数学（理）卷·2017届湖南省湘中名校教研教改联合体高三上学期12月联考（2016

数学（理）卷·2017届湖南省湘中名校教研教改联合体高三上学期12月联考（2016

‎ ‎ 数学（理）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数是纯虚数，其中是实数，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知集合，则等于（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 下列说法正确的是（ ）．‎ A．，“”是“”的必要不充分条件 B．“且为真命题”是“或为真命题” 的必要不充分条件 C．命题“，使得”的否定是：“”‎ D．命题：“”，则是真命题 ‎4. 利用独立性检验来考虑两个分类变量和是否有关系时，通过查阅下表来确定“和有关系”的可信度．如果，那么有把握认为“和有关系”的百分比为（ ）．‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.84‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.83‎ A． 5% B． 75% C． 99.5% D．95%‎ ‎5.已知向量，若，则（ ）．‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎6.设，则的值为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎7.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 一个凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为（ ）．‎ A． B． C．9 D．10‎ ‎9.若正数满足：，则的最小值为（ ）．‎ A．2 B． C． D．‎ ‎10.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11.已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点 ‎，给出以下判断：‎ ‎①一定是钝角三角形 ②可能是直角三角形 ‎ ‎③可能是等腰三角形 ④不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ）．‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎12.已知函数有两个极值点，若，则关于方程的实根个数不可能为（ ）．‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 第Ⅱ卷（非选择题，90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.若实数满足不等式组，则的最小值是____________．‎ ‎14.设，则____________．‎ ‎15.已知抛物线的焦点为，的顶点都在抛物线上，且满足，则____________．‎ ‎16.定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，若对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为____________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 设锐角三角形的内角的对边分别为.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元. 表示经销一件该商品的利润.‎ ‎（1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；‎ ‎（2）求的分布列及期望.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，与的公共点为，其中的离心率为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）过点的直线与分别交于点 (均异于点)，是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 设函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）(选修4-4：坐标系与参数方程)‎ 已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，其中点的极坐标为.‎ ‎（1）求点的直角坐标；‎ ‎（2）设为上任意一点，求的取值范围.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式的解集为．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求的最大值．‎ 参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B A D D A B C A C B D 二、填空题 ‎13. -1 14. 33 15.0 16. 或 三、解答题 ‎17.解：（1）由，根据正弦定理得，∴，‎ 由为锐角三角形得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 由此有，∴的取值范围为 ‎．．．．．．．．．．．12分 ‎18.解：（1）由表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．‎ 知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）的可能取值为200元，250元，300元，‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 的分布列为：‎ ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ 元．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎19．解法一：（1）∵平面平面，∴，‎ 又，‎ ‎∴，∴，即（为与交点）．‎ 又，∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）‎ 过作，垂足为，连接．‎ ‎∵平面是在平面上的射影，由三垂线定理知，‎ ‎∴为二面角的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　8分 又，‎ ‎∴，，‎ 又，∴，‎ 由得．‎ 在中，，由此可得余弦值为．‎ ‎∴二面角的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 解法二：（1）如图，建立坐标系，‎ 则，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ 又，∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）设平面的法向量为，‎ 则，‎ 又，‎ ‎∴，解得，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 平面的法向量取为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎．‎ ‎∴二面角的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎20.解：（1）在的方程中，令，可得，且是上半椭圆的左、右顶点，‎ 设半焦距为，由及可得，∴．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎（2）方法一：由（1）知，上半椭圆的方程为，‎ 易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为，‎ 代入的方程，整理得：（*）‎ 设点的坐标为，∵直线过点，∴是方程（*）的一个根，‎ 由求根公式，得，从而，∴点的坐标为，‎ 同理，由，得点的坐标为．．．．．．．8分 依题意可知，∴．‎ ‎∵，∴，即，‎ ‎∵，∴，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 经检验，符合题意，故直线的方程为．．．．．．．．．．．．12分 方法二：若设直线的方程为：，比照方法一给分．‎ ‎21．解：（1）的定义域为，，‎ 令，其判别式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎①当时，，故在上单调递增，‎ ‎②当时，的两根都小于0，在上，，‎ 故在上单调递增，‎ ‎③当时，的两根为，‎ 当时，；当时，；当时，，‎ 故分别在上单调递增，在上单调递减．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）由（1）知，．‎ 因为，‎ 所以，‎ 又由（1）知，．于是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 若存在，使得．则．即，‎ 亦即（*）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 再由（1）知，函数在上单调递增，而，‎ 所以．这与（*）式矛盾，故不存在，使得．．．．．12分 选做题 ‎22．解：（1）因为点的极坐标为．‎ 所以点的直角坐标为．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）设：则，‎ ‎．．．．．．．．．10分 ‎23．解：（1）由，则，所以且，‎ 得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 当且仅当，即时取等号；如果采用平方或换元也可，参照给分．‎