2019-2020学年河南省鹤壁市高级中学高二3月线上考试数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年河南省鹤壁市高级中学高二3月线上考试数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省鹤壁市高级中学高二3月线上考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．在中，角、、所对应的变分别为、、，则是的（ ）‎ A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】利用三角形中大角对大边、正弦定理边角互化，结合充分条件与不要条件的定义可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得（其中为外接圆的半径），‎ 则，，‎ ‎，‎ 因此是的充分必要必要条件，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理的应用、充分必要条件的判定，属于中等题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎2．在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先将极坐标化为直角坐标, 利用点到直线的距离公式即可得.‎ ‎【详解】‎ 点的直角坐标为，，‎ 直线： 即，化为直角坐标方程为．‎ 由点到直线的距离公式得，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标与直角坐标之间的互化,属于基本题型,解题中关键是运算的准确性.‎ ‎3．已知的内角的对边分别为，若的面积为，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，在中，利用面积公式和余弦定理求得，再由，求得，进而可求得，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，在的面积为，即，‎ 根据余弦定理，可得，‎ 即，又∵，所以，‎ 又由，又由，且，所以，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用余弦定理和三角形的面积公式求解三角形问题，其中解答中合理利用余弦定理和面积公式，求得C角的大小，再由特殊角的三角函数值，确定B的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎4．已知数列中，为其前项和，的值为（ ）‎ A．63 B．61 C．62 D．57‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：由数列的递推关系可得： ，‎ 据此可得：数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则：‎ ‎ ，‎ 分组求和有： .‎ 本题选择D选项.‎ ‎5．已知，则取最大值时的值为（　　）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由，利用基本不等式可得结果.‎ 详解：∵，‎ ‎∴，当且仅当时取等号．‎ ‎∴取最大值时的值为．‎ 故选．‎ 点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎6．已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得出关于的不等式的解集为，由此得出或，在成立时求出实数的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，关于的不等式的解集为.‎ ‎（1）当，即．‎ 当时，不等式化为，合乎题意；‎ 当时，不等式化为，即，其解集不为，不合乎题意；‎ ‎（2）当，即时．‎ 关于的不等式的解集为.‎ ‎，解得．‎ 综上可得，实数的取值范围是．故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次不等式在上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ ‎7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的值为（ ）‎ A．10 B．8 C．6 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据过抛物线焦点的弦长公式，利用题目所给已知条件，求得弦长.‎ ‎【详解】‎ 根据过抛物线焦点的弦长公式有.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查过抛物线焦点的弦长公式，即 ‎.要注意只有过抛物线焦点的弦长才可以使用.属于基础题.‎ ‎8．命题；命题.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．或 C．或 D．或 ‎【答案】B ‎【解析】首先解出两个命题的不等式，由为假命题，为真命题得命题和命题一真一假．‎ ‎【详解】‎ 命题，命题．因为为假命题，为真命题．所以命题和命题一真一假，所以或，选择B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简易逻辑的问题，其中涉及到了不等式以及命题真假的判断问题，属于基础题．‎ ‎9．设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意可设丨PF2丨＝x，则丨PF1丨＝2x，利用椭圆的定义与其标准方程可求得x的值，从而可知丨PF1丨与丨PF2丨，并能判断△PF1F2的形状，从而可求得△PF1F2的面积．‎ ‎【详解】‎ 设丨PF2丨＝x，则丨PF1丨＝2x，依题意，丨PF1丨+丨PF2丨＝x+2x＝3x＝2a＝6，‎ ‎∴x＝2，2x＝4，‎ 即丨PF2丨＝2，丨PF1丨＝4，又|F1F2丨＝22，‎ ‎∴，‎ ‎∴△PF1F2为直角三角形，‎ ‎∴△PF1F2的面积为S丨PF1丨丨PF2丨2×4＝4．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义与其标准方程，判断△PF1F2为直角三角形是关键，属于中档题．‎ ‎10．在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列各式正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据二倍角公式可知，求出角，再根据正弦定理表示，转化为，再根据三角函数化简，转化为函数值域问题.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 即， ‎ ‎，，‎ 根据正弦定理可知，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎,‎ 当时，等号成立，‎ ‎ ‎ 即.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查三角恒等变换，以及正弦定理边角互化和三角函数求值域的综合问题，意在考查转化与化归的思想，和计算能力，本题的关键是根据正弦定理转化为 ‎，再通过三角函数恒等变换转化为三角函数求值域.‎ ‎11．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是 A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0)‎ ‎【答案】C ‎【解析】求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．‎ 令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，‎ 则结合图象可知，解得a∈[－3，0)，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.‎ ‎12．设双曲线的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B作AC的垂线交轴于点D,若点D到直线BC的距离小于，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC得•1，求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于a，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意，A（a，0），B（c，），C（c，），由双曲线的对称性知D在x轴上，‎ 设D（x，0），则由BD⊥AC得•1，‎ ‎∴c﹣x，‎ ‎∵D到直线BC的距离小于a，‎ ‎∴c﹣x＝||＜a，‎ ‎∴c2﹣a2＝b2，‎ ‎∴01，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．‎ 二、填空题 ‎13．在中，，，的角平分线，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因为，所以．所以，所以＝，所以．‎ ‎【考点】正余弦定理．‎ ‎【技巧点睛】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎14．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设数列的公比为，则有，解得，所以．‎ ‎【考点】等比数列的定义，数列的求和问题．‎ ‎15．在极坐标系中,点到圆的圆心的距离为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用，把极坐标化为直角坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 点P（2，﹣）可得：xP==1，yP==﹣，∴P．‎ 圆ρ=﹣2cosθ化为ρ2=﹣2ρcosθ，∴x2+y2=﹣2x，化为（x+1）2+y2=1，可得圆心C（﹣1，0）．‎ ‎∴|PC|==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎16．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：因为点P是曲线上任意一点，则点P到直线 的距离的最小值是过点P的切线与直线平行的时候，则，那么可知两平行线只见到 距离为 三、解答题 ‎17．已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足条件f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥mx-3恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）f（x）=x2-x+1；（Ⅱ）（-∞，3]. ‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据f（0）=1及f（x+1）-f（x）=2x，代入解析式，根据对应位置系数相等，即可求得a、b、c的值，得到f（x）的解析式．‎ ‎（Ⅱ）将解析式代入不等式，构造函数g（x）=x2-（m+1）x+4，即求当x∈[0，+∞）时g（x） 4≥0恒成立．讨论g（x）的对称轴x=与0的大小关系，根据对称及单调性即可求得m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由f（0）=1得，c=1，‎ 由f（x+1）-f（x）=2x，得a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+c）=2x 化简得，2ax+a+b=2x，‎ 所以：2a=2，a+b=1，‎ 可得：a=1，b=-1，c=1，‎ 所以f（x）=x2-x+1；‎ ‎（Ⅱ）由题意得，x2-x+1≥mx-3，x∈[0，+∞）恒成立．‎ 即：g（x）=x2-（m+1）x+4≥0，x∈[0，+∞）恒成立．‎ 其对称轴x=，‎ 当≤0，即m≤-1时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ g（0）=4＞0‎ ‎∴m≤-1成立 ‎②当＞0时，‎ 满足 计算得：-1＜m≤3‎ 综上所述，实数m的取值范围是（-∞，3]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数对称轴、单调性与恒成立问题的综合应用，属于中档题．‎ ‎18．在中，角，、的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且，求的面积.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】（1）根据正弦定理得到，计算得到答案.‎ ‎（2）化简得到，即，再计算得到，代入面积公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，∴.∵，∴.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，即.‎ ‎∵，∴.∵，∴.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎19．[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 已知曲线的参数方程为 (为参数)，以原点为极点, ‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设.直线与曲线交于点.求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）7‎ ‎【解析】（1）先将化为，进而可得出其直角坐标方程；‎ ‎（2）将直线参数方程代入（1）的结果，整理得到，再设，两点对应的参数分别为，进而可得，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴即曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）将代入的直角坐标方程，得，‎ ‎∴，‎ 设，两点对应的参数分别为，‎ ‎∴．‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，以及参数方程的应用，熟记公式即可求解，属于常考题型.‎ ‎20．设a，命题p：x，满足,命题q：x，.‎ ‎(1若命题是真命题，求a的范围；‎ ‎2为假，为真，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分别求出命题p，q成立的等价条件，‎ ‎（1）然后根据若p、q为真命题，列式计算，‎ ‎（2）由（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，分别求出确实实数m的取值范围即可．‎ ‎【详解】‎ 解：1真，则或得；‎ q真，则，得，‎ 真，；‎ ‎2由为假，为真、q同时为假或同时为真，‎ 若p假q假，则 得，‎ 若p真q真，则，‎ 所以，‎ 综上或．‎ 故a的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系的应用，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎21．已知过点作动直线与抛物线相交于，两点.‎ ‎（1）当直线的斜率是时，，求抛物线的方程；‎ ‎（2）设，的中点是，利用（1）中所求抛物线，试求点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（1）;（2）（或）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据得到①，再结合韦达定理，，解出即可.‎ ‎(2)根据（1）中的韦达定理得到的参数方程，消去参数得点的轨迹方程：.‎ 试题解析：设，，显然，，‎ ‎（1）由题意当直线的斜率为时，其方程为：，即，‎ 又∵，∴①，‎ 联立，消去得：，‎ ‎∴，且，，‎ 结合①式，可以解出，所以抛物线方程是：.‎ ‎（2）当直线垂直于轴时，其与抛物线只有一个公共点，不符题意，‎ 所以直线的方程可以设为：，设、中点，‎ 由，消去得：，即，‎ 由解得或，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴，消去得点的轨迹方程：，‎ 由的取值范围可求出或.‎ ‎∴点的轨迹方程：（或）.‎ ‎22．（14分）已知函数 ．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若对任意的，都有成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时增区间为当时增区间为，减区间为（Ⅲ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得到切线方程（Ⅱ）首先计算函数的导数，令导数大于零可得增区间，进而得到减区间，求解时注意对参数的取值范围分情况讨论（Ⅲ）不等式恒成立问题中求参数范围的一般采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题 试题解析：（Ⅰ）时， 1分 ‎ 2分 曲线在点处的切线方程 3分 ‎（Ⅱ） 4分 ‎①当时， 恒成立，函数的递增区间为 6分 ‎②当时，令，解得或 x ‎（ 0, ）‎ ‎（ ,1）‎ f’（x）‎ ‎-‎ ‎+‎ f（x）‎ 减 增 所以函数的递增区间为，递减区间为 8分 ‎（Ⅲ）对任意的，使成立，只需任意的，‎ ‎①当时，在上是增函数，‎ 所以只需 而 所以满足题意； 9分 ‎②当时，，在上是增函数，‎ 所以只需 ‎ 而 所以满足题意； 10分 ‎③当时，，在上是减函数，上是增函数，‎ 所以只需即可 而 从而不满足题意； 12分 综合①②③实数的取值范围为． 14分 ‎【考点】1．导数的几何意义；2．导数与单调性最值；3．不等式与函数的转化