数学（理）卷·2018届山西实验中学、南海桂城中学高三上学期联考（2017

数学（理）卷·2018届山西实验中学、南海桂城中学高三上学期联考（2017

山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知，则复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知，，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是的既不充分也不必要条件 D. 是的充要条件 ‎4.如图所示的程序框图中，输出的的值是（ ）‎ A．80 B．100 C．120 D．140 ‎ ‎5. 等差数列的前项和为,若,则（ ）‎ A．18 B．27 C. 36 D．45‎ ‎6.已知双曲线离心率为，则其渐近线与圆的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．相切 C.相离 D．不确定 ‎7.若满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. 1 D．2‎ ‎8.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 函数的图象大致是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.的展开式中的系数是（ ）‎ A．56 B．84 C. 112 D．168‎ ‎11.设抛物线的焦点为,点在上，，若以为直径的圆过点,则的方程为（ ）‎ A．或 B．或 ‎ C. 或 D．或 ‎12．若函数在单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，且与的夹角为，则 ．‎ ‎14．某路公交车在6:30，7 :00，7 :30准时发车，小明同学在6:50至7:30之间到达该站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为 ．‎ ‎15．已知为锐角，且，则 ．‎ ‎16. 已知四棱锥的外接球为球，底面是矩形，面底面，且，则球的表面积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设等比数列的公比为，前项和.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）设，记的前项和为，试比较与的大小.‎ ‎18. 如图所示，在中，斜边，将沿直线旋转得到，设二面角的大小为.‎ ‎（1）取的中点，过点的平面与分别交于点，当平面平面时，求的长（2）当时，求二面角的余弦值.‎ ‎19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位:千元)‎ 对年销售量（单位:)和年利润（单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎ ‎ 表中.‎ ‎（1）根据散点图判断与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎（3）已知这种产品的利润与的的关系为.根据（2）的结果回答下列问题：‎ ‎（ⅰ）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎（ⅱ）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附:对于一组数据，其回归直线的的斜率和截距的最小二乘估计为.‎ ‎20.设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）在点的轨迹上有一点且点在轴的上方，，求的范围.‎ ‎21.已知.‎ ‎（1）当时，判断函数在区间上的单调性；‎ ‎（2）求证：曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4 :极坐标与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中，曲线(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）分别求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若分别为曲线上的动点，求的最大值.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 ‎ 已知函数，且的解集为.‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）若均为正实数，且满足，求证：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:ABACB 6-10:CDCCD 11、12：CC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为是等比数列，可得.‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 即 上式等价于不等式组：①‎ 或②‎ 解①式得；解②，由于可为奇数、可为偶数，得.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎（2）由得 ‎，.‎ 于是.‎ 又因为，且或，所以，‎ 当或时，，即；‎ 当或时，，即；‎ 当，或时，，即.‎ ‎18.解：（1）证明：因为平面平面,‎ 平面平面，平面平面，‎ 所以.‎ 因为为的中点，所以为的中点.‎ 同理可证：为的中点.所以.‎ 在中，斜边,‎ 可知：,即,‎ 所以.‎ ‎（2）解:过点作交于点,连接,则.‎ 因为，‎ 所以平面平面.‎ 因为平面平面，平面，‎ 所以平面.‎ 以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 在中，，‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则可得令可得.‎ 易知：平面.‎ 所以.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎19.（1）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型.‎ ‎（2）令，先建立关于的线性回归方程.‎ 由于，所以关于的线性回归方程为，‎ 因此关于的回归方程为.‎ ‎（3）①由（2）知，当时，年销售量的预报值,‎ 年利润的预报值.‎ ‎②根据（2）的结果知，年利润的预报值.‎ 所以当,即时，取得最大值.‎ 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.‎ ‎20.解:设点的坐标为 因为点坐标为，所以直线的斜率 同理，直线的斜率 由已知有 化简，得点的轨迹方程为 方法一：设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为，‎ 因为点的坐标为在点的轨迹上，所以 得 ‎，‎ 因为，，‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 方法二：设点的坐标为，点的坐标分别为 直线的斜率，直线的斜率 由得 所以（1）‎ 又由于点的坐标为为在点的轨迹上，所以 得，代入（1）得 ‎.‎ 因为，，‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 方法三设点的坐标为，点的坐标分别为 直线的斜率，直线的斜率 由得 所以（1）‎ 又由于点的坐标为为在点的轨迹上，所以 代入（1）得，，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 方法四：设点的坐标为，点的坐标分别为 直线的斜率，直线的斜率 由得 所以（1）‎ 将代入（1）得，，.‎ 因为，，‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 方法五设点的坐标为，点的坐标分别为 直线的斜率，直线的斜率 由得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 所以解得.‎ ‎21.解：（1）解：.‎ ‎①当时，，所以时，函数没有单调性 ‎②当时，，得，所以时，，函数单调递增；‎ ‎③当时，，所以时，，函数单调递减；‎ 时，，函数单调递增.‎ ‎（2）证明：因为 所以要证曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线，‎ 只需证明：当时,且时函数是单调函数即可.‎ 由（1）可知，当时, 在上递减；在上递增.‎ 因为，.‎ 所以,使得.‎ 所以在区间上，单调递减，且,在上.‎ 又因为时，，，‎ 所以在上.‎ 综上可知，曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线.‎ ‎22.解：（1）由曲线参数方程可得 因为,所以的普通方程为.‎ 因为曲线的极坐标方程为，即，‎ 故曲线的直角坐标方程为，即.‎ ‎（2）设 则到曲线的圆心的距离 ‎∵，∴当时，有最大值.‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎23．（1）因为，等价于有解，得，‎ 且其解集.又的解集为，故.‎ 所以可化为，∴.‎ ‎①当时，，∴，又，∴；‎ ‎②当时，，∴，∴,又,∴；‎ ‎③当时，，∴，又，∴.‎ 综上①、②、③不等式的解集为：‎ ‎（2）证明：均为正实数，且满足.‎ 因为(当且仅当时，取“=”)，‎ 所以，即.‎