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文档介绍
2017-2018学年山西省运城市高二上学期期中数学试题(理科)(解析版)
2017-2018学年山西省运城市高二(上)期中数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(5分)直线x+y﹣3=0的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.(5分)已知点A(2,﹣1,﹣3),点A关于x轴的对称点为B,则|AB|的值为( ) A.2 B.6 C. D.4 3.(5分)设l、m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题为真命题的是( ) A.若m∥l,m∥α,则l∥α B.若m⊥α,l⊥m,则l∥α C.若α∥β,l⊥α,m∥β,则l⊥m D.若m⊂α,m∥β,l⊂β,l∥α,则α∥β 4.(5分)如图,正方形O′A′B′C′的边长为1,它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形OABC的直观图,则它的原图形OABC的周长是( ) A.4 B.6 C.2+2 D.8 5.(5分)圆O1:x2+y2﹣2x=0和圆O2:x2+y2﹣4x=0的公切线条数( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 6.(5分)如图是一个几何体的三视图,在该几何体的各个面中.面积最小的面的面积为( ) A.4 B.4 C.4 D.8 7.(5分)若圆(x﹣3)2+(y﹣5)2=r2上有且只有四个点到直线4x+3y=2的距离等于1,则半径r的取值范围是( ) A.(4,6) B.(6,+∞) C.(﹣∞,4) D.[4,6] 8.(5分)已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离相等,则正确的结论是( ) A.平面ABC必不垂直于α B.平面ABC必平行于α C.平面ABC必与α相交 D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 9.(5分)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.﹣或﹣ B.﹣或﹣ C.﹣或﹣ D.﹣或﹣ 10.(5分)二面角α﹣l﹣β为60°,A、B是棱上的两点,AC、BD分别在半平面α、β内,AC⊥l,BD⊥l且AB=AC=1,BD=2,则CD的长为( ) A.1 B. C.2 D. 11.(5分)如图,边长为2的正方形ABCD中,点E、F分别 是AB、BC的中点,将△ADE,△EBF,△FCD分别沿DE,EF,FD折起,使得A、B、C三点重合于点A′,若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上,则该球的表面积为( ) A.8π B.6π C.11π D.5π 12.(5分)曲线y﹣1=(﹣2≤x≤2)与直线y=kx﹣2x+4有两个不同的交点时,实数k的取值范围是( ) A.(,] B.(,+∞) C.(,) D.(﹣∞,)∪(,+∞) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分). 13.(5分)已知直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行,则a= . 14.(5分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 . 15.(5分)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E,F是线段B1D1上的两个动点,且EF=,则下列结论正确的是 (填上所有你认为正确的结论的序号). ①AC⊥BF②直线AE,BF所成角为定值③EF∥平面ABC④三棱锥A﹣BEF的体积为定值. 16.(5分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2﹣4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值范围是 . 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程. 17.(10分)已知直线l过直线x﹣y﹣1=0与直线2x+y﹣5=0的交点P. (1)若l与直线x+3y﹣1=0垂直,求l的方程; (2)点A(﹣1,3)和点B(3,1)到直线l的距离相等,求直线l的方程. 18.(12分)如图,在四棱锥O﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M是OA的中点,N为BC的中点. (1)证明:直线MN∥平面OCD; (2)求点M到平面OCD的距离. 19.(12分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,E是CC1上的中点,且BC=1,BB1=2. (Ⅰ)证明:B1E⊥平面ABE (Ⅱ)若三棱锥A﹣BEA1的体积是,求异面直线AB和A1C1所成角的大小. 20.(12分)已知圆C的圆心在直线x﹣2y+4=0上,且与x轴交于两点A(﹣5,0),B(1,0). (1)设圆C与直线x﹣y+1=0交于E,F两点,求|EF|的值; (2)已知Q(2,1),点P在圆C上运动,求线段PQ中点M的轨迹方程. 21.(12分)已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其中正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形. (1)求证:平面CNB⊥平面CNB1; (2)求直线BB1与平面CNB1所成角的正弦值. 22.(12分)已知圆M:x2+(y﹣4)2=4,点P是直线l:x﹣2y=0上的一动点,过点P作圆M的切线PA、PB,切点为A、B. (Ⅰ)当切线PA的长度为2时,求点P的坐标; (Ⅱ)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当P运动时,圆N是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由; (Ⅲ)求线段AB长度的最小值. 2017-2018学年山西省运城市高二(上)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(5分)直线x+y﹣3=0的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 【分析】将直线方程化为斜截式,求出斜率再求倾斜角. 【解答】解:将已知直线化为y=, 所以直线的斜率为, 所以直线的倾斜角为150°, 故选:D. 【点评】本题考察直线的倾斜角,属基础题,涉及到直线的斜率和倾斜角问题时注意特殊角对应的斜率值,不要混淆. 2.(5分)已知点A(2,﹣1,﹣3),点A关于x轴的对称点为B,则|AB|的值为( ) A.2 B.6 C. D.4 【分析】先求出B(2,1,3),由此能求出|AB|. 【解答】解:∵点A(2,﹣1,﹣3),点A关于x轴的对称点为B, ∴B(2,1,3), ∴|AB|==2. 故选:A. 【点评】 本题考查两点间距离的求法,考查空间中关于x轴对称的点的坐标的求法、两点间距离公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 3.(5分)设l、m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题为真命题的是( ) A.若m∥l,m∥α,则l∥α B.若m⊥α,l⊥m,则l∥α C.若α∥β,l⊥α,m∥β,则l⊥m D.若m⊂α,m∥β,l⊂β,l∥α,则α∥β 【分析】利用空间直线的位置关系以及线面平行、面面平行的判定定理对选项分别分析解答. 【解答】解:对于A,若m∥l,m∥α,则l可能在α内,故A错误; 对于B,若m⊥α,l⊥m,则l可能在α内,故B错误; 对于C,若α∥β,l⊥α,得到l⊥β,结合m∥β,得到l⊥m;故C正确; 对于D,若m⊂α,m∥β,l⊂β,l∥α,则α与β可能相交;故D错误; 故选C. 【点评】本题考查了空间直线的位置关系以及线面平行、面面平行的判定定理,关键是熟练掌握定理. 4.(5分)如图,正方形O′A′B′C′的边长为1,它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形OABC的直观图,则它的原图形OABC的周长是( ) A.4 B.6 C.2+2 D.8 【分析】利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形,即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点,用直线段连结后得到原四边形,利用斜二测画法的长度关系即可得到结论 【解答】解:由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变,正方形的对角线在y′轴上, ∵O′A′=1, ∴原图形中OA=O′A′=1,对角线O′B′=, 则原图形中OB=2O′B′=2,且△OBC为直角三角形, 则OC==3, 则原图形的周长是2(3+1)=8, 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是平面图形的直观图,其中理解斜二测画法的规则,是解决本题的关键 5.(5分)圆O1:x2+y2﹣2x=0和圆O2:x2+y2﹣4x=0的公切线条数( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【分析】判断两个圆的位置关系,然后判断公切线条数. 【解答】解:圆O1:x2+y2﹣2x=0的圆心(1,0)半径为1;圆O2:x2+y2﹣4x=0的圆心(2,0),半径为2, O1O2=1=2﹣1,∴两个圆内切, 所以圆O1:x2+y2﹣2x=0和圆O2:x2+y2﹣4x=0的公切线条数:1. 故选:A. 【点评】本题考查两个圆的位置关系,两个圆相离公切线4条,相交2条,外切3条,内切1条. 6.(5分)如图是一个几何体的三视图,在该几何体的各个面中.面积最小的面的面积为( ) A.4 B.4 C.4 D.8 【分析】作出直观图,根据三视图数据计算各个表面的面积比较得出. 【解答】解:根据三视图作出物体的直观图如图所示:显然S△PCD>S△ABC. 由三视图特征可知PA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AB=AC=4,DB=2, ∴BC=4,∴S△ABC==8,S△PAC==8,S△BCD==4.S梯形PABD==12. ∴△BCD的面积最小. 故选B. 【点评】本题考查了空间几何体的三视图和结构特征,多面体的面积计算,属于基础题. 7.(5分)若圆(x﹣3)2+(y﹣5)2=r2上有且只有四个点到直线4x+3y=2的距离等于1,则半径r的取值范围是( ) A.(4,6) B.(6,+∞) C.(﹣∞,4) D.[4,6] 【分析】先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,由题意得|1﹣r|>1,解此不等式求得半径r的取值范围. 【解答】解:圆心(3,5)到直线4x+3y﹣2=0的距离等于=5, 由|1﹣r|>5得r>6, 故选:B. 【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用,以及绝对值不等式的解法. 8.(5分)已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离相等,则正确的结论是( ) A.平面ABC必不垂直于α B.平面ABC必平行于α C.平面ABC必与α相交 D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 【分析】讨论三个点的位置,可能在平面α的同侧,也可能在α的两侧,由此得出正确的结论. 【解答】解:平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等, 则可能三点在α的同侧,即平面ABC∥α, 这时三条中位线都平行于平面α; 也可能一个点A在平面α一侧, 另两点B、C在平面α另一侧, 此时存在一条中位线DE∥BC,DE在α内, 所以平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离相等时, 存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内. 故选:D. 【点评】本题考查了空间直线与平面的位置关系应用问题,是基础题. 9.(5分)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+ (y﹣2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.﹣或﹣ B.﹣或﹣ C.﹣或﹣ D.﹣或﹣ 【分析】点A(﹣2,﹣3)关于y轴的对称点为A′(2,﹣3),可设反射光线所在直线的方程为:y+3=k(x﹣2),利用直线与圆相切的性质即可得出. 【解答】解:点A(﹣2,﹣3)关于y轴的对称点为A′(2,﹣3), 故可设反射光线所在直线的方程为:y+3=k(x﹣2),化为kx﹣y﹣2k﹣3=0. ∵反射光线与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切, ∴圆心(﹣3,2)到直线的距离d==1, 化为24k2+50k+24=0, ∴k=或﹣. 故选:D. 【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点,考查了计算能力,属于中档题. 10.(5分)二面角α﹣l﹣β为60°,A、B是棱上的两点,AC、BD分别在半平面α、β内,AC⊥l,BD⊥l且AB=AC=1,BD=2,则CD的长为( ) A.1 B. C.2 D. 【分析】由题设条件,结合向量法求出CD的长. 【解答】解:如图, ∵在一个60°的二面角的棱上,有两个点A、B,AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段, AB=AC=1,BD=2, ∴,<>=120°, ∴= =1+1+4+2×1×2×cos120°=4. ∴|CD|=. 故选:C. 【点评】本题考查线段长的求法,解题时要注意空间思维能力的培养,注意向量法的合理运用,是中档题. 11.(5分)如图,边长为2的正方形ABCD中,点E、F分别 是AB、BC的中点,将△ADE,△EBF,△FCD分别沿DE,EF,FD折起,使得A、B、C三点重合于点A′,若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上,则该球的表面积为( ) A.8π B.6π C.11π D.5π 【分析】把棱锥扩展为正四棱柱,求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径,从而可求球的表面积. 【解答】解:由题意可知△A′EF是等腰直角三角形,且A′D⊥平面A′EF. 三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形, 然后扩展为正四棱柱,三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球, 正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径,直径为:=. ∴球的半径为, ∴球的表面积为=6π. 故选:B. 【点评】本题考查几何体的折叠问题,几何体的外接球的半径的求法,考查球的表面积,考查空间想象能力. 12.(5分)曲线y﹣1=(﹣2≤x≤2)与直线y=kx﹣2x+4有两个不同的交点时,实数k的取值范围是( ) A.(,] B.(,+∞) C.(,) D.(﹣∞,)∪(,+∞) 【分析】根据直线过定点,以及直线和圆的位置关系即可得到结论.利用数形结合作出图象进行研究即可. 【解答】解:由y=k(x﹣2)+4知直线l过定点(2,4),将y=1+,两边平方得x2+(y﹣1)2=4, 则曲线是以(0,1)为圆心,2为半径,且位于直线y=1上方的半圆. 当直线l过点(﹣2,1)时,直线l与曲线有两个不同的交点, 此时1=﹣2k+4﹣2k, 解得k=, 当直线l与曲线相切时,直线和圆有一个交点, 圆心(0,1)到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d==2, 解得k=, 要使直线l:y=kx+4﹣2k与曲线y=1+有两个交点时, 则直线l夹在两条直线之间,如图所示: 因此<k≤, 故选:A. 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,利用数形结合是解决本题的关键,考查学生的计算能力. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分). 13.(5分)已知直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行,则a= ﹣2 . 【分析】由直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行,能求出a的值. 【解答】解:∵直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行, ∴, 解得a=﹣2. 故答案为:﹣2. 【点评】本题考查实数值的求法,考查直线与直线平行的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 14.(5分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 100 . 【分析】如图所示,原几何体为:一个长宽高分别为6,3,6的长方体砍去一个三棱锥,底面为直角边分别为3,4直角三角形,高为4.利用长方体与三棱锥的体积计算公式即可得出. 【解答】解:如图所示,原几何体为: 一个长宽高分别为6,3,6的长方体砍去一个三棱锥,底面为直角边分别为3,4直角三角形,高为4. 因此该几何体的体积=3×6×6﹣ =108﹣8 =100. 故答案为:100. 【点评】本题考查了三视图、长方体与三棱锥的体积计算公式,属于基础题. 15.(5分)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E,F是线段B1D1上的两个动点,且EF=,则下列结论正确的是 ①③④ (填上所有你认为正确的结论的序号). ①AC⊥BF②直线AE,BF所成角为定值③EF∥平面ABC④三棱锥A﹣BEF的体积为定值. 【分析】①由AC⊥平面BDD1B1,证得AC⊥BF; ②可由两个极好位置说明两异面直线所成的角不是定值; ③由面面平行的定义可证得平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF; ④可计算三棱锥A﹣BEF的体积为定值. 【解答】解:对于①,如图①, 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F是线段B1D1上的两个动点, ∴AC⊥BD,AC⊥BB1,且BD∩BB1=B, ∴AC⊥平面BDD1B1, 又BF⊂平面BDD1B1,∴AC⊥BF,①正确; 对于②,异面直线AE、BF所成的角不为定值, 如图②, 当F与B1重合时,令上底面中点为O, 则此时两异面直线所成的角是∠A1AO, 当E与D1重合时,此时点F与O重合,则两异面直线所成的角是∠OBC1, 此二角不相等,故异面直线AE、BF所成的角不为定值,②错误; 对于③,EF∥BD,BD⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD, ∴EF∥平面ABCD,③正确; 对于④,由图①知,AC⊥平面BDD1B1, ∴A到平面BEF的距离为, 又EF=,且B到EF的距离为1, ∴△BEF的面积为××1=, ∴三棱锥A﹣BEF的体积为××=为定值,④正确. 综上,正确的命题序号是①③④. 故答案为:①③④. 【点评】本题考查了棱柱的结构特征以及正方体的几何性质与应用问题,是难题. 16.(5分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2﹣4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值范围是 [﹣2,2] . 【分析】由题意可得圆心为C(2,0),半径R=2;设两个切点分别为A、B,则由题意可得四边形PACB为正方形,圆心到直线y=k(x+1)的距离小于或等于PC=2, 即≤2,由此求得k的范围. 【解答】解:∵C的方程为x2+y2﹣4x=0,故圆心为C(2,0),半径R=2. 设两个切点分别为A、B,则由题意可得四边形PACB为正方形,故有PC=R=2, ∴圆心到直线y=k(x+1)的距离小于或等于PC=2, 即≤2,解得k2≤8,可得﹣2≤k≤2, 故答案为:[﹣2,2]. 【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质,点到直线的距离公式的应用,体现了转化的数学思想,属于中档题. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程. 17.(10分)已知直线l过直线x﹣y﹣1=0与直线2x+y﹣5=0的交点P. (1)若l与直线x+3y﹣1=0垂直,求l的方程; (2)点A(﹣1,3)和点B(3,1)到直线l的距离相等,求直线l的方程. 【分析】(1)求出P的坐标,求出l的斜率,代入点斜式方程整理即可; (2)通过讨论得到直线l的斜率存在,由距离相等得到关于斜率k的方程,解出k的值,求出直线方程即可. 【解答】解:(1)由,解得P(2,1), 由于l与x+3y﹣1=0垂直, 则l的斜率为3,代入直线的点斜式方程得:y﹣1=3(x﹣2), 即3x﹣y﹣5=0; (2)由(1)知直线l过P(2,1), 若直线l的斜率不存在,即x=2,此时,A,B的直线l的距离不相等, 故直线l的斜率一定存在, 设直线l的方程为:y=k(x﹣2)+1,即kx﹣y﹣2k+1=0, 由题意得=,解得:k=﹣1或k=﹣, 故所求直线方程是:x+2y﹣4=0或x+y﹣3=0. 【点评】本题考查了求直线方程问题,考查直线的位置关系以及点到直线的距离公式,是一道中档题. 18.(12分)如图,在四棱锥O﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M是OA的中点,N为BC的中点. (1)证明:直线MN∥平面OCD; (2)求点M到平面OCD的距离. 【分析】(1)取OB中点E,连结ME、NE,推导出ME∥CD,从而ME∥平面OCD,推导出EN∥OC,从而EN∥平面OCD,进而平面EMN∥平面OCD,由此能证明MN∥平面OCD. (2)M到平面OCD的距离是点A到平面OCD距离的,取CD的中点为P,连结OP,过点A作AQ⊥OP于点Q,从而AQ⊥平面OCD,线段AQ的长是点A到平面OCD的距离,由此能求出点M到平面OCD的距离. 【解答】证明:(1)取OB中点E,连结ME、NE, ∵ME∥AB,AB∥CD,∴ME∥CD, 又ME⊄平面OCD,CD⊂平面OCD, ∴ME∥平面OCD, ∵OB中点E,N为BC的中点,∴EN∥OC, ∵EN⊄平面OCD,OC⊂平面OCD, ∴EN∥平面OCD, ∵EN∩EM=E,EN,EM⊂平面EMN, ∴平面EMN∥平面OCD, ∵MN⊂平面MNE,∴MN∥平面OCD. 解:(2)∵M是OA的中点,∴M到平面OCD的距离是点A到平面OCD距离的, 取CD的中点为P,连结OP,过点A作AQ⊥OP于点Q, ∵AP⊥CD,OA⊥CD, ∴CD⊥平面OAP,∴AQ⊥OP,∴AQ⊥平面OCD, 线段AQ的长是点A到平面OCD的距离, ∵OP===,AP=, ∴AQ===. ∴点A到平面OCD的距离为, ∴点M到平面OCD的距离为. 【点评】本题考查线面平行的证明,考查点到平面的距离的求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题. 19.(12分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,E是CC1上的中点,且BC=1,BB1=2. (Ⅰ)证明:B1E⊥平面ABE (Ⅱ)若三棱锥A﹣BEA1的体积是,求异面直线AB和A1C1所成角的大小. 【分析】(Ⅰ)连接BE,只需证明BE⊥B1E,且AB⊥B1E=B,即可得到B1E⊥平面ABE; (Ⅱ)由V=V=V==,得AB=,异面直线AB和A1C1所成角为∠CAB,即可求解. 【解答】证明:(Ⅰ)连接BE,∵BC=1 BB1=2,E是CC1上的中点 △BCE,△B1C1E为等腰直角三角形,即,∴,即BE⊥B1E ∵AB⊥面BB1C1C.B1E⊂面ABC,∴B1E⊥AB,且AB∩BE=B, ∴B1E⊥平面ABE; 解:(Ⅱ)∵AB∥A1B1,∴A1、B1到面ABE的距离相等, 由(Ⅰ)得BE=B1E= 故V=V=V == 解得AB= ∵AC∥A1C1,∴异面直线AB和A1C1所成角为∠CAB, 在Rt△ABC中,tan,∴∠CAB=30° ∴异面直线AB和A1C1所成角的大小30°. 【点评】本题考查了空间线面垂直的判定,考查了异面直线夹角的求法,属于中档题. 20.(12分)已知圆C的圆心在直线x﹣2y+4=0上,且与x轴交于两点A(﹣5,0),B(1,0). (1)设圆C与直线x﹣y+1=0交于E,F两点,求|EF|的值; (2)已知Q(2,1),点P在圆C上运动,求线段PQ中点M的轨迹方程. 【分析】(1)由题意可得圆心C在AB的中垂线上,即C在直线x=﹣2上,与x﹣2y+4=0联立,可得圆心的坐标,进而得到半径r,求得圆心到直线x﹣y+1=0的距离,运用弦长公式计算可得|EF|; (2)设M(x,y),M为PQ的中点,运用中点坐标公式,可得P的坐标,再将其代入圆C的方程,化简可得所求轨迹方程. 【解答】解:(1)由圆C与x轴交于A(﹣5,0),B(1,0), 可得圆心C在AB的中垂线上,即C在直线x=﹣2上,与x﹣2y+4=0联立, 可得C(﹣2,1),半径r==, 则圆C的方程为(x+2)2+(y﹣1)2=10, 圆心到直线x﹣y+1=0的距离d==, 则|EF|=2=2=4; (2)设M(x,y),M为PQ的中点, 且Q(2,1),可得P(2x﹣2,2y﹣1), 由P在圆C上运动,将其坐标代入圆C的方程可得, (2x﹣2+2)2+(2y﹣1﹣1)2=10, 即为x2+(y﹣1)2=. 则线段PQ中点M的轨迹方程为x2+(y﹣1)2=. 【点评】本题考查直线和圆相交的弦长求法,以及线段的中点的轨迹方程的求法,注意运用代入法,考查运算能力,属于中档题. 21.(12分)已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其中正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形. (1)求证:平面CNB⊥平面CNB1; (2)求直线BB1与平面CNB1所成角的正弦值. 【分析】(1)根据三视图可得BC⊥平面ANB1B,故而NB1⊥BC,根据俯视图和勾股定理逆定理可得B1N⊥BN,于是B1N⊥平面CNB,从而得出结论; (2)过B作BH⊥CN,则BH⊥平面CNB1,于是∠BB1H为所求角. 【解答】(1)证明:∵几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴BC,BA,BB1两两垂直, ∴BC⊥平面ANB1B,又B1N⊂平面ANB1B, ∴BC⊥B1N, 由正视图和俯视图可知AN=4,AB=4,BB1=8, ∴BN=B1N=4, ∴BN2+B1N2=BB12,即BN⊥B1N, 又BN∩BC=B, ∴B1N⊥平面CNB, 又B1N⊂平面CNB1, ∴平面CNB⊥平面CNB1. (2)解:过B作BH⊥CN于H,连结B1H, 由(1)可知平面CNB⊥平面CNB1,又BH⊥CN,平面CNB∩平面CNB1=CN, ∴BH⊥平面CNB1, ∴∠BB1H为直线BB1与平面CNB1所成的角, 由正视图可知BC=4,在Rt△BCN中,CN==4, ∴BH===. ∴sin∠BB1H==. 【点评】本题考查了面面垂直的判定,线面角的计算,属于中档题. 22.(12分)已知圆M:x2+(y﹣4)2=4,点P是直线l:x﹣2y=0上的一动点,过点P作圆M的切线PA、PB,切点为A、B. (Ⅰ)当切线PA的长度为2时,求点P的坐标; (Ⅱ)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当P运动时,圆N是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由; (Ⅲ)求线段AB长度的最小值. 【分析】(Ⅰ)因为PA是圆M的一条切线,所以∠MAP=90°,所以MP=,即可点P的坐标; (Ⅱ)设P(2b,b),因为∠MAP=90°,所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径,其方程为:,即(2x+y﹣4)b﹣(x2+y2﹣4y)=0,即可得出结论; (Ⅲ)求出点M到直线AB的距离,利用勾股定理,即可求线段AB长度的最小值. 【解答】解:(Ⅰ)由题可知,圆M的半径r=2,设P(2b,b), 因为PA是圆M的一条切线,所以∠MAP=90°, 所以MP=,解得 所以…4分 (Ⅱ)设P(2b,b),因为∠MAP=90°,所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径, 其方程为: 即(2x+y﹣4)b﹣(x2+y2﹣4y)=0 由,…7分 解得或,所以圆过定点…9分 (Ⅲ)因为圆N方程为(x﹣b)2+(y﹣)2= 即x2+y2﹣2bx﹣(b+4)y+4b=0 …① 圆M:x2+(y﹣4)2=4,即x2+y2﹣8y+12=0…② ②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为:2bx+(b﹣4)y+12﹣4b=0…11分 点M到直线AB的距离…13分 相交弦长即: 当时,AB有最小值…16分. 【点评】本题考查直线和圆的方程的应用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 查看更多