数学文卷·2017届河北省衡水市冀州中学高三11月月考（第三次）（2016

数学文卷·2017届河北省衡水市冀州中学高三11月月考（第三次）（2016

河北冀州中学 2016—2017 学年度上学期第三次月考 高三年级文科数学试题 考试时间 120 分钟 试题分数 150 分 一、选择题（本大题共 l6 个小题，每小题 5 分，共 80 分．）． 1、设 ，则 z 的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 2、判断下列四个命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ，其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 3、已知 f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b 是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则 a＋b＝ (　 　) A. －1　　　　 B．1 7 C．1 D．7 4、在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增， 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”． 这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共 有 7 层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶 层有（　　）盏灯． A．2 B．3 C．5 D．6 5、下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 为减函数的是（ ） A B C D 6、若 ，则 （ ） A． B． C． D． 7、已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 使得 ， 则 的最小值为（ ） A． B． C． D．不存在 8、若正数组成的等差数列 的前 20 项的和为 100，则 的最大值为（ ） A 25； B 50； C100； D 不存在． 9、已知 ，若 ， ，则（ ） A ； B ； C ； D． { }na 10 3 iz i = + 1 3i− + 1 3i− − 1 3i+ 1 3i− a b   a b=  a b=  a b=  a b=  a b   a b=  a b=  1 2 3 4 π      ππ ， 2 xy 2cos= x y cos 2 1     = ln cosy x= xy sin= 3 3 1 sin 7,sin( ) cos(2 ) 12 2 1 sin 5 π π απ α α π α α +< < − + − + =− sin cosα α− = 7 5 − 7 5 ± 1 5 − 1 5 ± 7 6 52a a a= + ,m na a 14m na a a= 1 4 m n + 5 3 25 6 3 2{ }na 147 aa ⋅ ( ) 2sin 4f x x π = +   ( )lg5a f= 1lg 5b f  =    0a b− = 1a b+ = 1a b− = 0a b+ = 10、已知 满足约束条件 ，若 恒成立，则实数 的 取值范围为（ ） A． B． C． D． 11、一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图(又称主视图)、侧视图(又称 左视图)如图所示,则其俯视图为( ) 12、如果函数 y＝f(x)在区间 I 上是增函数，且函数 y＝f(x) x 在区间 I 上是减函数， 那么称函数 y＝f(x)是区间 I 上的“缓增函数”，区间 I 叫做“缓增区间”．若函数 f(x)＝1 2x2－x＋3 2 是区间 I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为(　　) A．[1，＋∞) B．[0， 3 ] C．[0,1] D．[1， 3 ] 二、 填空题(本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分). 13.数列{an}的通项公式 ，前 n 项和为 Sn，则 ＝__________. 14、已知函数 ，则 ___________． 15、一正方体内接于一个球，经过球 心作一个截面，则截面的可能图形为 __________(只填写序号). 16、已知函数 ，若 存在实数 ，使得方程 有且仅有两个不等的实数根，则实数 的取 值范围为_____________． 三、解答题（本大题 包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分 12 分）在锐角△ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，已 知 ，b ＝3， ． （Ⅰ） 求角A 的大小； （Ⅱ） 求△ABC 的面积． yx, 2 0 2 2 0 2 2 0 x y x y x y + − ≤  − − ≤  − + ≥ 2 0x y k+ + ≥ k 6k ≥ 6k ≤ 4k ≤ − 4k ≥ − sin 12n na n π= + 2016S ( ) ( ) ( )= 2log 0 9 1 0x x xf x x−  > + ≤ ( ) 3 11 log =2f f f        ＋ ( )= 2 2x x x af x x a  ≥  < ， ， b ( ) 0f x b− = a 7a = 7 sin sin 2 3B A+ = 18.（本小题满分 12 分）已知数列 的前 项之和为 满足 . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前 项和 ． 19. （本小题满分 12 分）在△ABC 中,角 , , 所对的边分别为 , ,c. 已知 ， 且 ； （1）求角 的大小; （2）设 ,求 T 的取值范围. 20．已知正项数列 的首项 ，前 n 项和 Sn 满足 （n≥2）． （Ⅰ）求证：{ }为等差数列，并求数列 的通项公式； （Ⅱ）记数列{ }的前 n 项和为 Tn，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围． 21、（本题满分 12 分） 设函数 （1）求函数 的单调区间； （2）设 是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在， { }na n nS 2 2n nS a= − { }na { }(2 1) nn a− ⋅ n nT A B C a b ( )2 2 2sin ,m C b a c= − − ( )2 2 22sin sin ,n A C c a b= − − − //m n  B 2 2 2sin sin sinT A B C= + + { }na 1 1a = 1n n na S S −= + nS { }na 1 1 n na a + n N ∗∈ 24 nT a a< − ( ) lnf x x x= ( )f x F R2( ) ( )( )x ax f x a′= + ∈ ，F( )x 请说明理由； （3）当 时．证明： ． 22.（本题满分 10 分） 选修 4－5：不等式选讲 已知函数 f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|． （1）求证：﹣3≤f（x）≤3； （2）解不等式 f（x）≥x2﹣2x． 　 　 高三年级文科数学月三答案 1-12 D A B B D D C A B A C D 13. 1008 14、 7 15、①②③ 16、 ． 17. （Ⅰ）解：在 中，由正弦定理 得 ，即 ， 又因为 ，解得 ， ………… 2 分 因为 为锐角三角形，所以 . ………… 4 分 （Ⅱ）解：在 中，由余弦定理 ，得 ， 即 ，解得 或 . ………… 6 分 当 时，因为 ， 所以角 为钝角，不符合题意，舍去. ……………… 8 分 当 时，因为 ，且 ， ， 所以 为锐角三角形，符合题意. ……………… 10 分 0>x ( ) 1xe f x′> + ( ) ( )2 4−∞ + ∞， ， ABC∆ sin sin a b A B = 7 3 sin sinA B = 7 sin 3sinB A= 7 sin sin 2 3B A+ = 3sin 2 A = ABC∆ π 3A = ABC∆ 2 2 2 cos 2 b c aA bc + −= 21 9 7 2 6 c c + −= 2 3 2 0c c− + = 1c = 2c = 1c = 2 2 2 cos 2 7 014 c bB ac a + −= = − < B 2c = 2 2 2 cos 2 7 014 c bB ac a + −= = > b c> b a> ABC∆ 所以 的面积 . ……… 12 分 18.解：（Ⅰ） ………2 分 ， ………4 分 易得： ，则 ………6 分 （Ⅱ） ， ①………7 分 . ②………9 分 ① － ② 得 ， ………………10 分 ， ………12 分 19.解：（1） ,……1 分 因为 ,所以 , ……2 分 所以 ,……4 分 因为 ,所以 ,因为 ,所以 ;……6 分 （Ⅱ） ……7 分 ……8 分 ……9 分 因为 ,所以 ,故 ,……10 分 因此 ,所以 ……12 分 20．解：（I）∵ ∴ ∴ ∴数列{ }是首项为 1，公差为 1 的 等差数列………2 分 ∴ =n ∴ ABC∆ 1 1 3 3 3sin 3 22 2 2 2S bc A= = × × × = 2 2n nS a= − 1 12 2n nS a− −= − 1 12 2 2n n n n na a a a a− −⇒ = − ⇒ = 1 2a = 2n na = ( ) ( )2 3 11 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2n n nT n n−= × + × + × + ⋅⋅⋅+ − + − ( ) ( )2 3 4 12 1 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2n n nT n n += × + × + × + ⋅⋅⋅+ − + − ( )2 3 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2n n nT n +− = + × + × + ⋅⋅⋅+ × − − ( ) ( ) ( )1 1 14 2 2 2 1 2 6 2 3 2 1 2 1 2 n n n n n+ + − = + × − − = − − − − − ( ) 16 2 3 2n nT n += + − 2 2 2 2 2 2 sin 2 cos cosB sin cos 2sin sin 2 cos cos sin cos C b a c ac B c C B A C ab C b C B Cc a b − − −= = = =− −− − sin 0C ≠ sin cos 2sin cos sin cosB C A B C B= − 2sin cos sin cos sin cos sin( ) sinA B B C C B B C A= + = + = sin 0A ≠ 1cos 2B = 0 πB< < π 3B = 2 2 2 1 3 1sin sin sin (1 cos2 ) (1 cos2 )2 4 2T A B C A C= + + = − + + − ( )7 1 7 1 4π(cos2 cos2 ) cos2 cos 24 2 4 2 3A C A A−  =  + = − − + ( ) ( )37 1 1 7 1 πcos2 sin 2 cos 24 2 2 2 4 2 3A A A= − − = − + 2π0 3A< < 4π0 2 3A< < π π 5π23 3 3A< + < ( )π 11 cos 2 3 2A− + <≤ 3 9 2 4T< ≤ ∴ =n+n﹣1=2n﹣1 （n≥2） ………………………4 分 当 n=1 时，a1=1 也适合 ∴an=2n﹣1 ………………………6 分 （II）∵ = = …………………8 分 ∴ = = …………10 分 ∴Tn ∵4Tn＜a2﹣a 恒成立 ∴2≤a2﹣a，解得 a≥2 或 a≤﹣1…………12 分 21.解：（1） ． 令 ，即 ，得 ，故 的增区间为 ； 令 ，即 ，得 ，故 的减区间为 ； ∴ 的单调增区间为 ， 的单调减区间为 ．……………4 分 （2） ， 当 时，恒有 ∴ 在 上为增函数，故 在 上无极值； 当 时，令 ，得 单 调 递 增 , 单 调 递 减． ∴ ， 无极小值； 综上所述： 时， 无极值 时， 有极大值 ,无极小值．……………8 分 （3）证明：设 则即证 ， 只要证 ∵ ∴ ， 又 在 上单调递增 ∴方程 有唯一的实根 ，且 ．……………9 分 ∵当 时， ．当 时， ∴当 时， ∵ 即 ，则 ∴ ∴原命题得证 ……………12 分 22. 解：（1）当 x≤﹣1 时，f（x）=3，成立； 当﹣1＜x＜2 时，f（x）=﹣2x+1，﹣4＜﹣2x＜2，∴﹣3＜﹣2x+1＜3，成立； 当 x≥2 时，f（x）=﹣3，成立；故﹣3≤f（x）≤3；（5 分） （2）当 x≤﹣1 时，x2﹣2x≤3，∴﹣1≤x≤2，∴x=1； 当﹣1＜x＜2 时，x2﹣2x≤﹣2x+1，∴﹣1≤x≤1，∴﹣1＜x≤1； 当 x≥2 时，x2﹣2x≤﹣3，无解；（8 分） 综合上述，不等式的解集为： （10 分）[ ]1,1−