数学卷·2018届广东省普宁市第一中学高二上学期第二次月考文数试题 （解析版）

数学卷·2018届广东省普宁市第一中学高二上学期第二次月考文数试题 （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 ( ) ‎ A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：2cos Bsin A＝sin C=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,‎ 所以sinAcosB- cosAsinB=0，所以sin(A-B)=0，所以A=B，三角形为等腰三角形 考点：三角函数公式 ‎2.若a＞b，则下列正确的是( ) ‎ ‎1.a2＞ b2 2．ac＞ bc 3．ac2＞ bc2 4．a－c＞ b－c A 4 B 2 3 C 1 4 D 1 2 3 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：A中结论错误；B中结论错误；C中结论错误；D中结论正确；因此A项正确 考点：不等式性质 ‎3.在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于 ( ) ‎ A． B. 或 C． D．以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由正弦定理得，‎ 又∵b＞a，‎ ‎∴B＞A，所以B=60°或120°；‎ ‎①当B=60°时，C=90°．‎ 根据勾股定理得：c=；‎ ‎②当B=120°时，C=A=30°，‎ ‎∴c=a=，‎ 综上可知：c=或．‎ 考点：正弦定理 ‎4.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8， 则m为( )‎ A．12 B．8 C．6 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：等差数列性质 ‎5.设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由得 考点：余弦定理 ‎6.数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由a1·a2·a3·…·an＝n2得a1·a2·a3·…·an-1＝(n-1)2，则两式相除得 考点：‎ ‎7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：：∵等差数列前n项和，‎ 由S15>0，S16<0，得，∴，‎ 若视为函数则对称轴在之间，∵，∴Sn最大值是，‎ 分析，知为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0，递减，前8项中递增，‎ ‎∴前8项中最大最小时有最大值，∴最大．‎ 考点：等差数列性质及求和 ‎8.已知数列{an}满足若a1＝，则a2 016＝( )‎ A B C D ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由数列递推公式可知 ‎ 考点：数列周期性 ‎9.已知点满足 若的最小值为3，则的值为 ( )‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：画出不等式所表示的平面区域，该区域是位于第一象限的△ABC（如右图）‎ 通过直线方程联解，可得A（1，0），B（3，4），C（1，2）‎ 设z=F（x，y）=ax+y，可得F（1，0）=a，F（3，4）=3a+4，F（1，2）=a+2，‎ 显然，实数a不是零，接下来讨论：‎ ‎①当a＞0时，z=ax+y的最小值为F（1，0）=a=3，符合题意；‎ ‎②当a＜0时，z=ax+y的最小值为F（1，0），F（3，4），F（1，2）中的最小值，‎ ‎∵F（1，0）=a为负数，说明z的最小值为负数 ‎∴找不到负数a值，使z=ax+y的最小值为3．‎ 综上所述，得a=3．‎ 考点：简单线性规划 ‎10.对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么不等式42－36＋45＜0成立的x的取值范围是( )‎ A. C． B．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由42－36＋45＜0，得，‎ 又表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8．‎ 考点：一元二次不等式的解法 ‎11.数列｛｝的通项公式=，其前n项和为，则等于 ( )‎ ‎（A）1006 （B）2012 （C）503 （D）0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由得，‎ 该数列周期为，且，‎ 则，‎ 所以 考点：数列的求和 ‎12.若正数x，y满足x＋3y-5xy=0，则3x＋4y的最小值是( )‎ A. B. C．6 D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：：∵x＋3y-5xy=0，x＞0，y＞0 ∴‎ ‎∴3x+4y=（3x+4y）（）= ‎ 当且仅当即x=2y=1时取等号 考点：基本不等式 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，，，则的最小值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎，当且仅当时等号成立 考点：不等式性质 ‎14.若函数在上有最小值，则实数的取值范围是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：利用导数求闭区间上函数的最值 ‎15.已知等比数列的第5项是二项式展开式中的常数项，则的值 ‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ 试题分析：二项式展开式的通项公式为，‎ 令4-2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a5，‎ ‎∴‎ 考点：二项式定理的应用 ‎16.定义函数，若存在常数，对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的“均值”为，已知，则函数在上的“均值”为 ．‎ ‎【答案】1008.5‎ ‎【解析】‎ 试题分析：：∵f（x）=log2x在在是增函数，‎ f（1）=0，f（）=2017，‎ ‎∴f（x）在上的值域为，‎ ‎∴‎ 考点：函数与方程的综合运用 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.(12分) 设函数，其中向量，，．‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，分别是角的对边，已知，的面积为，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）此类问题关键是化简f（x）得解析式，利用向量的数量积、利用降幂公式、两角和的正弦公式进行化简，结合y=sinx的图象解出单调区间；（2）先利用f（A）=2解出角A的值，注意是在三角形ABC内解题，角A有限制条件，再利用三角形面积公式即可解出边C的值 试题解析：（1）解==+1..2分 令 解得 故的单调递增区间为 ‎（2）由得 而，所以，所以得 又，所以 考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用 ‎18.(12分)某校高三学生数学调研测试后，随机地抽取部分学生进行成绩统计，如图所示是抽取出恶报的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布直方图。‎ ‎（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计该校高三学生数学调研测试的平均分；‎ ‎（2）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，则的学生分别抽取多少人？‎ ‎（3）将（2）中抽取的样本看成一个总体，从中任取2人，求恰好有1人在分数段的概率。‎ ‎【答案】（1）98（2）2（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分；（2）先计算出在，（120，130]的学生分别抽取x、y人，‎ 根据分层抽样的方法得：x：y=2：1 ‎ ‎∵在（110，130]的学生中抽取一个容量为6的样本，‎ ‎∴在（110，120]分数段抽取4人，在（120，130]分数段抽取2人；......7分 ‎（3）设从样本中任取2人，恰好有1人在分数段（110，120]为事件A，‎ 在（110，120]分数段抽取4人，记为1、2、3、4；在（120，130]分数段抽取2人，分别记为a，b；则基本事件空间包含的基本事件有：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，a）、（1，b）、（2，3）、（2，4）、（2，a）、（2、b）、（3，4）、（3，a）、（3，b）、（4，a）、（4，b）、（a，b）共15种.......10分 则事件A包含的基本事件有：（1，a）、（1，b）、（2，a）、（2、b）、（3，a）、（3，b）、（4，a）、（4， b）共8种，根据古典概型的计算公式得，P（A）=．.. .......12分 考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图 ‎19.（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．‎ ‎（1）证明BC1∥平面A1CD ‎（2）设AA1=AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C﹣A1DE的体积．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）连接AC1 交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得S△A1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为•S△A1DE•CD，运算求得结果 试题解析：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，‎ 连结DF，则BC1∥DF．---------------------------------3分 因为DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，---------------4分 所以BC1∥平面A1CD．------------------------5分 ‎（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1．---------------------8分 由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D-----------------10分 所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：==1．-----------------12分 考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 ‎20.（12分）已知点A（0，－2），椭圆E： （a>b>0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（1）求E的方程；‎ ‎（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx-2，设P，Q将y=kx-2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程 试题解析：(1)设，由条件知，又，所以 所以E的方程为 ‎（2）当轴时不合题意，故可设 将代入得 当即时 从而 又点O到直线的距离为 所以的面积为，设，则 ‎，当且仅当时即时等号成立，满足，所以当面积最大值 直线方程为或 考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质 ‎21.(12分).已知 ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数有两个极值点和，求证：b<2a ‎【答案】（1）（，1）是减区间，（0，）和（1，+∞）是增区间；（2）详见解析 ‎【解析】‎ 考点：函数导数与单调区间极值；二次方程根的分布问题 ‎22.选修4—1：几何证明选讲 如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点 E，AD交BC于点F．‎ ‎（１）求证：BC∥DE；‎ ‎（２）若D、E、C、F四点共圆，且，求∠BAC．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（１）详见解析（２）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）通过证明∠EDC=∠DCB，然后推出BC∥DE．（Ⅱ）解：证明∠CFA=∠CED，然后说明∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，求解即可 试题解析：（1）证明：因为∠EDC=∠DAC，∠DAC=∠DAB，‎ ‎∠DAB=∠DCB，.. .... . .... 3分 所以∠EDC=∠DCB，所以BC∥DE．….. .... . 5分 ‎（2）因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA=∠CED 由（１）知∠ACF=∠CED，所以∠CFA=∠ACF．‎ 设∠DAC=∠DAB=x，因为，所以∠CBA=∠BAC=2x，‎ 所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，‎ 在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，则，‎ 所以∠BAC….. ...... .... .. 10分 考点：与圆有关的比例线段 ‎23.选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线过点，倾斜角，再以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（１）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（２）若直线与曲线分别交于、两点，求的值．‎ ‎【答案】（１）曲线C的极坐标方程为ρ=3，曲线C的直角坐标方程x2+y2=9（２）4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由题意可得直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=3，利用即可得出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入，得，利用直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=||即可得出 试题解析：（4-2极坐标）（1）直线的参数方程：（为参数），.....3分 曲线C的极坐标方程为ρ=3，可得曲线C的直角坐标方程x2+y2=9．.. .. 5分 ‎（２）将直线的参数方程代入x2+y2=9，得，..... .7分 设上述方程的两根为t1，t2，则t1t2=﹣4．.... .. .... .... .. .... ...8分 由直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|=4．.......... .10分 考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 ‎24.选修4—5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若存在实数，使得不等式成立，求实的取值范围．‎ ‎【答案】（1）将代入不等式得到关于的不等式，得到x的取值范围； （2）由函数式求得函数最值，不等式转化为 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）运用函数的零点分区间，讨论当x≥3时，当x≤‎ ‎2时，当2＜x＜3时，化简不等式解得，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围 试题解析：（4-3不等式）（1）当a=2时，f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣2|，.. .. .... .1分 当x≥3时，，即为，即成立，则有x≥3；‎ 当x≤2时，即为，即，解得x∈∅；‎ 当2＜x＜3时，即为，解得，，则有．. .... .4分 则原不等式的解集为 即为 ；.. .. .... 5分 ‎（2）由绝对值不等式的性质可得 ‎||x﹣3|﹣|x﹣a||≤|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，.. .. .... .7分 即有的最大值为|a﹣3|．.. ….. .... .8分 若存在实数x，使得不等式成立，则有.. .. .... 9分 即或，即有a∈∅或a≤．所以的取值范围是.. ... .10分 考点：绝对值不等式的解法 ‎ ‎