安徽省合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学（理）试题 含答案

安徽省合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学（理）试题 含答案

合肥市2020届高三第一次教学质量检测 数学试题(理科)‎ ‎(考试时间：120分钟 满分：150分)‎ 第Ⅰ卷 (60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则( ). ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设复数满足(为虚数单位)，在复平面内对应的点为(，)，则(　 　).‎ A. B. C. D.‎ ‎3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( ).‎ A.这五年，2013年出口额最少 B.这五年，出口总额比进口总额多 C.这五年，出口增速前四年逐年下降 D.这五年，2017年进口增速最快 ‎4.下列不等关系，正确的是( ).‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎5.已知等差数列的前项和为，，，则的值等于( ).‎ A.21 B‎.1 C.-42 D.0‎ ‎6.若执行右图的程序框图，则输出的值等于( ).‎ A.2 B‎.3 ‎‎ C.4 D.5‎ ‎7.函数的图象大致为( ).‎ ‎8.若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是( ).‎ A.的图象关于对称 B.在上有2个零点 C.在区间上单调递减 D.在上的值域为 ‎9.已知双曲线()的左右焦点分别为，圆与双曲线的渐近线相切，是圆与双曲线的一个交点.若，则双曲线的离心率等于( ).‎ A. B‎.2 C. D.‎ ‎10.射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ).‎ ‎(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001)‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，则：‎ ‎①平面分正方体所得两部分的体积相等；‎ ‎②四边形一定是平行四边形；‎ ‎③平面与平面不可能垂直；‎ ‎④四边形的面积有最大值.‎ 其中所有正确结论的序号为( ).‎ A.①④ B.②③ C. ①②④ D. ①②③④ ‎ ‎12.已知函数，则函数的零点个数为( ) (是自然对数的底数).‎ A.6 B‎.5 C.4 D.3‎ 第Ⅱ卷 (90分)‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.‎ ‎13.已知向量(1，1)，，且∥，则的值等于 .‎ ‎14.直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，弦的长为16，则直线的倾斜角等于 .‎ ‎15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有 种.‎ ‎16.已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切(，且)，则球的体积等于 ，球的表面积等于 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在中，内角所对的边分别为，若，.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若边的中线长为，求的面积.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：‎ 研学游类型 科技体验游 民俗人文游 自然风光游 学校数 ‎40‎ ‎40‎ ‎20‎ 该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)：‎ ‎(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；‎ ‎(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图，已知三棱柱中，平面平面，，.‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)设，，求二面角的余弦值.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 设椭圆()的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数(为自然对数的底数).‎ ‎(1)求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；‎ ‎(2)设方程()有两个实数根，，求证：.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)设曲线与直线交于点，点的坐标为(3，1)，求.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()，不等式的解集为.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，，，且，求的最大值.‎ 合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)‎ 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C D D B A B A C C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.-2 14.或 15.72 16.，(第一空2分，第二空3分)‎ 三、解答题：大题共6小题，满分70分.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 解：(1)在中，，且，‎ ‎∴，∴，‎ 又∵，∴.‎ ‎∵是三角形的内角， ∴. ………………………………5分 ‎(2)在中，，‎ 由余弦定理得，∴，‎ ‎∵，∴.‎ 在中，，，，‎ ‎∴的面积. ………………………………12分 ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，‎ ‎∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”‎ ‎，则这两种类型都有学校选择的概率为：. ………………………………5分 ‎(2)可能取值为0，1，2，3.‎ 则，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴. ……………………………12分 或解：∵随机变量服从，∴. ……………………………12分 ‎ ‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎(1)连结.‎ ‎∵，四边形为菱形，∴.‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ 平面，，‎ ‎∴平面.‎ 又∵，∴平面，∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，而平面，‎ ‎∴. …………………………5分 ‎(2)取的中点为，连结.‎ ‎∵，四边形为菱形，，∴，.‎ 又∵，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，如图.‎ 设，，，，‎ ‎∴(0，0，0)，(1，0，)，(2，0，0)，(0，1，0)，(-1，1，).‎ 由(1)知，平面的一个法向量为.‎ 设平面的法向量为，则，∴.‎ ‎∵，，∴.‎ 令，得，即 .‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角的余弦值为. ……………………………12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎(1)设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为知，.‎ 设圆的半径为，则，‎ ‎∴，解得，∴，‎ ‎∴椭圆的方程为. ……………………………5分 ‎(2)∵关于原点对称，，∴.‎ 设，.‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为.‎ 由直线和椭圆方程联立得，即，‎ ‎∴.‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，，‎ ‎∴圆的圆心O到直线的距离为，∴直线与圆相切.‎ 当直线的斜率不存在时，依题意得，.‎ 由得，∴，结合得，‎ ‎∴直线到原点O的距离都是，‎ ‎∴直线与圆也相切.‎ 同理可得，直线与圆也相切.‎ ‎∴直线、与圆相切. …………………………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ ‎(1)由，得，∴函数的零点.‎ ‎，，.‎ 曲线在处的切线方程为.‎ ‎，，‎ ‎∴曲线在处的切线方程为.………………………5分 ‎(2).‎ 当时，；当时，.‎ ‎∴的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ 由(1)知，当或时，；当时，.‎ 下面证明：当时，.‎ 当时，‎ ‎.‎ 易知，在上单调递增，‎ 而，‎ ‎∴对恒成立，‎ ‎∴当时，.‎ 由得.记.‎ 不妨设，则，‎ ‎∴.‎ 要证，只要证，即证.‎ 又∵，∴只要证，即.‎ ‎∵，即证.‎ 令.‎ 当时，，为单调递减函数；‎ 当时，，为单调递增函数.‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴. …………………………12分 ‎22.(本小题满分10分)‎ ‎(1)曲线的方程，∴，∴，‎ 即曲线的直角坐标方程为：. …………………………5分 ‎(2)把直线代入曲线得，‎ 整理得，.‎ ‎∵，设为方程的两个实数根，则 ‎，，∴为异号，‎ 又∵点(3，1)在直线上，‎ ‎∴.‎ ‎…………………………10分 ‎23.(本小题满分10分)‎ 解：(1)∵，∴的解集为，‎ ‎∴，解得，即. …………………………5分 ‎(2)∵，∴.‎ 又∵，，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当，结合解得，，时，等号成立，‎ ‎∴的最大值为32. …………………………10分