2020届二轮复习含导函数的抽象函数的构造学案（全国通用）

2020届二轮复习含导函数的抽象函数的构造学案（全国通用）

培优点三 含导函数的抽象函数的构造 ‎1．对于，可构造 例1：函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】构造函数，所以，由于对任意，，‎ 所以恒成立，所以是上的增函数，‎ 又由于，所以，‎ 即的解集为．故选B．‎ ‎2．对于，构造；对于，构造 例2：已知函数的图象关于轴对称，且当，成立，，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为函数关于轴对称，所以函数为奇函数．‎ 因为，所以当时，，函数单调递减，当时，函数单调递减．‎ 因为，，，所以，所以．故选D．‎ ‎3．对于，构造；对于或，构造 例3：已知为上的可导函数，且，均有，则有（ ）‎ A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数，则，‎ 因为均有并且，所以，故函数在上单调递减，‎ 所以，，即，，‎ 也就是，．‎ ‎4．与，构造 例4：已知函数对任意的满足，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】提示：构造函数．‎ 对点增分集训 一、选择题 ‎1．若函数在上可导且满足不等式恒成立，对任意正数、，若，‎ 则必有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知∴构造函数，‎ 则，从而在上为增函数。‎ ‎∵，∴，即，故选C．‎ ‎2．已知函数满足，且，则的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造新函数，则，‎ ‎，对任意，有，即函数在上单调递减，‎ 所以的解集为，即的解集为，故选D．‎ ‎3．已知函数的定义域为，为的导函数，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得，设，所以函数在上单调递增，‎ 因为，所以当时，；当时，．‎ 当时，，，所以．‎ 当时，，，所以．‎ 当时，，所以．‎ 综上所述，故答案为C．‎ ‎4．设函数是函数的导函数，已知，且，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，则，即函数在上单调递减，‎ 因为，即导函数关于直线对称，‎ 所以函数是中心对称图形，且对称中心，‎ 由于，即函数过点，‎ 其关于点的对称点也在函数上，‎ 所以有，所以，‎ 而不等式，即，即，所以，‎ 故使得不等式成立的的取值范围是．故选B．‎ ‎5．已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知，为奇函数，函数对于任意的满足，‎ 得，即，‎ 所以在上单调递增；又因为为偶函数，‎ 所以在上单调递减．所以，即．‎ 故选C．‎ ‎6．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】构造函数，则，所以在上单独递减，‎ 因为为奇函数，所以，∴，．‎ 因此不等式等价于，即，故选B．‎ ‎7．已知函数是偶函数，且当时满足，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】是偶函数，则的对称轴为，‎ 构造函数，则关于对称，‎ 当时，由，得，‎ 则在上单调递增，在上也单调递增，‎ 故，∴．本题选择A选项．‎ ‎8．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，‎ 若，，，则，，的大小关系正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】定义域为的奇函数，‎ 设，∴为上的偶函数，∴，‎ ‎∵当时，，∴当时，．‎ 当时，，即在单调递增，在单调递减．‎ ‎，，，‎ ‎∵，∴．即，故选C．‎ ‎9．已知定义在上的函数的导函数为，（为自然对数的底数），‎ 且当时，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，∴，‎ ‎∵，∴时，，则，‎ ‎∴，在上单调递减，∴，‎ 即，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，，故选C．‎ ‎10．定义在上的函数的导函数为，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数：，，‎ ‎∵对任意，都有，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数在单调递减，由化为：，‎ ‎∴．∴使得成立的的取值范围为．故选D．‎ ‎11．已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且（为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】构造函数，，所以是 上的减函数．‎ 令，则，由已知，可得，下面证明，即证明，‎ 令，则，即在上递减，，即，‎ 所以，若，，则．故选C．‎ ‎12．定义在上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】定义在上的奇函数满足：‎ ‎，且，‎ 又时，，即，‎ ‎∴，函数在时是增函数，‎ 又，∴是偶函数；‎ ‎∴时，是减函数，结合函数的定义域为，且，‎ 可得函数与的大致图象如图所示，‎ ‎∴由图象知，函数的零点的个数为3个．故选C．‎ 二、填空题 ‎13．设是上的可导函数，且，，．则的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，所以，即，‎ 设函数，则此时有，故，．‎ ‎14．已知，为奇函数，，则不等式的解集为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵为奇函数，∴，即，‎ 令，，则，‎ 故在递增，，得，‎ 故，故不等式的解集是，故答案为．‎ ‎15．已知定义在实数集的函数满足，且导函数，则不等式 的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则不等式等价为，‎ 设，则，‎ ‎∵的导函数，∴，函数单调递减，‎ ‎∵，∴，则此时，解得，‎ 即的解为，所以，解得，‎ 即不等式的解集为，故答案为．‎ ‎16．已知函数是定义在上的奇函数，且．若时，，‎ 则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则，当时，由已知得，为增函数，‎ 由为奇函数得，即，‎ ‎∴当时，，‎ 当时，，，又是奇函数，‎ ‎∴当时，，时，．‎ ‎∴不等式的解集为．故答案为．‎