福建省三明市2018届高三5月质量检查测试数学理试题

福建省三明市2018届高三5月质量检查测试数学理试题

准考证号_______________姓名______________‎ ‎（在此卷上答题无效）‎ ‎2018年三明市普通高中毕业班质量检查测试 理 科 数 学 本试卷共6页．满分150分．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． ‎ ‎3．考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D． ‎ ‎2．已知复数是虚数单位，，则＝‎ A． 　　　 B． 　　 C．0　　　 D．2‎ ‎3．如图，是平面四边形各边中点，若在平面四边形中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是 A．　　　　 B．　　　　 C．　　　 　D．　‎ ‎4．如图，已知正方体的棱长为2，则以下四个命题中错误的是 A．直线与为异面直线　　‎ B．平面　‎ C．　　　　　　　　　 ‎ D．三棱锥的体积为　‎ ‎5．在边长为2的等边三角形中，若，则 A． B． C． D． ‎ ‎6．已知函数．‎ 命题的图象关于点对称；命题在区间上为减函数，则 A．为真命题 B．为假命题 C．为真命题 D．为假命题 ‎7．我国古代著名的“物不知数”问题：“今有物其数大于八，二二数之 剩一，三三数之剩一，五五数之剩二，问物几何？”即“已知大于八 的数，被二除余一，被三除余一，被五除余二，问该数为多少？”为 解决此问题，现有同学设计了如图所示的程序框图，则框图中的“”‎ 处应填入 A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．若，，，则的大小关系为 ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎9．已知，，点在圆上运动，若△的面积的最小值为，则实数的值为 A．或　　 B．或　　　　C．或　 D．或 ‎10．在两直角边分别为，斜边为的直角三角形中，若，，则实数的取值范围是 A．　　 B．　　 C．　　　 D．　‎ ‎11．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图是腰长为的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为 A． 　　　　　 B． ‎ C． 　　　 D． ‎ ‎12．已知函数，当时，对于任意的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．设实数满足约束条件则的最大值为＿＿＿＿＿＿．‎ ‎14．已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则＝＿＿＿＿＿＿．‎ ‎15．设，则＝＿＿．‎ ‎16．已知双曲线的左、右焦点分别为，是右支上的一点，是的延长线上一点，且，若，则的离心率的取值范围是______________． ‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答． ‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）‎ 已知正项数列的前n项和为，，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，，求数列的前项和．‎ ‎18．（12分）‎ 在四棱锥中，． ‎ ‎（1）设与相交于点，，‎ 且平面，求实数的值；‎ ‎（2）若且, 求二面角的正弦值．‎ ‎19．（12分）‎ 在平面直角坐标系中，已知，若直线⊥于点，点是直线上的一动点，是线段的中点，且，点的轨迹为曲线． ‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点作直线交于点，交轴于点，过作直线，交于点．试判断是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由．‎ ‎20．（12分） ‎ 近年来，随着汽车消费的普及，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车的交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到如图1所示的频率分布直方图．在图1对使用时间的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率． ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎（1）若在该交易市场随机选取3辆2017年成交的二手车，求恰有2辆使用年限在 的概率；‎ ‎（2）根据该汽车交易市场往年的数据，得到图2所示的散点图，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．‎ ‎①由散点图判断，可采用作为该交易市场二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表(表中，)： ‎ ‎5.5‎ ‎8.7‎ ‎1.9‎ ‎301.4‎ ‎79.75‎ ‎385‎ 试选用表中数据，求出关于的回归方程；‎ ‎②该汽车交易市场拟定两个收取佣金的方案供选择．‎ 甲：对每辆二手车统一收取成交价格的的佣金；‎ 乙：对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的的佣金．‎ 假设采用何种收取佣金的方案不影响该交易市场的成交量，根据回归方程和图表1，并用各时间组的区间中点值代表该组的各个值．判断该汽车交易市场应选择哪个方案能获得更多佣金． ‎ 附注：‎ ‎①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；‎ ‎②参考数据：．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.‎ ‎（二）选考题：本题满分10分．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．‎ ‎22．选修4－4：坐标系与参数方程（10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； ‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，求．‎ ‎23. 选修4－5：不等式选讲（10分）‎ 已知函数，，．‎ ‎（1）当时，解关于的不等式；‎ ‎（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎2018年三明市普通高中毕业班质量检查测试 理科数学参考答案 一．选择题： ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A B D ‎ B ‎ C A B D C A D 二．填空题：‎ ‎13．6　　14．　　15．5　　16．　　‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎17．解：（1）因为，且，‎ 所以，所以． 2分 所以 …①，‎ 当时，有 …②，‎ ‎①、②两式作差得， 3分 所以，‎ 因为，所以，又因为，所以． 6分 ‎（2）因为，，所以，，‎ 所以当时，，‎ ‎＝＝． 8分 又也适合上式，所以． 9分 所以＝＝， 10分 所以＝＝，‎ ‎＝． 12分 ‎18．解：（1）因为,所以． 2分 因为，平面，平面平面，‎ 所以． 4分 所以，即． 5分 ‎（2）因为,可知为等边三角形，‎ 所以，又，‎ 故，所有．‎ 由已知，所以平面，‎ 如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建 ‎ 立空间直角坐标系，设，则，‎ 所以，则，‎ 设平面的一个法向量为，则有 即 设，则，所以，　 ………………………8分 设平面的一个法向量为，由已知可得 即　‎ 令，则，所以 ．　…………………………………10分 所以，………………………11分 设二面角的平面角为，则．………12分 ‎19．解：（1）设，由题意得，‎ 所以，　　　…………………………2分 所以，化简得，‎ 所以所求点的轨迹E的方程为． ………………………5分 ‎（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， ‎ 令，得，即．‎ 由　解得，即，…8分 因为，所以的方程为，‎ 由　解得，　 　 ……………10分 所以，，，‎ 所以＝2．　　　　　 …………………………………………………12分 ‎20．解：（1）由频率分布直方图知，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在 ‎ 的频率为，使用时间在的频率为．‎ 所以在该汽车交易市场2017年成交的二手车随机选取1辆，其使用时间在的概 率为， 2分 所以所求的概率为． 3分 ‎（2）①由得，则关于的线性回归方程为． 4分 由于 则关于的线性回归方程为， ……………………………6分 所以关于的回归方程为 ……………………………7分 ‎②根据频率分布直方图和①中的回归方程，对成交的二手汽车可预测：‎ 使用时间在的频率为，‎ 对应的成交价格的预测值为；‎ 使用时间在的频率为，‎ 对应的成交价格预测值为；‎ 使用时间在的频率为，‎ 对应的成交价格的预测值为；‎ 使用时间在的频率为，‎ 对应的成交价格的预测值为；‎ 使用时间在的频率为，‎ 对应的成交价格的预测值为．……………………………9分 若采用甲方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为 ‎ ‎ ‎＝万元；‎ 若采用乙方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为 ‎　 ‎ 万元． …………………………………………………………11分 因为，所以采用甲方案能获得更多佣金．　　　 　　　 ……………12分 ‎21．解：（1）因为对恒成立，‎ 等价于对恒成立，　　　 …………………………1分 设得 ‎，　　　 …………………………3分 故在上单调递增， ‎ 当时，由上知，所以,即，‎ 所以实数的取值范围为；　　　　　　　 ……………………………6分 ‎（2）对求导得，　　　　 ……………7分 记，，‎ 由（1）知在区间内单调递增，又，‎ 所以存在唯一正实数，使得，‎ 当时，，，函数在区间单调递减；‎ 时，，，函数在区间单调递增； ‎ 所以在内有最小值， 　…………………9分 ‎ 由题设即． ‎ 又因为．所以．　　……………………10分 根据（1）知， 在内单调递增，，‎ 所以．令，则 ‎，函数在区间内单调递增，‎ 所以，‎ 即函数的值域为．　　　　　　 ……………………………12分 ‎22． 解法一：（1）由得的普通方程为， …………1分 又因为， 所以的极坐标方程为． 3分 ‎（或）‎ 由得，即， 4分 所以的直角坐标方程为． 5分 ‎（2）设的极坐标分别为，则 6分 由消去得， 7分 化为，即， 8分 因为，即，所以，或， 9分 即或所以． 10分 解法二： （1）同解法一 ……………………………5分 ‎（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆． 6分 将的参数方程化为标准形式(其中为参数)，代入的直角坐标方程为得，，‎ 整理得，，解得或． 8分 设对应的参数分别为 ，则．所以， 9分 又因为是圆上的点，所以 10分 解法三： （1）同解法一． ……………………………5分 ‎（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆． 6分 又由①得的普通方程为， 7分 则点到直线的距离为， 8分 所以，所以是等边三角形，所以， 9分 又因为是圆上的点，所以 10分 ‎23. 解：（1）当时，，则 2分 当时，由得，，解得； ‎ 当时，恒成立；‎ 当时，由得，，解得． 4分 所以的解集为． 5分 ‎（2）因为对任意，都存在，使得不等式成立，‎ 所以． 6分 因为，所以，‎ 且， ①‎ 当时，①式等号成立，即． 7分 又因为， ②‎ 当时，②式等号成立，即． 8分 所以，整理得，， 9分 解得或，即的取值范围为． 10分