【解答】解：（I）∵ξ=|S3|的取值为1，3，又，‎ ‎∴P（ξ=1）=，P（ξ=3）=‎ ‎∴ξ的分布列为 ‎∴Eξ=1×+3×=．‎ ‎（II）当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知Si≥0（i=1，2，3，4），‎ 若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；‎ 若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．‎ 故此时的概率为 ‎　‎ ‎21．如图，椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的短轴长，C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．‎ ‎（Ⅰ）求C1、C2的方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：MA⊥MB：‎ ‎（Ⅲ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的最小值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（I）离心率=，可得a2=2c2=2b2，又x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长2=2b，解得b，a2．可得曲线C2的方程；曲线C1的方程．‎ ‎（II）设直线AB的方程为：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2）．M（0，﹣1）．与抛物线方程联立可得：x2﹣kx﹣1=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质即可证明MA⊥MB．‎ ‎（III）设直线MA的方程：y=k1x﹣1；MB的方程为：y=k2x﹣1，且k1k2=﹣1．分别与抛物线椭圆方程联立解得A，B，D，E的坐标，利用三角形面积计算公式即可得出， =λ，再利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】（I）解：离心率=，∴a2=2c2=2b2，‎ 又x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长2=2b，解得b=1．∴a2=2．‎ ‎∴曲线C2的方程为：y=x2﹣1；‎ 曲线C1的方程为： =1．‎ ‎（II）证明：设直线AB的方程为：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2）．M（0，﹣1）．‎ 联立，化为：x2﹣kx﹣1=0，∴x1+x2=k，x1•x2=﹣1．‎ ‎∴=x1x2+（y1+1）（y2+1）=（k2+1）x1•x2+k（x1+x2）+1=﹣（k2+1）+k•k+1=0．‎ ‎∴MA⊥MB．‎ ‎（III）解：设直线MA的方程：y=k1x﹣1；MB的方程为：y=k2x﹣1，且k1k2=﹣1．‎ 联立，解得，或，∴A．‎ 同理可得B．‎ S1=|MA|•|MB|=|k1|•|k2|．‎ ‎，解得，或，∴D．‎ 同理可得：E，‎ ‎∴S2==•．‎ ‎∴=λ==‎ ‎，‎ 所以λ的最小值为，此时k=1或﹣1．‎ ‎　‎ ‎22．设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，‎ ‎（1）p是q的什么条件？‎ ‎（2）求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（1）根据命题之间的关系判断即可；‎ ‎（2）分别求出关于p，q成立的x的范围，问题转化为q是p的必要不充分条件，根据集合的包含关系，解不等式组即可求出a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）因为￢p是￢q的必要而不充分条件，‎ 其逆否命题是：q是p的必要不充分条件，‎ 即p是q的充分不必要条件；…‎ ‎（2）∵|4x﹣3|≤1，‎ ‎∴． ‎ ‎ 解x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，得a≤x≤a+1．‎ 因为┐p是┐q的必要而不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，‎ 即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不推出命p成立．‎ ‎∴[，1]⊊[a，a+1]．‎ ‎∴a≤且a+1≥1，得0≤a≤．‎ ‎∴实数a的取值范围是：[0，]．…‎