数学理卷·2018届湖南省醴陵市第一中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届湖南省醴陵市第一中学高二上学期期末考试（2017-01）

2016 年下学期醴陵一中高二年级期末考试 数学试卷（理） 时量：120 分钟 总分：150 分 命题： 班级_________ 姓名___________ 考号____________ 一．选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．若命题 P ： 1 cosx,Rx ，则 P ：（ ） A． 100  xcos,Rx B． 1,  xcosRx C． 1, 00  xcosRx D． 1,  xcosRx 【来源：全,品…中&高*考+网】 2.在空间四边形 ABCD 中，M，G 分别是 BC，CD 的中点，则 2 1AB  (  BD +  BC )等于 ( ) A、  AD B、  GA C、  AG D、  MG 3．对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽 样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1，p2，p3，则( ) A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1 C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3 4．某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时(电台是整点报时)， 则他等待时间不多于 15 分钟的概率为( ) A. 1 4 B. 1 2 C.2 3 D.3 4 5．执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为( ) A.3 4 B.5 6 C.11 12 D.25 24 6.某中学高二年级从甲、乙两个班级中各选出 7 名学生参加数学竞赛，他们取得的 成绩(满分 100 分)的茎叶图如右图，其中甲班学生的平均分是 85，乙班学生成绩的 中位数是 83，则 x＋y 的值为( ) A．7 B．8 C．9 D．10 7、如右图，圆Ｏ的半径为定长 r，A 是圆Ｏ内的一定点，P 为圆上任意 一点， 线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q，当点 P 在圆周上运动时，点 Q 的轨迹是( )【来源：全,品…中&高*考+网】 A、直线 B、圆 C、椭圆 D、双曲线【来源：全,品…中&高*考+网】 l A P Q O 8.已知命题 :p Rx  ， 2 lgx x  ，命题 :q Rx  ， 2 0x  ，则（ ） A．命题 p q 是假命题 B．命题 p q 是真命题 C．命题  p q  是假命题 D．命题  p q  是真命题 9．在一个棱长为 3 cm 的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为 1 cm 的小正方体， 全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体 表面仅有一个面涂有颜色的概率是( ) A.4 9 B. 8 27 C.2 9 D. 1 27 10.如图正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别为 AB，CC1 的中点，则异面直线 A1C 与 EF 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 11. 如图，圆 F： 1)1( 22  yx 和抛物线 4 2yx  ，过 F 的直线与 抛物线和圆依次交于 A、B、C、D 四点，求 CDAB  的值是（ ） A． 1 B. 2 C. 3 D.无法确定 12．为激发学生学习兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合： }01[]|{  x xxA ， }043|{ 2  xxxB ， }2log|{ 2 1  xxC ；然后请甲、 乙、丙三位同学到讲台上，并将“1”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以 便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于 6 的正整数；乙： A 是 B 成立的充分不必要条件；丙：A 是 C 成立的必要不充分条件．若三位同学说的都对， 则符合条件的“1”中的数的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二．填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.某中学有高中生 3500 人，初中生 1500 人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法 从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取 70 人，则 n 为______ 14.某单位为了了解用电量 y 度与气温 C 之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天气 温，并制作了对照表： 气温（ C ） 18 13 10 1 用电量（度） 24 34 38 64 由表中数据得回归直线方程 ˆˆ ˆy bx a  中 ˆ 2b   ，预测当气温为 4 C 时，用电量的度数是 _________ 15. 在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1AA ABCD 底面 ， 14, 3, 5AB AD AA   ， 60BAD   ，则 1AC 的长为___________． 16．平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线 C2：x2＝2py(p ＞0)交于点 O，A，B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为_________． 三．解答题（共 70 分） 17.（10 分）如图，给出了一个程序框图，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 的值， （1）请指出该程序框图所使用的逻辑结构； （2）若视 x 为自变量，y 为函数值，试写出函数 y=f（x）的解析式； （3）若输入的 x 的值与输出的 y 的值相等，求输入 x 的值的集合。 18.（12 分）已知命题 P： + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 Q：双曲线 ﹣ =1 的离心率 e∈（ ， ），若命题 P、Q 中有且只有一个为真命题，求实数 m 的取值范围． 19.（12 分）从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数 据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： (1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率； (2)求频率分布直方图中的 a，b 的值； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生 该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论) 20.（12 分）设函数 （1）若是从－2、－1、0、1、2 五个数中任取的一个数，是从 0、1、2 三个数中任取的一 个数，求函数无零点的概率； （2）若是从区间 1－2,2]任取的一个数，是从区间 10,2]任取的一个数，求函数无零点的概 率. 组号 分组 频数 1 10，2) 6 2 12，4) 8 3 14，6) 17 4 16，8) 22 5 18，10) 25 6 110，12) 12 7 112，14) 6 8 114，16) 2 9 116，18) 2 合计 100 21．（12 分）如图,在三棱柱 111 CBAABC  中, CCAA 11 是边长为的正方形,平面 ABC ⊥ 平面 CCAA 11 , 3AB , 5BC . (1)求证: 1AA ⊥平面 ABC ； (2)求二面角 111 BBCA  的余弦值； (3)在线段 1BC 上是否存在点 D ,使得 BAAD 1 ？若存在，求出 1 BD BC 的值，若不存在， 说明理由。 22. （12 分） 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O，焦点在 x 轴上，左、右焦点分别为 1F 和 2F ， 且| 1F 2F |=2，点（1， 2 3 ）在该椭圆上． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过 1F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若  A 2F B 的面积为 7 212 ，求以 2F 为圆心 且与直线相切圆的方程． 【来源：全,品…中&高*考+网】 2016 年下学期醴陵一中高二年级期末考试 数学（理）参考答案 一．选择题：ACDAD BCDCB AC 二．填空题: 13. 100; 14.68; 15. 16． 3 2 三．解答题 17.解：（I）程序框图所使用的逻辑结构是条件结构和顺序结构；………………（2 分） （Ⅱ）解析式为：f（x）= ……………………………（6 分） （Ⅲ）依题意得 ，或 ，或 ，解得 x=0，或 x=1，或 x=3 故所求的集合为{0，1，3}．……………………………………………………………（10 分） 18.解：若 P 真，则有 9﹣m＞2m＞0，即 0＜m＜3． 若 Q 真，则有 ，解得 因命题 P、Q 中有且只有一个为真命题，则 P、Q 一真一假．。。。。。。。6 分 ①若 P 真，Q 假，则 ，解得 ； ②若 P 假，Q 真，则 ，解得 3≤m＜5； 综上，m 的范围为 ∪13，5）．.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 12 分 19．解：(1)根据频数分布表，100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有 6 ＋2＋2＝10(名)，所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 1－ 10 100＝0.9. 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9.。。。。。 4 分 (2)课外阅读时间落在组 14，6)的有 17 人，频率为 0.17， 所以 a＝ 频率 组距＝0.17 2 ＝0.085. 课外阅读时间落在组 18，10)的有 25 人，频率为 0.25， 所以 b＝ 频率 组距＝0.25 2 ＝0.125.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 8 分 (3)样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组．。。。。。。。。12 分 20 解： ……………2 分 记事件 A 为 . （Ⅰ）基本事件共有 15 个：（－2，0），（－2，1），（－2，2），（－1，0），（－1， 1）， （－1，2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0）， （2，1）， （2，2） ……4 分 事件 A 包含 6 个基本事件. 所以 P（A）＝ . ………6 分 （Ⅱ）如图，试验的全部结果所构成的区域为 ， 事件 A 所构成的区域为 ，…………10 分 即图中的阴影部分. 所以 . …………12 分 21 解: (1)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1 ⊥AC. 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C,且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC, 所以 AA1⊥平面 ABC. ……….4 分 (2)由(I)知 AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 AB⊥AC. 如 图 , 以 A 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A- , 则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 设 平 面 A1BC1 的 法 向 量 为 , 则 , 即 , 令 ,则 , ,所以 . 同 理 可 得 , 平 面 BB1C1 的 法 向 量 为 , 所 以 . 由题知二面角 A1-BC1-B1 为锐角,所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为 . ………………8 分 （3)设 D 是直线 BC1 上一点,且 . 所以 .解得 , , . 所以 . 由 ,即 .解得 . 因为 ,所以在线段 BC1 上存在点 D, 使得 AD⊥A1B. 此时, . ………………………………………12 分 22.（1）椭圆 C 的方程为 ……………（5 分） （2）①当直线⊥x 轴时，可得 A（-1，- ），B（-1， ）， A B 的面积为 3，不符合 题意． …………（6 分） ②当直线与 x 轴不垂直时，设直线的方程为 y=k（x+1）．代入椭圆方程得： ，显然 ＞0 成立，设 A ，B ，则 ， ，可得|AB|= ……………．．（9 分） 又圆 的半径 r= ，∴ A B 的面积= |AB| r= = ，化简 得：17 + -18=0，得 k=±1，∴r = ，圆的方程为 ………（12 分）