数学文卷·2017届江西省师大附中高三12月月考（2016

数学文卷·2017届江西省师大附中高三12月月考（2016

江西师大附中高三年级数学（文）月考试卷 命题人：刘婷 审题人：欧阳晔 2016.12‎ 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.下列函数中，在其定义域内是减函数的是( )【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列抛物线中，焦点到准线距离最小的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.设命题：，命题：，则是成立的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.从编号为1，2，3，4，5的5名运动员中任选2人参加红旗接力赛，则选出的运动员的编号相连的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 若变量满足约束条件，则的最小值为( )‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎7. 对于使不等式成立的所有常数中，我们把的最小值叫做函数的上确界. 若，，则的上确界为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知圆C：，直线，圆C上任意一点P到直线 的距离小于2的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9.下列四个判断：‎ 某校高三（1）班的人数和高三（2）班的人数分别是和，某次数学测试平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；‎ ‚从总体中抽取的样本，则回归直线必过点；‎ ƒ在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等 其中正确的个数有( )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ‎10．已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若的面积为S，且等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点，是两曲线的一个公共点，若，则等于( )‎ A. B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.某校高三共有学生800人，其中女生320人，为调查学生是否喜欢跑操，拟采用分层抽样法抽取容量为50的样本，则男生应抽取的人数是__________‎ ‎14.若向量，，满足条件与垂直，则__________‎ ‎15.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是__________‎ ‎16．已知双曲线T：(a，b>0)的右焦点为F(2，0)，且经过点，△ABC的三个顶点都在双曲线T上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，P，且三条边所在直线的斜率分别为，，i＝1，2，3.若直线OM，ON，OP的斜率之和为－1.则__________ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤,本大题6小题，共70分.‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知等差数列的公差，．‎ ‎（I）若成等比数列，求数列的通项公式；‎ ‎（II）记数列的前项和为，若当且仅当时，取到最大值，求公差的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（I）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）若角，边上的中线，求边．‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别为的中点，且．‎ ‎（1）求证：平面平面 ；‎ ‎（2）求三棱锥与四棱锥的体积之比．‎ ‎20. （本题满分12分）某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；‎ ‎（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎21. （本题满分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点、时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎22. （本题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的极小值；‎ ‎（2）若在上存在，使得成立，求的取值范围．‎ 月考试题答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D C B D C A A D A D C C ‎13.30 14.1 15. 16．－ ‎17.（I）∵为等差数列，且公差为，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 整理得，‎ 解得或（舍去）.……………………5分 ‎∴数列的通项公式为.……………………6分 ‎（II）由题意，，即 解得 ‎18．解：（I）在△ABC中，∵，‎ ‎∴（2b﹣c）cosA=acosC，‎ ‎∴2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，‎ ‎∴cosA=．‎ ‎∴A=．‎ ‎（Ⅱ）∵A=B=，‎ ‎∴a=b，C=π﹣B﹣A=，‎ ‎∵BC边上的中线AM=，‎ ‎∴在△ACM中，由余弦定理可得：AM2=AC2+CM2﹣‎2AC•CM•cosC，即：7=b2+（）2﹣2×b××cos，‎ ‎∴整理解得：b=2．‎ ‎　‎ ‎19.（1）证明：由已知平面，所以平面．‎ 又平面，所以，因为四边形为正方形，‎ 所以，又，所以平面，‎ 在三角形中，分别为中点，所以，‎ 因此平面 ，又平面，所以平面平面．．．．．．．．．．．　6分 ‎（2）因为平面，四边形为正方形，不妨设，则，‎ 所以，‎ 因为平面，‎ 所以，‎ 所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎20.(1)解：由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05 = 3(人)，记为A1，A2，A3；女生有40×0.05 = 2(人)，记为B1，B2 从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2) ,其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)， 故所求的概率 ‎ ‎(2)解：由频率分布直方图可知，‎ 在抽取的100名学生中，男生 60×0.25 = 15(人)，女生40×0.375 = 15(人) ‎ 据此可得2×2列联表如下：‎ 数学尖子生 非数学尖子生 合计 男生 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ 女生 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎ 所以得 因为1.79 < 2.706.‎ 所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”．‎ ‎21.（1）设椭圆的焦距为，则，‎ 因为在椭圆上，所以，‎ 因此，，故椭圆的方程为．‎ 由知四边形为平行四边形，‎ 而为线段的中点，因此，也是线段的中点，‎ 所以，可得，‎ 又，所以，‎ 因此点不在椭圆上．‎ ‎22.（1）当时，，‎ 令，得或，‎ 且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 所以在时取到极小值为．‎ ‎（2）设．若在上存在，使得，即成立，则只需要函数在上的最小值小于零．‎ 又，‎ 令，得（舍去）或．‎ ‎①当，即时，在上单调递减，‎ 故在上的最小值为，由，可得．‎ 因为，所以．‎ ‎②当，即时，在上单调递增，‎ 故在上的最小值为，由，‎ 可得（满足）．‎ ‎③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为．‎ 因为，所以，‎ 所以，即，不满足题意，舍去．‎ 综上可得或，‎ 所以实数的取值范围为．‎