湖南省长郡中学湘豫名校2020届高三12月联考数学（文）试题

湖南省长郡中学湘豫名校2020届高三12月联考数学（文）试题

湘豫名校2020届高三年级12月份联考 数学（文科）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.集合的元素个数是（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据及即可求出的所有可能取值.‎ ‎【详解】因为，所以当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，∴.综上，元素个数是2个.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的表示中描述法和列举法的互相转化问题，属基础题.‎ ‎2.复数的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接计算即可.‎ ‎【详解】，，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算，关键是求出，属基础题.‎ ‎3.在中，，，为边上一点，且，则（ ）‎ A. －3 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由得出为边上的中点，即，然后再根据，即可得出的值.‎ ‎【详解】∵，∴为边上的中点，，‎ ‎∴，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的运算，关键是把、用基底、表示，属常规考题.‎ ‎4.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由即可求值.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以由诱导公式知，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的灵活应用，属基础题.‎ ‎5.若，，，则有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数、对数函数的知识先估算，，的值或范围，即可比较大小.‎ ‎【详解】，且，∴，‎ ‎，，故.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用指数函数、对数函数的性质比较大小的问题，属常规考题.‎ ‎6.某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：‎ 零件数/个 ‎12‎ ‎23‎ ‎ 31‎ 加工时间/分 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 现已求得上表数据的回归方程中的值为1.6，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（ ）‎ A. 155分钟 B. 156分钟 C. 157分钟 D. 158分钟 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出样本中心点，然后代入求出，从而求出回归方程及可作出预测.‎ ‎【详解】由题意得：，，‎ 回归直线过样本中心点，故有，∴，‎ 故，当时，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解及应用，其中回归直线过样本中心点是解题的关键，属常规考题.‎ ‎7.《易传·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化、阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据古典概型的概率计算公式逐步求解即可.‎ ‎【详解】因为阳数：1，3，5，7，9，阴数：2，4，6，8，10，所以从阳数和阴数中各取一数有：种，满足差的绝对值为3的有：，，，，，，共7种，则.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型的问题，属基础题.‎ ‎8.已知函数的最小值为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下面结论正确的是（ ）‎ A. 函数是奇函数 B. 函数在区间上是增函数 C. 函数图象关于对称 D. 函数图象关于直线对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用基本不等式求出的值，再利用图象变换的知识求出函数的解析式，最后根据函数的性质逐个判断即可.‎ ‎【详解】∵，当且仅当，即时，等号成立，∴.则，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则.‎ 对于A选项，∵，∴函数是偶函数，A选项错误；‎ 对于B选项，∵，∴，∴函数在上不单调，B选项错误；‎ 对于C选项，∵，∴函数图象不关于对称，C选项错误；‎ 对于D选项，∵，∴函数图象关于直线对称，D选项正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式、三角函数的图像变换、三角函数的性质的应用等问题，属综合题，难度中等.‎ ‎9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5，则框图中①处可以填入（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按循环结构的知识依次执行相关步骤即可.‎ ‎【详解】第一次循环：，不满足条件，；‎ 第二次循环：，不满足条件，；‎ 第三次循环：，不满足条件，；‎ 第四次循环：，不满足条件，；‎ 第五次循环：，满足条件，输出的值为5.‎ 所以判断框中的条件可填写“”‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查循环结构中已知输出的结果求出判断框中的内容的问题，属常规考题.‎ ‎10.已知双曲线焦点在轴上，离心率为，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设为抛物线的焦点，则到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和等于，根据得求出，再根据离心率为求出、即可.‎ ‎【详解】设为抛物线的焦点，则，拋物线：准线方程为，因此到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和等于，因为，所以，即，∴，又，∴，，‎ 即双曲线的方程为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程的求法，本题关键是根据先求出的值，试题综合性强，属中等难度题.‎ ‎11.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法:若函数在处的函数值分别为，则在区间上可以用二次函数来近似代替:，其中.若令，，请依据上述算法，估算的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用，然后分别求出，进而代入，求出，最后即可求解的值 ‎【详解】设，，，则有，‎ 则，，，‎ 由，‎ 可得 ‎，答案选C ‎【点睛】本题考查函数近似值的求解，代入运算即可，属于难题 ‎12.已知定义域为的函数，对任意的都有，且.当时，不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，根据得出是单调递减函数，再将等式变形为，利用的单调性可得，解之即可.‎ ‎【详解】设，，∴是单调递减函数，不等式 变形为，即为，‎ ‎∵，则有，又∵是单调递减函数，∴.‎ ‎∵，∴或，即 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查构造函数并利用其单调性解不等式问题，涉及导数、三角函数等知识，综合性强，对计算能力要求较高，属中等难度题.‎ 二、填空题（木题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.已知函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，进而求出答案．‎ ‎【详解】因为，所以则.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数求值问题，属于简单题．‎ ‎14.若特称命题：“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由全称命题：“，成立”是真命题，将问题转化为不等式 恒成立，再分情况讨论即可.‎ ‎【详解】此题等价为全称命题：“，成立”是真命题.‎ 当时，原不等式化为“”，显然成立；‎ 当时，只需即解得.综合①②，得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查已知特称命题的真假求参数的取值范围问题，属常规考题.‎ ‎15.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，，成等比数列，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将化边为角求出角，再根据，，成等比数列和正弦定理将变形为即可求解.‎ ‎【详解】由正弦定理可知，，易得，，又，，成等比数列，所以，，则.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查利用正弦定理进行边角互化问题，解三角形的问题关键是灵活变形，属中等难度题.‎ ‎16.一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别，，，则此四面体的体积为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将四面体放在长方体内，求出长方体的长、宽、高，再利用割补发即可求得四面体的体积.‎ ‎【详解】设四面体所在的长方体棱长分别为，，，则解得 所以四面体的体积，‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间几何体的体积的计算，关键是把四面体放在的长方体考虑问题，属常规考题.‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎（一）必考题（共60分.）‎ ‎17.已知等比数列的公比，其前项和为，且，与的等差中项为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由与的等差中项为求出公比，再由求出首项即可；（2）将代入求出，再由裂项相消法求和即可.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，又，‎ 则，即或（舍）.‎ 所以，解得，‎ 所以.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的求解及裂项相消法求和问题，属常规考题.‎ ‎18.世界军人运动会，简称“军运会”，每四年举办一届，会期7到10天，比赛设有27个大项，参赛规模约100多个国家近10000余人，规模仅次于奥运会，根据各方达成共识，军运会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，为了军运会顺利召开，特招聘了3万名志愿者.某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在岁内的人数为15人，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）求，值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）这次军运会志愿者主要通过直接到武汉军运会执委会志愿者部现场报名和登录第七届世界军运会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查.这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？‎ 男性 女性 总计 现场报名 ‎50‎ 网络报名 ‎31‎ 总计 ‎50‎ 参考公式及数据：，其中.‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1），，平均年龄为34岁；（2）不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由中位数为34岁，年龄在岁内的人数为15人，结合频率分布直方图可得，，联立解方程组可得，的值，再利用公式估选算志愿者的平均年龄即可；（2）先把列联表补充完整，再由计算即可.‎ ‎【详解】（1）∵志愿者年龄在内的人数为人，‎ ‎∴志愿者年龄在内的频率为：；‎ 由频率分布直方图得：，化简得：.①‎ 由中位数为可得：，化简得：，②‎ 由①②解得：，.‎ 志愿者的平均年龄为（岁）.‎ ‎（2）根据题意得到列联表：‎ 男性 女性 总计 现场报名 网络报名 总计 ‎∴，‎ ‎∴不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系.‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用及独立性检验的有关计算问题，试题贴近生活，属基础题.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，平面平面，为等边三角形，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若是的中点，求证：平面，并求四面体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明平面平面；（2）连结交于点，连结，则先证明即可证明平面，四面体的体积要通过等积法转化求得，即，而四面体 的底面积，高为容易求得.‎ ‎【详解】（1）证明：因为为等边边的中点，所以，‎ 又因为在菱形中，，所以为等边三角形，‎ 又为的中点，所以.而，所以平面，‎ 又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）连结交于点，连结，如图所示.‎ 因为底面为菱形，为中点，为中点，所以，‎ 又平面，所以平面.‎ 故点到平面的距离等于点到平面的距离，即.‎ 由（1）知，平面平面，所以底面，‎ 因为等边的边长为2，所以.‎ 又因为为中点，所以点到底面的距离为，‎ 易知为边长为2的等边三角形，所以三棱锥的体积为：‎ ‎.‎ 故所求四面体的体积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直、线面平行的判定及利用等积法求四面体的体积问题，属常规考题.‎ ‎20.已知椭圆：的短轴长为2，以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）斜率为的直线交椭圆于，两点，且，若直线上存在点，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由短轴长求出的值，再根据点到直线的距离公式求出的值即可；（2）设直线的方程为，先由得，则，，再根据直线上存在点，使得是以为顶角的等腰直角三角形，得出，最后由方程组即可求出的值进而求出直线的方程.‎ ‎【详解】（1）由题意得，，则，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，，‎ 由得.‎ 令，得，则，.‎ 因为是以为顶角的等腰直角三角形，‎ 所以平行于轴，过作的垂线，则垂足为线段的中点.‎ 设点坐标为，则.‎ 由方程组解得，即.‎ 而，所以直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆相交时根据有关条件求直线的方程问题，试题综合性强，计算量大，属中等难度题.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）若，当时，解关于的不等式；‎ ‎（2）证明：有且仅有2个零点.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由导数的知识判断出在上单调递增，再由不等式得，解之即可；（2）由（1）可知函数在上没有零点，‎ 当时，令，则，易知，则在上单调递增，再根据、得出，使得，得在上单调递减，在上单调递增，‎ 然后由、、并结合函数的零点存在性定理可得在，上分别有一个零点.‎ ‎【详解】（1）当时，.‎ 故在上单调递增，∴不等式等价于解得.‎ 故关于的不等式的解集为.‎ ‎（2）证明：由（1）知函数上单调递增，且.‎ ‎∴函数在上没有零点.‎ 设，，‎ 当时，，，∴.∴在上单调递增.‎ 易知在上单调递增，且，.‎ 故，使得，所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 又因，，.‎ 所以在，上分别有一个零点.‎ 综上所述：有且仅有2个零点.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性并利用函数的单调性解不等式问题，同时考查了利用函数的单调性及函数的零点存在性定理研究函数零点个数问题，试题综合性强，属中等难度题.‎ ‎（二）选考题（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分.）‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为：，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知射线与曲线和直线分别交于和两点，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）曲线：，直线：；（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消参即可得曲线的普通方程，将、代入即可得出直线的极坐标方程；（2）求出和两点的极坐标、，再通过计算即可.‎ ‎【详解】（1）由（为参数）得曲线的普通方程为.‎ 由直线的方程为：，得极坐标方程为，即.‎ ‎（2）曲线的极坐标方程是，‎ 把代入曲线的极坐标方程得，解之得或（舍）.‎ 把代入直线的极坐标方程得，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化及利用极坐标的概念求线段的长度问题，属中等难度题.‎ ‎23.已知关于的不等式的解集为，其中.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若正数，，满足，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解出不等式即可求出的值；（2）利用基本不等式先证明、、，三式相加即可.‎ ‎【详解】（1）由，得或 化简得：或由于，所以不等式组的解集为.‎ 由题设可得，故.‎ ‎（2）由（1）可知，，又由均值不等式有：，，，‎ 三式相加可得：，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法及利用基本不等式证明不等式问题，属中等难度题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎