2019高三数学（人教A版理）一轮单元评估检测4　第4章　平面向量、数系的扩充与复数的引入

2019高三数学（人教A版理）一轮单元评估检测4　第4章　平面向量、数系的扩充与复数的引入

单元评估检测(四)　第4章　平面向量、数系的扩充与复数的引入 ‎(120分钟　150分)‎ ‎(对应学生用书第301页)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知复数z＝(i为虚数单位)，则z的虚部为(　　)‎ A．－1　　　　　　 B．0‎ C．1 D．i ‎[答案]　C ‎2．若z＝4＋3i，则＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C.＋i D．－i ‎[答案]　D ‎3．若复数z满足(1＋i)z＝2，则z的虚部为(　　)‎ A．－1 B．－i C．i D．1‎ ‎[答案]　A ‎4．复数z＝的共扼复数是(　　)‎ ‎ 【导学号：97190419】‎ A．2＋i B．2－i C．－1＋i D．－1－i ‎[答案]　D ‎5．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a＋b＝(　　)‎ A．(5,7) B．(5,9)‎ C．(3,7) D．(3,9)‎ ‎[答案]　D ‎6．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎[答案]　D ‎7．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．5‎ ‎[答案]　A ‎8．设复数z1＝2sin θ＋icos θ在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转π后得到向量，对应的复数为z2＝x＋yi(x，y∈R)，则＝(　　)‎ A. B． C. D． ‎[答案]　A ‎9．与向量a＝(3,4)同方向的单位向量为b，又向量c＝(－5,5)，则b·c＝(　　)‎ A．(－3,4) B．(3，－4)‎ C．1 D．－1‎ ‎[答案]　C ‎10．如图41，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是(　　)‎ 图41‎ A.＝＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝＋ ‎[答案]　D ‎11．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3＋2i，则z2＝(　　)‎ A．3－2i B．2－3i C．－3－2i D．2＋3i ‎[答案]　D ‎12．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)‎ A．－8 B．－6‎ C．6 D．8‎ ‎[答案]　D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.‎ ‎[答案]　2‎ ‎14．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.‎ ‎[答案]　2‎ ‎15．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.‎ ‎[答案]　2‎ ‎16．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数－i的“错位共轭”复数为________. 【导学号：97190420】‎ ‎[答案]　＋i 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，·＝5，||＝.‎ ‎(1)求D点坐标．‎ ‎(2)若D点在第二象限，用，表示.‎ ‎(3)＝(m,2)，若3＋与垂直，求的坐标．‎ ‎[解]　(1)D(2,1)或D(－2,3)‎ ‎(2)＝－＋ ‎(3)＝(－14,2)‎ ‎18．(本小题满分12分)如图42，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上两个三等分点，·＝4，·＝－1，求·的值. ‎ ‎【导学号：97190421】‎ 图42‎ ‎[解]　 ‎19．(本小题满分12分)已知复数z＝1＋i，ω＝.‎ ‎(1)求复数ω.‎ ‎(2)设复数ω在复平面内对应的向量为，把向量(0,1)按照逆时针方向旋转θ到向量的位置，求θ的最小值．‎ ‎[解]　(1)1－i　(2)π ‎20．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ 已知向量m＝，n＝，m·n＝－1.‎ ‎(1)求cos A的值．‎ ‎(2)若a＝2，b＝2，求c的值．‎ ‎[解]　(1)－　(2)2‎ ‎21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos A，cos B)，n＝(a,2c－b)，且m∥n. 【导学号：97190422】‎ ‎(1)求角A的大小．‎ ‎(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)因为m∥n，‎ 所以acos B－(2c－b)cos A＝0，‎ 由正弦定理得 sin Acos B－(2sin C－sin B)cos A＝0，‎ 所以sin Acos B＋sin Bcos A ‎＝2sin Ccos A，‎ 所以sin(A＋B)＝2sin Ccos A，‎ 因为A＋B＋C＝π，‎ 所以sin C＝2sin Ccos A，‎ 因为0＜C＜π，‎ 所以sin C＞0，‎ 所以cos A＝，‎ 因为0＜A＜π，‎ 所以A＝.‎ ‎(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 所以16＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，‎ 因此bc≤16，‎ 当且仅当b＝c＝4时，等号成立；‎ 因此△ABC的面积S＝bcsin A≤4，‎ 因此△ABC面积的最大值为4.‎ ‎22．(本小题满分12分)已知平面上的两个向量，满足||＝a，||＝b，且⊥，a2＋b2＝4.向量＝x＋y(x，y∈R)，且a2＋b22＝1.‎ ‎(1)如果点M为线段AB的中点，求证：‎ ＝＋.‎ ‎(2)求||的最大值，并求出此时四边形OAPB面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)因为点M为线段AB的中点，‎ 所以＝(＋)．‎ 所以＝－＝(x＋y)－(＋)＝＋.‎ ‎(2)设点M为线段AB的中点，则由⊥，知||＝||＝||＝||＝1.‎ 又由(1)及a2＋b2＝1，‎ 得||2＝|－|2‎ ‎＝2＋2‎ ‎＝a2＋b2＝1.‎ 所以||＝||＝||＝||＝||＝1，所以P，O，A，B四点都在以M为圆心，1为半径的圆上．所以当且仅当OP是直径时，||max＝2，这时四边形OAPB为矩形，则S四边形OAPB＝||·||＝ab≤＝2，当且仅当a＝b＝时，四边形OAPB的面积最大，最大值为2.‎