数学理卷·2018届广东省广州市高三上学期第一次调研（2017

数学理卷·2018届广东省广州市高三上学期第一次调研（2017

广州市2018届高三上学期第一次调研测试 理科数学2017．12‎ 本试卷共5页，23小题， 满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。‎ ‎2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。写在本试卷上无效。‎ ‎3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1．设集合，，则 ‎ A． B． 　C． D．‎ 2． 若复数满足，则 A． 　B． C． D． ‎ ‎3．在等差数列中，已知，前项和，则公差 A． B． C． D． ‎ ‎4．已知变量，满足则的最大值为 A． B． C． D． ‎ 5． 的展开式中的系数为 A． B． C． 　　D． ‎ 开始 输入f0(x)‎ i=0‎ i = i+1‎ i >2017?‎ 输出 结束 否 是 6． 在如图的程序框图中，为的导函数，若，‎ 则输出的结果是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎7．正方体的棱长为2，点为的中点，点为 线段上靠近的三等分点，平面交于点，则 的长为 A． B． ‎ C． D． ‎ 8． 已知直线与曲线相切，则实数的值为 A． B． 　C． D．‎ ‎9．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 ‎ A．36种 B．24种 　C．22种 D．20种 ‎ ‎10．将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则的最小值为 A． 　　B． C． D． ‎ ‎11．在直角坐标系中，设为双曲线：的右焦点，为双曲线的右支 上一点，且△为正三角形，则双曲线的离心率为 A． B． 　C． D． ‎ ‎12．对于定义域为的函数，若满足① ；② 当，且时，都有；‎ ‎③ 当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：；；‎ 则其中是“偏对称函数”的函数个数为 A．0 B．1 　　C．2 D．3‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知向量，，若，则向量的模为________．‎ ‎14．在各项都为正数的等比数列中，若，则的最小值为________．‎ ‎15．过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点．若，，则的值为________．‎ ‎16．如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥 的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．‎ ‎ ‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎△的内角，，的对边分别为，，，且满足，．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求△周长的最大值．‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且．‎ ‎ （1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成的角为，求二面角 的余弦值．‎ 19. ‎（本小题满分12分）‎ 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图． ‎ ‎（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0．01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）‎ ‎（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：‎ 周光照量（单位：小时）‎ 光照控制仪最多可运行台数 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 若某台光照控制仪运行，则该台光 照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？‎ 附：相关系数公式，参考数据，．‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，在直角坐标系中，椭圆：的上焦点为，椭圆的离心率为 ，且过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过椭圆的上顶点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的方程．‎ 19. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当，时，对任意，有成立，求实数的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线 经过伸缩变换后得到曲线．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值和最小值．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的值域为，且，求的取值范围．2018届广州市高三年级调研测试 理科数学试题答案及评分参考 评分说明:‎ ‎1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数．选择题不给中间分．‎ 一．选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C B B A A D D B A C C 二．填空题 ‎13．10 　14．4 15．4 16．‎ 三、解答题 ‎17．（1）解法1：由已知，得． 由正弦定理，得 ，…………………………………………1分 即．…………………………………………………………………………2分 因为，…………………………………………………………………3分 所以．………………………………………………………………………………4分 因为，所以．………………………………………………………………………5分 因为，所以．…………………………………………………………………………6分 解法2：由已知根据余弦定理，得．……………………1分 即．……………………………………………………………………………………3分 所以．…………………………………………………………………………5分 因为， 所以．…………………………………………………………………………6分 ‎（2）解法1：由余弦定理， 得，………………………………………………………………………………………7分 即 ‎．……………………………………………………………………………………8分 因为，………………………………………………………………………………………9分 所以． ‎ 即（当且仅当 时等号成立）．……………………………………………………11分 所以．‎ 故△周长的最大值为．………………………………………………………………12分 解法2：因为，且，，‎ 所以，．…………………………………………………………………8分 所以………………………9分 ‎．……………………………………………………………………10分 因为，所以当时，取得最大值．‎ 故△周长的最大值为．………………………………………………………………12分 ‎18．（1）证明：连接，交于点，设中点为，‎ 连接，．‎ 因为，分别为，的中点，‎ 所以，且，‎ 因为，且，‎ 所以，且．………………………………………………………………………1分 所以四边形为平行四边形，所以，即．………………………………2分 因为平面，平面，所以．‎ 因为是菱形，所以． ‎ 因为，所以平面．…………………………………………………………4分 因为，所以平面．………………………………………………………………5分 因为平面，所以平面平面． ………………………………………………6分 ‎（2）解法1：因为直线与平面所成角为， ‎ 所以，所以．………………………………………………………………7分 所以，故△为等边三角形．‎ 设的中点为，连接，则． ‎ 以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）．‎ 则，，，，‎ ‎，，．‎ ‎…………………………9分 设平面的法向量为，‎ 则即 则所以．……………………………………………………………10分 设平面的法向量为，‎ 则即令则所以．…………11分 设二面角的大小为，由于为钝角，‎ 所以．‎ 所以二面角的余弦值为．…………………………………………………………12分 解法2：因为直线与平面所成角为，且平面，‎ 所以，所以．………………………………………………………………7分 因为，所以为等边三角形．‎ 因为平面，由（1）知，‎ 所以平面．‎ 因为平面，平面，所以且．‎ 在菱形中，．‎ 以点为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系（如图）．‎ 则，‎ 则．……………………………………………9分 设平面的法向量为，‎ 则即 令，则，则法向量．……………10分 设平面的法向量为，‎ 则即 令，则则法向量．………………………………………………11分 设二面角的大小为，由于为钝角，‎ 则．‎ 所以二面角的余弦值为．…………………………………………………………12分 ‎19．解：（1）由已知数据可得．……………………1分 因为………………………………………2分 ‎………………………………………………3分 ‎．…………………………………………………4分 所以相关系数．………………5分 因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系． …………………………………………6分 ‎（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪．‎ ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元．………………………………………………………7分 ‎②安装2台光照控制仪的情形：‎ 当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=3000-1000=2000元，‎ 当3070时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元，‎ 当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元，‎ 当30

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