数学（文）卷·2018届江西师范大学附属中学高三4月月考（2018

数学（文）卷·2018届江西师范大学附属中学高三4月月考（2018

江西师大附中高三年级数学（文）月考试卷 命题人：谢辉 审题人：程晓 2018.4‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个正确选项。‎ ‎1.设集合，则A∩B=‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知复数，若是复数的共轭复数，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是（   ） ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎4.数列{an}的通项an是关于x的不等式x2﹣x＜nx（n∈N）的解集中的整数个数，则数列{an}的前n项和Sn=（　　）‎ A．n2 B．n(n+1) C． D．(n+1)(n+2）‎ ‎5.函数y=x+cosx的大致图象是（　　）‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎6. 直线l与曲线y＝x2＋ln x在点(1，1)的切线垂直，则l的方程为(　　)‎ A．3x－y－2＝0 B．x－3y＋2＝0 ‎ C．3x＋y－4＝0 D．x＋3y－4＝0‎ ‎7.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎9.若函数y=f（x）的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y= sinx的图象则y=f（x）是（　　）‎ A．y= B．y=‎ C．y= D．y=‎ ‎10.函数是偶函数，则函数的对称轴是 （ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎11. 若向量＝(a－1，2)，＝(4，b)，且⊥，a＞0，b＞0，则有(　　)‎ A．最大值 B．最小值 C．最大值－ D．最小值0‎ ‎12.定义域和值域均为（常数a>0）的函数和大致图象如图所示，给出下列四个命题：‎ ‎①方程有且仅有三个解；‎ ‎②方程有且仅有三个解；‎ ‎③方程有且仅有九个解；‎ ‎④方程有且仅有一个解。那么，其中一定正确的命题是（    ）‎ A．①②    B．②③    C．①④    D．②④‎ 二、填空题 ：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.已知向量夹角为，且，则 ‎14.已知xy=2x+y+2（x＞1），则x+y的最小值为　　．‎ ‎15.设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P 在椭圆上运动， 的最大值为m， 的最小值为n，且m≥2n，则该椭圆的离心率的取值范围为　　．‎ ‎16. 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，(x、y∈R)，f(1)＝2，有下列命题：‎ ‎①f(－2)＝2，②设g(x)＝f(x)＋f(－x)，g(x)是偶函数，③设h(x)＝f(x＋1)－f(x)，h(x)是常函数，④若x∈N，则f(x)的值可组成等差数列．‎ 其中正确命题有________．(填所有正确命题序号)‎ 三、解答题：共70分。第17题到第21题为必答题，每题12分。第22题和第23题为选做题，考生只需选择其中之一做答，该小题10分。‎ ‎17.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，S是该三角形的面积，且 ‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若角A为锐角，，求边BC上的中线AD的长.‎ ‎18. 四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．‎ ‎（1）求证：AE⊥BE；‎ ‎（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．‎ ‎19. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求直方图中a的值；‎ ‎（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．‎ ‎20. 点 M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线焦点，=60°，|FM|=4．‎ ‎（1）求抛物线C方程；‎ ‎（2）D（﹣1，0），过F的直线l交抛物线C与A、B两点，以F为圆心的圆F与直线AD相切，试判断并证明圆F与直线BD的位置关系．‎ ‎21. 已知函数．‎ ‎（1）当=0时，求实数的m值及曲线在点（1，）处的切线方程；‎ ‎（2）讨论函数的单调性．‎ ‎22. 已知关于的不等式（其中）。‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若不等式有解，求实数的取值范围。‎ ‎23.已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值.‎ 试卷答案 ‎1.C ‎∵，∴.故选C.‎ ‎2.A ‎3.C ‎4.C ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】通过解不等式求出数列{an}的通项an判断数列{an}是什么数列，即可数列{an}的前n项和Sn[]‎ ‎【解答】解：不等式x2﹣x＜nx（n∈N）的解集为{x|0＜x＜n+1}‎ ‎∵通项an是解集中的整数个数 ‎∴an=n（n∈N）‎ ‎∵an+1﹣an=n+1﹣n=1（常数），‎ ‎∴数列{an}是首先为1，公差为1的等差数列．‎ ‎∴前n项和Sn=．‎ 故选C ‎5.B ‎【考点】函数的图象与图象变化；函数的图象．‎ ‎【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断．‎ ‎【解答】解：由于f（x）=x+cosx，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣x+cosx，‎ ‎∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），‎ 故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；‎ 又当x=时，x+cosx=x，‎ 即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．‎ 故选：B．‎ ‎6. D　由y＝x2＋ln x，得y′＝2x＋，‎ ‎∴y＝x2＋ln x在点(1，1)处的切线的斜率 k＝y′|x＝1＝2＋1＝3，‎ ‎∴直线l的斜率为k′＝－，[]‎ ‎∴l的方程为y－1＝－(x－1)，‎ 即x＋3y－4＝0.‎ ‎7.A ‎【命题意图】本小题主要考查三视图、空间几何体的体积，等基础知识，考查空间想像能力、运算求解能力、创新意识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、直观想象等．‎ ‎【试题简析】该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个圆锥，然后挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此，故选A.‎ ‎【错选原因】错选B：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个圆锥，且未挖掉一个相同的圆锥.‎ 错选C：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个圆锥，且未挖掉一个相同的圆锥.‎ 错选D：圆锥的公式记忆错误.‎ ‎8.D ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由于=﹣，‎ 则n=1，S=﹣1；n=2，S=﹣+﹣1=﹣1；‎ n=3，S=2﹣+﹣+﹣1=2﹣1；‎ ‎…‎ n=2016，S=﹣1；‎ n=2017，S=﹣1.2017＞2016，此时不再循环，‎ 则输出S=﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎9.B ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】根据题意以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，平移函数y=sinx的图象可得y=f（x）的图象．‎ ‎【解答】解：根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得，‎ 把函数y=sinx的图象向上平移1个单位，可得函数y=sinx+1的图象；‎ 再将整个图象沿x轴向右平移个单位，可得y=sin（x﹣）+1的图象；‎ 再把图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，可得y=sin（2x﹣）+1的图象，‎ 故函数f（x）=sin（2x﹣）+1，‎ 故选B．‎ ‎10.A ‎11. B　由m⊥n，即m·n＝0，得4(a－1)＋2b＝0，‎ ‎∴2a＋b＝2，∴2≥2.‎ ‎∴ab≤(当且仅当a＝b时，取＝)．‎ 而loga＋log3＝loga＋logb＝logab≥log＝log32.‎ ‎ 12.答案：C ‎ ‎13.‎ 试题分析：对两边平方得，即，解得.‎ 考点：向量运算.‎ ‎14.7‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由题意可得y=，整体代入变形可得x+y=x﹣1++3，由基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：∵xy=2x+y+2，∴y=，‎ ‎∴x+y=x+=x﹣1++1‎ ‎=x﹣1++3≥2+3=7‎ 当且仅当x﹣1=即x=3时取等号，‎ 故答案为：7．‎ ‎15.[，1）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题椭圆定义利用配方法求得的最大值m，再由平面向量的坐标运算求得•的最小值n，由m≥2n，结合隐含条件求得椭圆的离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a，‎ ‎∴|PF2|=2a﹣|PF1|（a﹣c≤|PF1|≤a+c），‎ ‎∴|PF1|•|PF2|=|PF1|（2a﹣|PF1|）=﹣|PF1|2+2a|PF1|=﹣（|PF1|﹣a）2+a2‎ ‎∵a﹣c≤|PF1|≤a+c ‎∴|PF1|•|PF2|=﹣（|PF1|﹣a）2+a2∈[b2，a2]，‎ ‎∴的最大值m=a2；‎ 设P（x，y），‎ 则=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）‎ ‎=x2+y2﹣c2=x2+﹣c2=，‎ ‎∵x∈[﹣a，a]，∴x2∈[0，a2]，‎ ‎∴•的最小值为n=b2﹣c2，‎ 由m≥2n，得a2≥2（b2﹣c2）=2（a2﹣2c2）=2a2﹣4c2，‎ ‎∴a2≤4c2，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎16. 解析：①令x＝y＝0，f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2＝6，‎ ‎∴f(2－2)＝f(2)＋f(－2)－8，‎ ‎∴f(－2)＝2，①正确．‎ ‎②令x＋y＝0，∴y＝－x，‎ ‎∴f(0)＝f(x)＋f(－x)－2x2，‎ ‎∴f(x)＋f(－x)＝2x2，‎ 即g(x)＝2x2是偶函数，②正确．‎ ‎③令y＝1，∴f(x＋1)＝f(x)＋f(1)＋2x，‎ ‎∴f(x＋1)－f(x)＝2＋2x，‎ 即h(x)＝2x＋2是增函数，③错．‎ ‎④由③知，f(n＋1)－f(n)＝2n＋2，不为常数，④错．‎ 答案：①②‎ ‎17.解析:（1）原式 …………………………2分 ‎    ‎ ‎     …………………………4分[]‎ ‎    因 …………………………………………………… 6分 ‎   （2）因A为锐角，则 ‎    而面积 …………………8分 ‎    解法一：又由余弦定理，………………10分 ‎    又，‎ ‎    即 ……………………………………………………………………12分 ‎    解法二：作CE平行于AB，并延长AD交CE地E，‎ ‎ ‎ ‎   在△ACE中，‎ ‎    又 ‎    即 ‎    这样 …………………………………………12分 ‎18. ‎ ‎【解答】证明：（1）∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，‎ ‎∴BF⊥AE，BF⊥CE，‎ ‎∵EB=BC，∴F是CE的中点，‎ 又∵AD⊥平面ABE，AD⊂平面ABCD，‎ ‎∴平面ABCD⊥平面ABE，‎ ‎∵平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB ‎∴BC⊥平面ABE，‎ 从而BC⊥AE，且BC∩BF=B，‎ ‎∴AE⊥平面BCE，BE⊂平面BCE，‎ ‎∴AE⊥BE；‎ ‎（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，‎ 在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，‎ ‎∴CN=CE．‎ ‎∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，‎ ‎∴MG∥平面ADE．‎ 同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，‎ ‎∴平面MGN∥平面ADE．‎ 又MN⊂平面MGN，‎ ‎∴MN∥平面ADE．‎ 故N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．‎ ‎19. 【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，‎ ‎∴a=0.3；‎ ‎（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，‎ 由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；‎ ‎（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；‎ 月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；‎ 则x=2.5+0.5×=2.9吨 ‎20. 【解答】解：（I）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为l′：x=﹣，过M作MN⊥l′于点N，连接NF，则|MN|=|FM|，[]‎ ‎∵∠NMF=∠MFx=60°，∴△MNF为等边三角形，‎ ‎∴|NF|=4，∴p=2，‎ ‎∴抛物线C的方程为y2=4x；‎ ‎（II）直线l的斜率不存在时，△ABD为等腰三角形，且|AD|=|BD|．‎ ‎∴圆F与直线BD相切；‎ 直线l的斜率存在时，设方程为y=k（x﹣1），代入抛物线方程，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=1，∴x1=，‎ 直线AD的方程为y=（x+1），即y1x﹣（x1+1）y+y1=0，‎ ‎∴R2=，‎ 直线BD的方程为y2x﹣（x2+1）y+y2=0，‎ F到直线BD的距离d，d2==，‎ ‎∴R2=d2，‎ ‎∴R=d，‎ ‎∴圆F与直线BD相切，‎ 综上所述，圆F与直线BD相切．‎ ‎21. 【解答】解：（1）函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 求导，‎ 由f'（1）=0，解得m=﹣1‎ 从而f（1）=﹣1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣1．　　‎ ‎（2）由，‎ 当m≥0时，函数y=f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）‎ 当m＜0时，由，得，或，‎ 当m＜﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，﹣）和（，+∞）增区间为（﹣，）；‎ 当m=﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，+∞）没有增区间．‎ 当﹣2＜m＜0时，y=f（x）的减区间为（0，）和（﹣，+∞），增区间为（，﹣）‎ 综上可知：当m≥0时，函数y=f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）；‎ 当m＜﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，﹣）和（，+∞）增区间为（﹣，）；‎ 当m=﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，+∞）没有增区间；‎ 当﹣2＜m＜0时，y=f（x）的减区间为（0，）和（﹣，+∞），增区间为（，﹣）．‎ ‎22.‎ ‎23.‎ ‎（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为. ………………………2分 又，‎ 所以曲线的直角坐标方程为. …………………4分 ‎（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得，…………………6分 令，得，即点的坐标为(2，0). 又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，‎ 半径，则， …………………………………………8分 所以. …………………………………………………10分