数学卷·2019届甘肃省白银市会宁县第四中学高二上学期期末考试（2018-01）

数学卷·2019届甘肃省白银市会宁县第四中学高二上学期期末考试（2018-01）

会宁四中2017-2018学年度第一学期高二级期末考试 数学试卷 命题教师：‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一．选择题（12小题*5分=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1．函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（　　）‎ A．[﹣3，1]B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）‎ ‎2．已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（　　）‎ A．（﹣1， 2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）‎ ‎3．设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（　　）‎ A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n ‎5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎6．椭圆+=1的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（　　）‎ A． B． C．π D．2π ‎8．过圆x2+y2﹣2x﹣8=0的圆心，且与直线x+2y=0垂直的直线方程是（　　）‎ A．2x﹣y+2=0 B．x+2y﹣1=0 C．2x+y﹣2=0 D．2x﹣y﹣2=0‎ ‎9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎10．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二．填空题（4小题*5分=20分）‎ ‎13．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为　 　．‎ ‎14．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　 　．‎ ‎15．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=　 　．‎ ‎16．有下列四个命题：‎ ‎①垂直于同一条直线的两条直线平行；‎ ‎②垂直于同一条直线的两个平面平行；‎ ‎③垂直于同一平面的两个平面平行；‎ ‎④垂直于同一平面的两条直线平行．‎ 其中正确的命题有　 　（填写所有正确命题的编号）．‎ ‎　‎ 三．解答题（6小题共70分）‎ ‎17．（10分）已知抛物线 C：x2=2py（p＞0）上一点A（m，4）到其焦点的距离为，求p与m的值．‎ ‎18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若b=2，c=3，求a的值；‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，‎ a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．‎ ‎（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若T3=21，求S3．‎ ‎20．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，﹣）．点M（3，m）在双曲线上．‎ ‎（1）求双曲线方程；‎ ‎（2）求证：•=0；‎ ‎（3）求△F1MF2面积．‎ ‎21．（12分）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=‎ ‎．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．‎ ‎（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD ‎（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．‎ ‎22．（12分）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|=2，点（1，）在该椭圆上 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切圆的方程．‎ 考号 班级 姓名 学号 ‎ ‎………密………封………线………内………不………要………答………题…………‎ ‎………………………密………………………封……………………线……………………‎ 座位号 会宁四中2017-2018学年度第一学期高二级期末考试 数学试卷答题卡 一．选择题（12小题*5分=60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项1‎ 二．填空题（4小题*5分=20分）‎ ‎13.-----------------------------------------------； 14.-------------------------------------------；‎ ‎15.------------------------------------------------； 16.-------------------------------------------；‎ 三．解答题（6小题共70分）‎ ‎17．（10分）‎ ‎18．（12分）‎ ‎19．（12分）‎ ‎20．（12分）‎ ‎21．（12分）‎ ‎22．（12分）‎ 会宁四中2017-2018学年度第一学期高二级期末考试 数学答案 一．选择题（共12小题）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D A A C C B C D B C D C 二．填空题（共4小题）‎ ‎13、8； 14、； 15、6； 16、②④‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．已知抛物线 C：x2=2py（p＞0）上一点A（m，4）到其焦点的距离为，求p与m的值．‎ 解：由抛物线方程得其准线方程：y=﹣．‎ 根据抛物线定义 点A（m，4）到焦点的距离等于它到准线的距离，‎ 即4+=，解得p=，‎ ‎∴抛物线方程为：x2=y，将A（m，4）代入抛物线方程，解得m=±2．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若b=2，c=3，求a的值；‎ 解：（1）△ABC中，∵cosA=，∴A=．‎ ‎（2）若b=2，c=3，则 a===．‎ ‎19．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．‎ ‎（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；‎ ‎（2）若T3=21，求S3．‎ 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，‎ a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，‎ 可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，‎ 解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），‎ 则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*；‎ ‎（2）b1=1，T3=21，‎ 可得1+q+q2=21，‎ 解得q=4或﹣5，‎ 当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，‎ d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；‎ 当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，‎ d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．‎ ‎20．解：（1）∵e=，∴可设双曲线方程为x2﹣y2=λ．‎ ‎∵过点（4，﹣），∴16﹣10=λ，即λ=6，‎ ‎∴双曲线方程为x2﹣y2=6．‎ ‎（2）证明：∵=（﹣3﹣2，﹣m），=（2﹣3，﹣m），‎ ‎∴•=（3+2）×（3﹣2）+m2 =﹣3+m2，‎ ‎∵M点在双曲线上，∴9﹣m2=6，即m2﹣3=0，∴•=0．‎ ‎（3）△F1MF2的底|F1F2|=4，由（2）知m=±．‎ ‎∴△F1MF2的高h=|m|=，∴S△F1MF2=6．‎ ‎21．如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E 分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．‎ ‎（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD ‎（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．‎ ‎（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，‎ ‎∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，‎ ‎∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，‎ DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，‎ ‎∴DE⊥平面PCD ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，‎ 过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，‎ 由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，‎ 以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），‎ ‎∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），‎ 设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，‎ 故可取=（2，1，1），‎ 由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），‎ ‎∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==‎ ‎∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|=2，点（1，）在该椭圆上 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切圆的方程．‎ 解：（1）因为|F1F2|=2，所以c=1．‎ 又点（1，）在该椭圆上，所以．‎ 所以a=2，b2=3．‎ 所以椭圆C的方程为．‎ ‎（2）①当直线l⊥x轴时，可得A（﹣1，﹣），B（﹣1，），△AF2B的面积为3，不符合题意 ‎②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0‎ 显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=﹣，x1x2=‎ 可得|AB|=，用点到直线的距离公式可得 圆F2的半径r=，‎ ‎∴△AF2B的面积=|AB|r=，‎ 化简得：17k4+k2﹣18=0，得k=±1，‎ ‎∴r=，圆的方程为（x﹣1）2+y2=2．‎