2017-2018学年福建省闽侯二中五校教学联合体高二上学期期中考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年福建省闽侯二中五校教学联合体高二上学期期中考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018 学年福建省闽侯二中五校教学联合体高二上学期期中考试 数学（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1.不等式 的解集为 （ ） A. B. C. D. 2．下列结论正确的是　 (　　) A.若 ,则 B.若 ,则 C.若 ,则 D.若 ,则 3. 已知等比数列{ }的前 项和 , ，则 的值为　(　　 ) A.1 B. C. 1 或 D. 1 或 4. 的内 所对的边分别为 ，已知 ，则 ＝ (　 　) A． B． C． D． 5. 在 中，若 ，则该三角形的形状是( 　) A.等腰三角形 B. 等边三角形 C.直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 在数列 中， ，则 ( 　) A. B. C. D. 7.在各项都不为 0 的等差数列{ }中, ,数列 是等比数列,且 ,则 =　 (　　 ) A.2 B.4 C.8 D.16 8． 的内 所对的边分别为 ，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是 （ ） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 0322 ≥−+ xx { | 3 1}x x x≤ − ≥或 }31|{ ≤≤− xx { | 1 3}x x x≤ − ≥或 }13|{ ≤≤− xx a b> ac bc> a b> 2 2a b> , 0a c b c c+ < + < a b> a b> a b> na 3 3 21S = 3 7a = q公比 1 2 − 1 2 − 2− ABC∆ , ,A B C角 , ,a b c 25, 2,cos 3a c A= = = b 3 2 3 2 ABC∆ lgsin lgcos lgsin lg 2A B C− − = { }na 1 2 2 1n na a a+ + + = − *( )n∈N 2 2 2 1 2 na a a+ + + = ( )2n2 -1 ( )n1 4 -13 n4 -1 ( )2n1 2 -13 na 2 3 7 112 2 0a a a− + = { }nb 7 7b a= 6 8b b ABC∆ , ,A B C角 , ,a b c 6b = 30A = ° °= 60C 3a = 2c = °= 60B 7=a 5=b °= 60A 3a = 4b = °= 45A 9. 已知函数 的图象过定点 ,且点 在直线 上,则 的最小值为 ( ) A.2 B.8 C.9 D.10 10. 已知实数 满足约束条件 ，若 的最大值为 12,则 的最小值为( ) A.-3 B.-6 C.3 D.6 11. 等差数列 的前 项和为 ,若 ,且 有最小值,那么以下四个结论： ①公差 ；② ；③ ；④当 =18 时， 取得最小正值． 其中正确的是 （ ） A．①② B. ①④ C.①③ D. ②③ 12. 已知函数 ( >0，且 ≠1)．若数列 满足 ＝ ，且数列 是递增数列，则实数 的取值范围是 (　 　) A. 　 B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 在等比数列 中,若 =　　　　. 14. 的内 所对的边分别为 ，已知 是公差为 4 的等差数列，且 的最大内角为 ，则最大边的长度为________. 15.对于任意 ，都有 恒成立，则实数 取值范围是　　　. 　 16. 把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)：设 是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数，如 8．若 =2018，则 i，j 的值分别为______，________. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤). 17. （本题满分 10 分） 已知 ， （I）解关于 的不等式 ； (Ⅱ）若关于 的不等式 的解集为 ,求实数 的值． 1 3( 0 1)xy a a a−= + > ≠且 A A ( )1 0, 0x y m nm n + = > > m n+ ,x y 2 0 0 0 x y x y y k + ≥  − ≤  ≤ ≤ z x y= + z { }na n nS 10 9 1a a < − nS 0d > 10 9 0a a+ < 17 0S > n nS ( ) ( ) 22 9 11 3 2, 2, , 2x x a x x f x a x− + − + ≤=  > a a { }na na ( )f n ( )*n∈N { }na a ( )0,1 8 ,33     ( )2,3 ( )1,3 { }na 3 7 54, 1,a a a= = 则 ABC∆ , ,A B C角 , ,a b c , ,a b c ABC∆ 120 x ∈ R 2 2 1 0ax ax− + > a ,i ja *( )i j ∈N、 4,2a = ,i ja ( ) ( )23 1 9f x x a a x= − + − + ( )a∈R a ( )1 0f > x ( )f x b> ( )3,1− ,a b 18.（本题满分 12 分） 已知等差数列 的公差为 ，且 成等比数列． （I）求数列 的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前 项和 的最小值，并求此时 的值. 19. （ 本 题 满 分 12 分 ） 的 内 所 对 的 边 分 别 为 ． 已 知 ， （Ⅰ）求 的大小； （Ⅱ）若 的面积为 ，求 的最小值． 20. （本题满分 12 分） 已知数列 的前 项和为 ，且 对一切正整数 都成立， （I）证明:数列 是等比数列,并求出数列 的通项公式； （II）设 ，求数列 的前 项和 . 21. （本题满分 12 分） 如图,在海岛 上有一座海拔 千米的山,山顶设有一个观察站 ,上午 11 时,测得一轮船在岛北偏 东 ,俯角为 的 处,到 11 时 10 分 又测得该船在岛北偏西 ,俯角为 的 处. (I) 求船的航行速度是每小时多少千米? (Ⅱ)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 处,问此时船距岛 有多远? { }na { }na { }na { }na { }na 2 1 2 411, 11, 11a a a+ + + n nS n ABC∆ , ,A B C角 , ,a b c 3 sin cosa C c A c− ⋅ = A ABC∆ 4 3 a n nS 1 (3 )2n na n S= + n { }3na + ( )33n n nb a= + { }nb n nB A 3 P 30 30 B 60 60 C D A 22.（本题满分 12 分） 已知正项数列 的首项为 1，其前 项和为 ,满足 ＋ ( ≥2)． （I）求证：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式； （Ⅱ）记数列 的前 项和为 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. { }na n nS =na nS 1nS − n { }nS { }na 1 1 n na a +       n nT *n∈N 2 1 2nT a a< − a 闽侯二中五校教学联合体 2017—2018 学年第一学期高二数学（理科）半期考试卷参考答案 1-6：ADCAA B 7-12： DDCBBC 13. 2 14. 14 15. 16. 64 , 2 18. 解　(1)由题意，得 ， ， ┄┈┈ 2 分 所以由 得 解得 ┄┈┈4 分 所以 ，即 ┄┈┈ 6 分 (2)由(1)知 ， ， [ )0,1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 17. 1 1 3 1 9 1 1 0 3 1 9 0 6 0 3 3 2 0 2 3 4 -2,3 5 2 (1 ) 9 3 1 9 0 -3,1 3 1 9 0 3,1 1 3 13 9 3 f a a f a a a a a a a f x b a a x b x a a x b x a a x b a a b = − + − + ∴ > − + − + > ∴ − − < ∴ − + < ∴− < < > + − + > + − + − < ∴ + − + − = − −− = − + −  分 即 分 分 故不等式的解集为 分 不等式 可化为- 3x 即 不等式的解集为 方程 的两个根分别为 2分 ┄┈┈ ┄┈┈ ┄┈┈ ┄┈┈ ┄┈┈ ┄┈ 3分┈ 故 3 1 2 3, 50 0 a a b b    = − × = − = ∴ = =  ┄┈┈或 分 2 111 13a a+ = + 4 111 17a a+ = + ( ) ( )( )2 2 1 411 11 11a a a+ = + + ( ) ( )( )2 1 1 113 11 17a a a+ = + + 1 9a = − ( )9 2 1na n= − + − 2 11na n= − ( )*n∈N 2 11na n= − ( ) ( ) 2 2 -9+2 -11 10 10 92 5 25 10 5 12 n n n nS n n n n n S n n S = = − = − ∴ = − − = 分 分 故当 时 取最小值- 25. ┄┈┈ ┄┈┈ ┄┈┈ 分 20.（1）由已知得 ①， ② 由②-①得： ，即 ┄┈┈3 分 又 ，解得 所以数列 是以 6 为首项，2 为公比的等比数列。┄┈┈ 4 分 故 ，即 ┄┈┈6 分 （3） ┄┈┈7 分 设 ③ ④┄┈┈9 分 ④- ③得： = ┄11 分 ┄┈┈12 分 21. (1)在 中, , 所以 AB=3 ┄┈┈2 分 在 中, ┄┈┈3 分 19. 1 3 sin cos 3sin sin sin cos sin 2 sin 0 3sin cos 1 3 12 sin cos 2 sin cos cos sin 2sin 1 42 2 6 6 6 1 6 2 = 66 6 3 a C c A c A C C A C C A A A A A A A A A ABC A π π π π π π π − ⋅ = − = ≠ ∴ − =      ∴ − = − = − =             ∴ − =   ∴ −    （） 由正弦定理，可得 分 分 si n 又 为△ 的内角 , 故A= ┄┈┈ ┄┈┈ ┄┈┈ ┄┈┈ 分 2 2 2 1 32 = sin 4 3 72 4 16 8 2 16 10 bc A bc bc ABC a b c bc bc bc bc = = ∴ = = + − ≥ − = = （ ）S 分 分 在△ 中，由 ┄┈┈ ┄┈┈ ┄ 余弦 理 ┈┈ 定 知 分 4b c a= =当且仅当 时等号成立，此时 取最小值 为 4. 12┄┈┈ 分 nas nn 32 −= )1(32 11 +−= ++ nas nn 321 +=+ nn aa )3(231 +=++ nn aa 1 3 23 n n a a + +∴ =+ 1 1 12 -3a s a= = 1 13, 3 6 0a a= ∴ + = ≠ { }3+na 1263 −⋅=+ n na )12(3 −= n na ( )3 2 3 3 23 n n n nb n= ⋅ × − + = ⋅ 2 31 2 2 2 3 2 2n nB n= × + × + × + + × 2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 ( 1)2 2n n nB n n += × + × + × + + − + ⋅ 2 3(2 2 2nB = − + + + + 12 ) 2n nn ++ ⋅ 1 1 12 2 2 2 ( 1)21 2 n n nn n + + +−− + = + −−  12 ( 1)2n nB n +∴ = + − Rt PAB∆ 60 , 3APB PA∠ = = Rt PAC∆ 030 , 1APC AC∠ = ∴ = 在 中, 所以 = ┄┈┈5 分 则船的航行速度为 千米/时). ┄┈┈6 分 (2)在 中, 由正弦定理得 所以 ，┄┈┈┄┈┈┄┈┈11 分 故此时船距岛 A 有 千米. ┄┈┈┄┈┈┈┈┄┈┈┄┈┈12 分 22. 解　(1)因为 ， ┈┈┄┈┈┄┈┈┄┈┈2 分 即 ，┄┈┄┈┈┄┈┈┄┈┈┄┈┈3 分 所以数列{ }是首项为 1，公差为 1 的等差数列，得 ┄┈4 分 所以 ┄┈┈┄┈┈┄┈┈5 分 ， 也适合， 所以 ；┄┈┈┄┈┈┄┈┈┄┈┈┄┈┈6 分 (2)因为 ，┄┈┈┄┈┈┄8 分 ACB∆ 30 60 90CAB∠ = + =   2 2BC AC AB= + 2 23 1 10+ = 10 6 101 6 = ACD∆ 0 0 090 60 30DAC∠ = − = sin sin(180DCA∠ =  − 3 3 10) sin 81010 ABACB ACB BC ∠ = ∠ = = = 分 ( ) 0 0 0 2 sin sin( -30 ) sin cos30 cos sin30 3 10 3 1 3 10110 2 2 10 3 3 1 10 1020 CDA ACB ACB ACB∠ = ∠ = ∠ − ∠  = × − × −     − = ┈┄┈┈┄ 分 sin sin AD AC DCA CDA =∠ ∠ ( ) 3 10 1sin 9 3 310 sin 133 3 1 10 20 AC DCAAD CDA ×∠ += = =∠ − 9 3 3 13 + 1n n na S S −= + 1 1 1 2 = + n n n n n n n n a S S S S S S − − − ≥ = − ∴ − 又 当 时， 1 =1n nS S −− nS nS n= ( )1 1 2 1 2n n na S S n n n n−= + = + − = − ≥ 1n =又 当 时 1 1a = 2 1na n= − 1 1 1 1 1 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n na a n n n n+  = = − − + − +  所以， ┈ ┈10 分 .∴ 要使不等式 恒成立，只需 恒成立， 解得 ， 故实数 的取值范围是 ┄┈┈┄┈┈┄┈┈12 分 1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1nT n n n    = − + − + + − = −   − + +    1 2nT < 2 1 2nT a a< − 21 1 2 2a a≤ − 1 12a a≤ − ≥或 a [ )1, 1,2  −∞ − +∞   