2018-2019学年湖北省武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高二上学期期中考试数学试题 Word版

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武汉外国语学校2018—2019学年度上学期期中考试 高二数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.抛物线的焦点坐标为（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列命题中错误的是（ C ）‎ A．命题“若，则”的逆否命题是真命题 B．命题“”的否定是“”‎ C．若为真命题，则为真命题 D．在中，“”是“”的充要条件 ‎ ‎3．给定两个命题若是的必要而不充分条件，则是的（ A ）‎ A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆面，当时，这个椭圆的离心率为( A )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点，则该双曲线的离心率为（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6． 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．‎ 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入,的值分别为,则输出的值为（　B）‎ A． B． C． D．‎ 输入n,x 开始 v=1‎ i≥0？‎ 输出v 结束 v=vx+i i=i-1‎ i=n-1‎ 否 是 ‎7．已知圆： ， ： ，动圆满足与外切且与内切，若为 上的动点，且，则的最小值为（ A ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．若坐标原点和分别为双曲线()的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为( B )‎ A． B． C． D．‎ ‎9.过双曲线的右焦点，作渐近线的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率的取值范围为( C )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．双曲线的方程为，分别为双曲线的左右焦点，过点作直线与双曲线的右半支交于点，使，则的内切圆半径为（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知圆上的动点和定点，则的最小值为（ D ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（ A ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则为 ．‎ ‎14.从双曲线的左焦点处发出的光线，经过该双曲线左支上一点反射后，反射光线所在直线方程为 ．‎ ‎15.已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左右焦点，过点作椭圆的切线和两轴分别交于点，当（为坐标原点）的面积最小时，，则椭圆的离心率为 .‎ ‎16.已知点，点在圆上，为坐标原点，则的最小值为 .‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题双曲线的离心率，若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.‎ 解：若命题方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题时，则 解得 ， 则命题为假命题时，或， 若命题双曲线的离心率为真命题时，‎ 则 即即 ‎ 则命题为假命题时，，或 ， ∵“”为假命题，“”为真命题，则命题中有且只有一个为真命题， 当真假时，， 当假真时，， 综上所述，实数的取值范围是：，或．‎ ‎18.（本小题满分10分）‎ ‎（Ⅰ）已知某椭圆过两点,求该椭圆的标准方程．‎ ‎（Ⅱ）求与双曲线有共同的渐近线，经过点的双曲线的标准方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）.‎ ‎（Ⅰ）设椭圆方程为 ‎ ，解得，所以椭圆方程为. ‎ ‎（Ⅱ）设双曲线方程为，代入点解得 ‎ ‎ 即双曲线方程为.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线方程；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为 ‎………………5分 ‎（Ⅱ）因为，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．………………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知圆的圆心在直线上，且圆经过曲线与轴的交点.‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知过坐标原点的直线与圆交两点，若，求直线的方程．‎ ‎.解：（1）因为，令得，解得：或 ‎ 所以曲线与轴的交点坐标为 ……………………1分 ‎ 设圆的方程为：，则依题意得：‎ ‎ ， ……………………2分 解得：…………………………………………………4分 ‎ 所以圆的方程为：. ……………………………………5分 ‎ （2）解法一：‎ ‎ 直线的斜率显然存在，故设直线的斜率为，则直线的方程为： ……6分 ‎ 联立消并整理得： ………7分 ‎ 设则， ………………………8分 ‎ 因为所以， …………………………………………………9分 ‎ 所以， ………………………10分 ‎ 解得：或， …………………………………………………………11分 所以直线的方程为或.……………………………………………12分 解法二：‎ 如图取的中点，连接，‎ 则 设，‎ 由，得：‎ 由,……………………………6分 所以：……………………………7分 解得： ………………………………………8分 所以圆心到直线的距离等于2‎ 设直线的方程为，即：…………9分 所以：,……………………………10分 解得：或 ……………………………11分 所以：直线的方程为：或.…………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线：与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（Ⅰ）由已知得，∴，‎ 则的方程为； ................ ........……………........................................................4分 ‎（Ⅱ）假设存在点,使得为定值，‎ 联立, 得..............................................................................6分 设，则 ‎，..... …...................................7分 ‎.....................…….... ............... ..........................................9分 要使上式为定值, 即与无关, 应有 解得,此时 .................................................……........................................11分 所以，存在点使得为定值 ……………………………………………12分 ‎22.（本小题满分14分）‎ 如图,已知是椭圆的长轴顶点,是椭圆上的两点,且满足,其中、分别为直线AP、QB的斜率.‎ ‎（Ⅰ）求证：直线和的交点在定直线上；‎ ‎（Ⅱ）求证：直线过定点；‎ ‎（Ⅲ）求和面积的比值.‎