数学（理）卷·2019届广西南宁市三中高二上学期期末考试（2018-01）

数学（理）卷·2019届广西南宁市三中高二上学期期末考试（2018-01）

南宁三中 2017～2018 学年度上学期高二期考 数学试题 （理科） 2018.01.29 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 ) 1、不等式 的解集为 ( ) A. B. C. D. 2、命题 p： ，命题 q：方程 无实根，则（ ） A. 命题 为真 B. 命题 为真 C. 命题 为假 D. 命题 为真 3、设 ， 是两个不同的平面， 是直线且 ．“ ”是“ ”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、抛物线 上一点 到其焦点距离为 6，则点 到 轴 距离为 （ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5、执行右图所示的程序框图，输出的 s 值为( ) A. 8 B. 9 C. 27 D. 36 6、从 1、2、3、5 四个数中任取两个数组成两位数，则组成的两位数 是 5 的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 7、一质点做直线运动，其位移 S（单位：米）与时间 t（单位：秒）之间 关系式为 ，则其瞬时速度为 1 米/秒的时刻为（ ） A.t=0 B. t=1 C. t=3 D.t=1 和 t=3 8、已知数列 的前 n 项和 ，则 （ ） A.2018 B. 2019 C. 4035 D.4036 9、设 的内角 所对边的长分别为 ，若 ，则 的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 10、设等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 （ ） A.15 B. 16 C. 9 D.6 11、已知双曲线 的右焦点为 F，如果过 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线右支只 有一个交点，则双曲线的离心率 e 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12、函数 的定义域是 , 是它的导函数,且 在定义 域内恒成立，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 、 已 知 点 x ， y 满 足 约 束 条 件 ，则 z=3x+y 的最大值与最小值之差为__________ 14、设函数 ，若函数 f(x)在 x＝1 处与直线 y＝－1 2相切，则 ____ 15、 中 所对的边为 ，已知 ， ，则 b=_____ 16、已知函数 在 上有两个零点，则 的取值范围是___________ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本题满分 10 分） 已知在 中，角 的对边分别为 ，且 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若 ，求 的面积 ． 18. （本题满分 12 分） 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年 底余额）如下表： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 时间代号 1 2 3 4 5 储蓄存款 （千亿元） 5 6 7 8 10 (I)求 关于 的回归方程 ； (II)用所求回归方程预测该地区 2019 年（t=7）的人民币储蓄存款. 附：回归方程 中 19、（本题满分 12 分） 已知正项等比数列 中， （I）求 的通项公式； （II）设 ，求数列 的前 项和 . 20、（本题满分 12 分） 如图,在三棱锥 中,侧面 与侧面 均为等边三角形, , 为 中点. （Ⅰ）证明: 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值. 21、（本题满分 12 分） 已知椭圆 ，右焦点为 ， ，且 ，椭 圆 的离心率为 ． （I）求椭圆 的标准方程； （II）设直线 的方程为 ，当直线 与椭圆 有唯一公共点 时，作 于 （ 为坐标原点），当 时，求 的值． 22、（本题满分 12 分） 已知函数 . （I）求曲线 在点 处的切线方程； （II）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 m 的取值范围. 南宁三中 2016 级高二上学期期末试卷 数 学 （理科）参考答案 1、D 2、B p 假 q 真 故选 B 3、B 若 的交线时， ，但 相交，故不能推出 4、A 由抛物线的定义，点 到准线 的距离为 6，则点 到 轴距离为 5 5、B 6、B 任取两个数字组成两位数共有 12 种可能，能被 5 整除的只有 15、25、35 三种， 故选 B 7、D ，令 ，解得 或 8、C ，故 9、D 或 故选 D 10、D ，故 11 、 D 由 题 意 知 ， 渐 近 线 斜 率 12 、 B 的 定 义 域 是 ， , 是增函数, ,可得 13、7 由线性规划问题可知 ，故差值为 7 14、1 ，由题意知 在 处导数值为 0 解之得 15、1 或 3 由余弦定理得 解之得 或 16 、解：设 ， ，则 在 上有两个零点等价 于 在 内有两个交点。 令 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减 ， ，易知 故当 时，满足题意。故 。 17 、 解 ： （ Ⅰ ） ∵ ， ∴ .........2 分 即 由于 为三角形内角，所以 .......4 分 ∴ 而 为三角形内角，∴ ......6 分 (Ⅱ)在 中，由余弦定理得 ......8 分 即 ，解得 (舍)或 ......10 分 ∴ ......12 分 18.解析：(I)列表计算如下 1 1 5 1 5 2 2 6 4 12 3 3 7 9 21 4 4 8 16 32 5 5 10 25 50 15 36 55 120 这里 , = , …………2 分 = …………4 分 又 ,…………6 分 ,…………7 分 从而 ,…………8 分 …………9 分 故所求回归方程为 .…………10 分 (Ⅱ)将 t=7 代入回归方程可预测该地区 2019 年的人民币储蓄存款为 (千亿元). …………12 分 19、解：（I）由已知得： ， ………….2 分 解之得 ………….4 分 故 ………….6 分 （II） ………….8 分 ………….10 分 ……….11 分 …….12 分 20、证明:（Ⅰ）由题设 ,连结 , 是 等 边 三 角 形 ， 所 以 是 等 腰 三 角 形 ………1 分 因 为 为 中 点 ， 所 以 ………2 分 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 所 以 , 且 , …………3 分 又 为 等 腰 三 角 形 , 故 , 且 , …………4 分 从 而 . 所 以 为 直 角 三 角 形 , . ……………………5 分 又 . 所 以 平 面 . …………………6 分 （Ⅱ）解法一: 取 中 点 , 连 结 , ………………………7 分 由（Ⅰ）知 ,得 . 为 二 面 角 的 平 面 角. ……………8 分 由 得 平 面 . 所 以 , ……………9 分 又 , 故 . ……………10 分 所 以 二 面 角 的 余 弦 值 为 . ………………12 分 解法二: 以 为坐标原点,射线 分别为 轴、 轴的正半 轴,建立如图的 空间直角坐标系 . 设 ,则 . 的中点 , . …………………… …8 分 . ………………… ……9 分 故 等于二面角 的平面角. 所 以 二 面 角 的 余 弦 值 为 . ………………………12 分 21、解：（I）依题意得 ， 所以 ………………2 分 ，故 ， ………………4 分 所以椭圆的标准方程为 ………………5 分 （II）设点 ，由题意得 ， ………………6 分 将直线 的方程代入椭圆 得 ， ………………7 分 令 ，得 ，且 ， …………8 分 所以 ．① 又 ， ② …………10 分 ①②与 联立整理得 ， 解得 …………12 分 22、解：（I）由 可得 ……………2 分 ， ……………4 分 所以曲线 在点 处的切线方程为 ……………5 分 （II）对任意 ，不等式 恒成立， 等价于对任意 ， ……………6 分 设 ， 则 ， ………………8 分 因为 ，所以 ， ………………10 分 所以 ，故 在 单调递增， 所以 ，故 ………………12 分