2018-2019学年湖北省黄冈市高二4月月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年湖北省黄冈市高二4月月考数学（理）试题 解析版

‎2018-2019学年湖北省黄冈市高二4月月考数学试题 ‎ ‎（理科）‎ ‎ 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．命题，命题在中，若，则.下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.某中学高一年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的平均分为86,乙班学生成绩的中位数是83,则的值为(   )‎ A.9           B.10         ‎ C.11           D.13‎ ‎3.一名小学生的年龄(单位:岁)和身高(单位: )的数据如下表.由散点图可知,身高与年龄之间的线性回归方程为预测该学生岁时的身高为(   ) ‎ 年龄x ‎ ‎6 ‎ ‎7 ‎ ‎8 ‎ ‎9 ‎ 身高y ‎ ‎118 ‎ ‎126 ‎ ‎136 ‎ ‎144 ‎ A.154 cm      B.153 cm C.152 cm      D.151 cm ‎4.已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎5．已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标为时，点P到坐标原点的距离是(　　)‎ A. B. C. D．2　‎ ‎6. 已知命题，命题，下列四个命题：,,中真命题的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎7. 已知三棱锥，点分别为的中点，且，用，，表示，则等于(　　) ‎ A. B. )‎ C. D. ‎ ‎8．已知抛物线C：y2＝4x，顶点为O，动直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C交于A，B两点，则·的值为(　　)‎ A．5 B．－5 C．4 D．－4‎ ‎9.设，向量且，则（ ）‎ A. B. C. 3 D. 4‎ ‎10．设双曲线－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为(　　)‎ A. B．11 C．12 D．16‎ ‎11．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)‎ A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x ‎12．已知平行四边形内接于椭圆，且， 斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.若样本的平均数为10,其方差为2,则样本的平均数为 ,方差为 .‎ ‎14．已知命题方程有两个不相等的实数根；命题关于的函数 是上的单调增函数，若“或q”是真命题，“且q”是假命题，则实数的取值范围为 ____________．‎ ‎15.已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时， 与夹角大小为__________．‎ ‎16．称离心率为e＝的双曲线－＝1(a>0，b>0)为黄金双曲线，如图是双曲线－＝1(a>0，b>0，c＝)的图象，给出以下几个说法：‎ ‎①双曲线x2－＝1是黄金双曲线；‎ ‎②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；‎ ‎③若F1，F2为左，右焦点，A1，A2为左，右顶点，B1(0，b)，B2(0，－b)，且∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；‎ ‎④若MN经过右焦点F2，且MN⊥F1F2，∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．‎ 其中正确命题的序号为________．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎ 17（10分）.已知向量 ‎(1)求；‎ ‎(2)求夹角的余弦值.‎ ‎18（12分）.在△ABC中，AB=AC=，∠BAC=120°，点M，N在线段BC上．‎ ‎(1)若AM=，求BM的长；‎ ‎(2)若MN=1，求的取值范围．‎ ‎19（12分）．已知恒成立，方程表示焦点在x轴上的椭圆，若命题“且q”为假，求实数的取值范围．‎ ‎20（12分）.在某单位的职工食堂中,食堂每天以元/个的价格从面包店购进面包,然后以元/个的价格出售.如果当天卖不完,剩下的面包以元/个的价格卖给饲料加工厂.根据以往统计资料,得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示.食堂某天购进了个面包,以 (单位:个, )表示面包的需求量, (单位:元)表示利润.‎ ‎(1)求关于的函数解析式;‎ ‎(2)根据直方图估计利润不少于元的概率;‎ ‎(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率(例如:若需求量,则取,且的概率等于需求量落入的频率),求的分布列和数学期望.‎ ‎21（12分）．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．‎ ‎(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB 的斜率．‎ ‎22（12分）．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)已知动直线y＝k (x＋1)与椭圆C相交于A，B两点．‎ ‎①若线段AB中点的横坐标为－，求斜率k的值；‎ ‎②已知点M，求证：·为定值．‎ ‎2019年4月高二月考数学试题 ‎ ‎（理科答案）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．【答案】C ‎2.答案：D ‎3.答案：B 解析：选B.由表中数据,得 代入得,即所以预测该学生岁时的身高为153cm ‎4.【答案】B ‎【解析】设向量和的夹角是，则由空间向量的数量积公式和題意得,所以以和为邻边的平行四边形的面积为，故选B．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】由已知可得动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线的左支，且c＝，a＝1，∴b＝1，∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．‎ 将y＝代入上式，可得点P的横坐标为x＝－，‎ ‎∴点P到原点的距离为＝.]‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】，所以为真命题； ，所以为真命题. 所以 为真命题，真命题的个数为2，故选B．‎ ‎7.【答案】D ‎【解析】 ，故选D.‎ ‎8．【解析】A ‎【解析】[设A，B，由已知得直线l过定点E(－1,0)，因为E，A，B三点共线，所以y2＝y1，即(y1－y2)＝y1－y2，因为y1≠y2，所以y1y2＝4，所以＝＋y1y2＝5.]‎ ‎9.【答案】D ‎10．【答案】B ‎【解析】[由双曲线定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝4，|BF2|－|BF1|＝2a＝4，两式相加可得|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8，由于AB为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB|min＝＝3，故|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8≥3＋8＝11.]‎ ‎11．【解析】C ‎【解析】[由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)，则＝，＝.‎ 由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.‎ 由|MF|＝5得＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8.故选C.]‎ ‎12【答案】A ‎【解析】由题意， 关于原点对称，设， ， ‎ ‎，故选A.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13. 【答案】11; 2‎ 解析：对比两组数据我们发现后一组的每个数据都比前一组的每个数据多1,所以平均数增加1,方差不变。‎ ‎14． 【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：命题方程有两个不相等的实数根，所以，解得；‎ 命题关于的函数是上的单调增函数，所以，解得，‎ 若“或”是真命题，“且”是假命题，所以与中一真一假，‎ 当真假时，，解得；当假真时，，解得，‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎15. 【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，取中点，‎ 则 ‎ ‎，‎ 因为，所以在以为球心的球面上，‎ 所以，因为，‎ 所以，所以与的夹角为.‎ ‎16．①②③④‎ 解析　①双曲线x2－＝1，‎ a2＝1，c2＝1＋＝，‎ ‎∴e＝＝＝，‎ ‎∴命题①正确；‎ ‎②若b2＝ac，c2－a2＝ac，∴e＝，‎ ‎∴命题②正确；‎ ‎③|B1F1|2＝b2＋c2，|B1A2|＝c，‎ 由∠F1B1A2＝90°，‎ 得b2＋c2＋c2＝(a＋c)2，‎ 即b2＝ac，e＝，‎ ‎∴命题③正确；‎ ‎④若MN经过右焦点F2，且MN⊥F1F2，‎ ‎∠MON＝90°，则c＝，‎ 即b2＝ac，e＝，‎ ‎∴命题④正确．‎ 综上，正确命题的序号为①②③④.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎ 17（10分）.【答案】（1）；（2）.‎ 因为，则 ‎（2）因为 所以 ]‎ 故夹角的余弦值为.‎ ‎18.（12分）【答案】（1）1或5；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）在△ABM中由余弦定理得，‎ 即得 解得BM=1或5. ‎ ‎(2)取BC的中点O，连接AO以BC，OA分别为x，y轴，建立直角坐标系， ‎ 则 设 ‎ ‎ ‎ 当时，有最小值为，当t=2时有最大值为9.‎ 的范围.‎ ‎19．（12分）【答案】（-∞，4]‎ ‎20.（12分）‎ 答案：1. 由题意,当时,利润, ‎ 当时,利润, ‎ 即. 2. 由题意,设利润不少于元为事件, ‎ 由第一问知,利润不少于元时,即, ‎ ‎∴,即, ‎ 由直方图可知,当时,所求概率: . 3. 由题意,由于,,, ‎ 故利润的取值可为: ,,,, ‎ 且,,,, ‎ 故的分布列为: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴利润的数学期望 ‎21．（12分）‎ 解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．‎ ‎∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p·1，解得p＝2.‎ 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.‎ ‎(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，‎ ‎∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.‎ 由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1，①‎ y＝4x2，②‎ ‎∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)．∴y1＋y2＝－4.‎ 由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，‎ ‎∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．‎ ‎22． （12分）[解] 　(1)＋＝1(a>b>0)满足a2＝b2＋c2，又＝，×b×2c＝，解得a2＝5，b2＝，‎ 则椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎①将y＝ (x＋1)代入＋＝1，‎ 得(1＋3 2)x2＋6 2x＋3 2－5＝0，‎ ‎∴Δ＝48 2＋20>0，x1＋x2＝－，‎ ‎∵AB中点的横坐标为－，‎ ‎∴－＝－1，解得 k＝±.‎ ‎②证明：由①知x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ ‎∴· ‎＝· ‎＝＋y1y2‎ ‎＝＋ 2(x1＋1)(x2＋1)‎ ‎＝(1＋ 2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋ 2‎ ‎＝(1＋ 2)＋＋＋ 2‎ ‎＝＋＋ 2‎ ‎＝(定值)．‎