上海市格致中学2015-2016学年高二（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

上海市格致中学2015-2016学年高二（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

‎2015-2016学年上海市格致中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、填空题（本题11小题，每小题4分，共44分）‎ ‎1．已知，若与平行，则k=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎2．双曲线C：3x2﹣4y2=12的焦点坐标为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎3．等差数列{an}中，a4+a5+a6+a7+a8=150，则S11=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎4．向量经矩阵变换后得到矩阵，则x﹣y=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎5．过点A（4，﹣3），且与原点距离最大的直线方程是　　　　　　．（用一般式表示）‎ ‎　‎ ‎6．以椭圆的左焦点F1为圆心，过此椭圆右顶点A的圆截直线3x+4y﹣21=0所得的弦长为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎7．已知A（2，1），B（2，﹣1），O为坐标原点，动点P（x，y）满足=m+n，其中m、n∈R，且m2+n2=，则动点P的轨迹方程是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎8．已知O为△ABC的外心，且，则的值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎9．已知双曲线（a＞0，b＞0）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为　　　　　　．‎ ‎　‎ 第18页（共18页）‎ ‎10．数列{an}的前m项为，若对任意正整数n，有an+m=anq（其中q为常数，q≠0且q≠1），则称数列{an}是以m为周期，以q为周期公比的似周期性等比数列，已知似周期性等比数列{bn}的前4项为1，1，1，2，周期为4，周期公比为3，则数列{bn}前4t+2项的和等于　　　　　　．（t为正整数）‎ ‎　‎ ‎11．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎12．“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的（　　）‎ A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　‎ ‎13．若a＞b＞0，则直线与椭圆在同一坐标系中的位置只可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎14．已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，点P是它们的一个交点，则△F1PF2面积的大小是（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎　‎ ‎15．设数列{an}的前n项和是Sn，令，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a502的“理想数”为2015，则数列6，a1，a2，…，a502的理想数为（　　）‎ A．2014 B．2015 C．2016 D．2017‎ 第18页（共18页）‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共4小题，满分40分）‎ ‎16．椭圆的中心在原点，焦点在x上，焦距为，且经过点．‎ ‎（1）求满足条件的椭圆方程；‎ ‎（2）求椭圆的长轴长和焦点坐标．‎ ‎　‎ ‎17．设数列{an}满足a1=1，an+1=3an．‎ ‎（1）求{an}的通项公式及前n项和Sn；‎ ‎（2）已知{bn}是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b2=a1+a2+a3，求T38．‎ ‎　‎ ‎18．（2008•上海）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…，简记为{An}、若由构成的数列{bn}满足bn+1＞bn，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{An}为T点列，‎ ‎（1）判断，，是否为T点列，并说明理由；‎ ‎（2）若{An}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，判断△AkAk+1Ak+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；‎ ‎（3）若{An}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．‎ ‎　‎ ‎19．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：相切．‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足：，（其中m为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C2；‎ ‎（3）在（2）的结论下，当时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎　‎ 第18页（共18页）‎ ‎2015-2016学年上海市格致中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本题11小题，每小题4分，共44分）‎ ‎1．已知，若与平行，则k=　　．‎ ‎【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．‎ ‎【专题】计算题；规律型；平面向量及应用．‎ ‎【分析】利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：，若与平行，‎ 可得2k=3，解得k=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．双曲线C：3x2﹣4y2=12的焦点坐标为　（±，0）　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】利用双曲线方程求出双曲线的几何量，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：双曲线C：3x2﹣4y2=12，可得a=2，b=，c==．‎ 双曲线的焦点坐标：（±，0），‎ 故答案为：（±，0）．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．等差数列{an}中，a4+a5+a6+a7+a8=150，则S11=　330　．‎ ‎【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ 第18页（共18页）‎ ‎【分析】由等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等且等于项数之和一半的项，把已知条件化简后，即可求出a5的值，然后再由等差数列前n项和公式求出前11项的和S11．‎ ‎【解答】等差数列 {an}中，a4+a5+a6+a7+a8=150，‎ 所以5a6=150，‎ 所以a6=30，‎ 所以S11==11a6=330．‎ 则前11项的和S11=330．‎ 故答案为：330．‎ ‎【点评】题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，同时考查等差数列的前n项和公式，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎4．向量经矩阵变换后得到矩阵，则x﹣y=　1　．‎ ‎【考点】几种特殊的矩阵变换．‎ ‎【专题】矩阵和变换．‎ ‎【分析】由已知得==，由此能求出x﹣y=1．‎ ‎【解答】解：∵向量经矩阵变换后得到矩阵，‎ ‎∴==，‎ ‎∴x=3，y=2，‎ ‎∴x﹣y=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意几种特殊变换的合理运用．‎ ‎　‎ ‎5．过点A（4，﹣3），且与原点距离最大的直线方程是　4x﹣3y﹣25=0　．（用一般式表示）‎ ‎【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；直线与圆．‎ ‎【分析】过A（4，﹣3）且与原点O（0，0）距离最大的直线的方程为过点A且与直线OA垂直的直线 第18页（共18页）‎ ‎【解答】解：过A（4，﹣3）且与原点O（0，0）距离最大的直线的方程为：‎ 过点A且与直线OA垂直的直线，‎ ‎∵kOA=﹣，‎ ‎∴所求直线方程的斜率k=，‎ ‎∴所求直线方程为：y+3=（x﹣4，‎ 整理，得4x﹣3y﹣25=0，‎ 故满足条件的直线方程为：4x﹣3y﹣25=0，‎ 故答案为：4x﹣3y﹣25=0‎ ‎【点评】本题考查直线方程的求法，是基题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离最高值的合理理解．‎ ‎　‎ ‎6．以椭圆的左焦点F1为圆心，过此椭圆右顶点A的圆截直线3x+4y﹣21=0所得的弦长为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】求出椭圆的左焦点，求出圆的半径，利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径与半弦长的关系，求解直线被圆截直线3x+4y﹣21=0所得的弦长．‎ ‎【解答】解：椭圆，可得a=5，b=4，c=3，椭圆的左焦点F1为（﹣3，0），‎ 圆的半径为：a+c=8，‎ 圆的圆心（﹣3，0）到直线3x+4y﹣21=0的距离d==6，‎ 圆的圆心到直线的距离与圆的半径与半弦长满足勾股定理，‎ 可得弦长为：2=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ 第18页（共18页）‎ ‎7．已知A（2，1），B（2，﹣1），O为坐标原点，动点P（x，y）满足=m+n，其中m、n∈R，且m2+n2=，则动点P的轨迹方程是　　．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】设动点P（x，y），根据向量间的关系得到x=2m+2n，y=m﹣n，代入m2+n2=化简可得动点P的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设动点P（x，y ），则 ‎∵点P满足=m+n，其中m、n∈R，‎ ‎∴（x，y ）=（2m+2n，m﹣n），‎ ‎∴x=2m+2n，y=m﹣n，‎ ‎∴m=，n=，‎ ‎∵m2+n2=，‎ ‎∴（）2+（）2=，即．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查两个向量坐标形式的运算，训练了利用代入法求曲线的方程，是中档题，建立动点P（x，y ）与m、n的关系是解题的关键．．‎ ‎　‎ ‎8．已知O为△ABC的外心，且，则的值为　﹣12　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】过O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F．利用垂经定理及数量积的运算性质可得•=2， •=2．再利用向量的三角形法则、数量积的运算性质即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 过O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F．‎ ‎∴•=2， •=2．‎ ‎∴•=•（﹣）=•﹣•‎ 第18页（共18页）‎ ‎=2﹣2=×（52﹣72）=﹣12．‎ 故答案为：﹣12．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的外心性质、垂径定理、向量的三角形法则及数量积的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．已知双曲线（a＞0，b＞0）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为　　．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】利用行列式求出a，b的关系，利用双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，求出双曲线的右焦点，从而可求双曲线的标准方程．‎ ‎【解答】解：由，可得，‎ ‎∴‎ ‎∵双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，‎ ‎∴c=，‎ ‎∵c2=a2+b2，‎ ‎∴a=1，b=，‎ ‎∴双曲线的方程为．‎ 故答案为：．‎ 第18页（共18页）‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程，考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，求出几何量是关键．‎ ‎　‎ ‎10．数列{an}的前m项为，若对任意正整数n，有an+m=anq（其中q为常数，q≠0且q≠1），则称数列{an}是以m为周期，以q为周期公比的似周期性等比数列，已知似周期性等比数列{bn}的前4项为1，1，1，2，周期为4，周期公比为3，则数列{bn}前4t+2项的和等于　　．（t为正整数）‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【专题】新定义；整体思想；分析法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】bn的每4项求和的数列设为Cn，求bn前4t项之和就是求Cn前t项之和．由于bn是周期为4的似周期性等比数列，则=3，所以=3．由等比数列求和公式，即可得到所求和．‎ ‎【解答】解：把bn的每4项求和的数列设为Cn，‎ 也就是说 C1=B1+B2+…+B4，Ct=B4t﹣3+B4t﹣2+…+B4t，‎ 因此，求bn前4t项之和就是求Cn前t项之和．‎ 由于bn是周期为4的似周期性等比数列，‎ 则=3，‎ 所以=3．‎ 由等比数列求和公式，可得为c1+c2+c3+…+ct=‎ ‎=（3t﹣1）．‎ 这就是数列bn前4t项之和，最后就是加上b4t+1，b4t+2这两项，‎ 由于b4t+1=b1×3t=3t．b4t+2=b1×3t=3t．‎ 因此，数列bn前4t+2项和就是（3t﹣1）+3t+3t=．‎ 故答案为：．‎ 第18页（共18页）‎ ‎【点评】本题主要考查数列与函数的综合、等比数列求和公式、新定义型问题的解决方法，考查运算求解能力、化归与转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力和意识．‎ ‎　‎ ‎11．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为　　．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【专题】计算题；压轴题；转化思想．‎ ‎【分析】由圆的方程为求得圆心C（1，1）、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．‎ ‎【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0‎ ‎∴圆心C（1，1）、半径r为：1‎ 根据题意，若四边形面积最小 当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，‎ 切线长PA，PB最小 圆心到直线的距离为d=3‎ ‎∴|PA|=|PB|=‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．‎ ‎　‎ 二、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎12．“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的（　　）‎ A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】两条直线垂直的判定．‎ ‎【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．‎ 第18页（共18页）‎ ‎【分析】判断充分性只要将“m=”代入各直线方程，看是否满足（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0，判断必要性看（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0的根是否只有．‎ ‎【解答】解：当m=时，直线（m+2）x+3my+1=0的斜率是，直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0的斜率是，‎ ‎∴满足k1•k2=﹣1，‎ ‎∴“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的充分条件，‎ 而当（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0得：m=或m=﹣2．‎ ‎∴“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”充分而不必要条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定．‎ ‎　‎ ‎13．若a＞b＞0，则直线与椭圆在同一坐标系中的位置只可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；数形结合；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】利用a＞b＞0，推出直线的斜率，在y轴上的截距，椭圆的焦点坐标的位置，即可判断图形．‎ ‎【解答】解：a＞b＞0，可知直线的斜率大于0，在y轴上的截距为正，椭圆的焦点坐标在x轴上，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质与直线的位置的判断，是基础题．‎ ‎　‎ 第18页（共18页）‎ ‎14．已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，点P是它们的一个交点，则△F1PF2面积的大小是（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；椭圆的应用．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】利用双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式，即可得出三角形的面积．‎ ‎【解答】解：如图所示，不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF1|=s，|PF2|=t．‎ 由双曲线和椭圆的定义可得，‎ 解得．‎ 在△PF1F2中，cos∠F1PF2==‎ ‎∵m﹣1=n+1，‎ ‎∴m﹣n=2，‎ ‎∴cos∠F1PF2=0，∴∠F1PF2=90°．‎ ‎∴△F1PF2面积为=1．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆与双曲线方程及其几何性质及代数运算能力．熟练掌握双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式是解题的关键．‎ ‎　‎ 第18页（共18页）‎ ‎15．设数列{an}的前n项和是Sn，令，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a502的“理想数”为2015，则数列6，a1，a2，…，a502的理想数为（　　）‎ A．2014 B．2015 C．2016 D．2017‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【专题】新定义；整体思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．‎ ‎【分析】根据题意，数列a1，a2，…，a402的“理想数”为2015，有=2015；可得S1+S2+…+S402=2015×402；则数列6，a1，a2，…，a402的“理想数”为，整理可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意知，数列a1，a2，…，a402的“理想数”为2015，‎ 则有=2015；‎ 所以S1+S2+…+S402=2015×402；‎ 所以，数列6，a1，a2，…，a402的“理想数”为：‎ ‎=‎ ‎=6+=6+5×402=2016．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了新定义的理解和运用，考查数列前n项和的公式，即Sn=a1+a2+…+an的灵活应用，解题时要弄清题意，灵活运用所学知识，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共4小题，满分40分）‎ ‎16．椭圆的中心在原点，焦点在x上，焦距为，且经过点．‎ ‎（1）求满足条件的椭圆方程；‎ ‎（2）求椭圆的长轴长和焦点坐标．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】常规题型；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）利用椭圆的焦距以及椭圆经过的点，求出a，b即可得到椭圆方程．‎ ‎（2）利用椭圆的方程求出结果即可．‎ 第18页（共18页）‎ ‎【解答】解：（1）依题意，得：，所以，解得：，‎ 所以，椭圆方程为：‎ ‎（2）长轴长为4，焦点坐标为（﹣，0），（，0），‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎17．设数列{an}满足a1=1，an+1=3an．‎ ‎（1）求{an}的通项公式及前n项和Sn；‎ ‎（2）已知{bn}是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b2=a1+a2+a3，求T38．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）由题意可判数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，可得通项公式和前n项和；‎ ‎（2）由（1）可得b1=3，b2=13，可得公差d=10，代入求和公式计算可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵数列{an}满足a1=1，an+1=3an，∴ =3，‎ ‎∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎∴{an}的通项公式an=1×3n﹣1=3n﹣1，‎ 前n项和Sn==（3n﹣1）；‎ ‎（2）由（1）可得b1=3，b2=1+3+9=13，‎ ‎∴公差d=10，∴T38=38×3+×10=7144‎ ‎【点评】本题考查数列求和，涉及等差数列和等比数列的求和公式，属中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（2008•上海）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…，简记为{An}、若由构成的数列{bn}满足bn+1＞bn，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{An}为T点列，‎ 第18页（共18页）‎ ‎（1）判断，，是否为T点列，并说明理由；‎ ‎（2）若{An}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，判断△AkAk+1Ak+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；‎ ‎（3）若{An}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．‎ ‎【考点】单位向量；数列的概念及简单表示法；平面向量数量积的运算；不等式的证明．‎ ‎【专题】综合题；压轴题；规律型．‎ ‎【分析】（1）根据所给的n个点的坐标，看出数列{an}的通项，把数列{an}的通项代入新定义的数列{bn}，验证数列{bn}满足bn+1＞bn，‎ 得到{An}是T点列的结论．‎ ‎（2）用所给的三个点构造三个向量，写出三个向量的坐标，问题转化为向量夹角的大小问题，判断出两个向量的数量积小于零，得到两个向量所成的角是钝角，得到结果．‎ ‎（3）本题是要求判断两组向量的数量积的大小，根据两个数列各自的项之间的大小关系，得到向量的数量积之间的关系，本题不用做具体的数字运算，只是一个推理过程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知，‎ ‎∴，‎ 显然有bn+1＞bn，‎ ‎∴{An}是T点列 ‎（2）在△AkAk+1Ak+2中，，‎ ‎∵点A2在点A1的右上方，‎ ‎∴b1=a2﹣a1＞0，‎ ‎∵{An}为T点列，‎ ‎∴bn≥b1＞0，‎ ‎∴（ak+2﹣ak+1）（ak﹣ak+1）=﹣bk+1bk＜0，则 ‎∴∠AkAk+1Ak+2为钝角，‎ ‎∴△AkAk+1Ak+2为钝角三角形、‎ 第18页（共18页）‎ ‎（3）∵1≤m＜n＜p＜q，m+q=n+p，‎ ‎∴q﹣p=n﹣m＞0①‎ aq﹣ap=aq﹣aq﹣1+aq﹣1﹣aq﹣2+…+ap+1﹣ap=bq﹣1+bq﹣2+…+bp≥（q﹣p）bp②‎ 同理an﹣am=bn﹣1+bn﹣2+…+bm≤（n﹣m）bn﹣1、③‎ 由于{An}为T点列，于是bp＞bn﹣1，④‎ 由①、②、③、④可推得aq﹣ap＞an﹣am，‎ ‎∴aq﹣an＞ap﹣am，‎ 即 ‎【点评】本题表面上是对数列的考查，实际上考查了两个向量数量积，数量积贯穿始终，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到比较大小的问题，是一个大型的综合题．可以作为高考卷的压轴题．‎ ‎　‎ ‎19．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：相切．‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足：，（其中m为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C2；‎ ‎（3）在（2）的结论下，当时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】综合题；压轴题．‎ ‎【分析】（1）设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则．由此能求出圆的方程．‎ ‎（2）设动点Q（x，y），A（x0，y0），AN⊥x轴于N，N（x0，0）由题意，（x，y）=m（x0，y0）+（1﹣m）（x0，0），所以，由此能求出动点Q的轨迹方程．‎ 第18页（共18页）‎ ‎（3）时，曲线C方程为，设直线l的方程为y=﹣x+b．设直线l与椭圆交点B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程，得7x2﹣8bx+4b2﹣12=0．由此能求出△OBD面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则，2分 圆C1的方程为x2+y2=4，2分 ‎（2）设动点Q（x，y），A（x0，y0），AN⊥x轴于N，N（x0，0）‎ 由题意，（x，y）=m（x0，y0）+（1﹣m）（x0，0），所以，2分 即：，将代入x2+y2=4，得，3分 ‎（3）时，曲线C方程为，设直线l的方程为y=﹣x+b 设直线l与椭圆交点B（x1，y1），D（x2，y2）‎ 联立方程得7x2﹣8bx+4b2﹣12=0，1分 因为△=48（7﹣b2）＞0，解得b2＜7，且，2分 ‎∵点O到直线l的距离，．‎ ‎∴=，2分 ‎（当且仅当b2=7﹣b2即时取到最大值），1分 ‎∴△OBD面积的最大值为．1分．‎ ‎【点评】本题考查圆的方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，具体涉及到圆的简单性质、椭圆的性质和应用、直线和圆锥曲线的位置关系的应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．‎ 第18页（共18页）‎ ‎　‎ 第18页（共18页）‎