问题4-4 高考题中向量数量积的若干种求法-2017届高三数学跨越一本线

问题4-4 高考题中向量数量积的若干种求法-2017届高三数学跨越一本线

‎2017届高三数学跨越一本线精品 ‎ ‎ 问题四 高考题中向量数量积的若干种求法 平面向量的数量积是向量知识中的重要内容,考题中往往会涉及到求值或者取值范围的小题或大题,是高考题的热点和重点,那么如何求平面向量数量积呢？本文从三个方面予以阐述,以期给同学们启发．‎ 一、利用“定义”求平面向量数量积 ‎ ,根据几何或代数关系求非零向量的模和夹角是前提.‎ ‎【例1】【2017届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】若外接圆的半径为1,圆心为.且,,则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【分析】分别由已知条件求出及夹角,再,利用求数量积 ‎【点评】利用定义求两个非零向量数量积,关键要搞清向量的数量积和模,尤其在求向量夹角时,要判断其起点是否共点．‎ ‎【小试牛刀】若等腰△ABC底边BC上的中线长为1,底角B＞60º,则·的取值范围是______．‎ ‎【答案】（－1,－）‎ ‎【解析】因为等腰△底边上的中线长为,底角,所以,所以 ‎,因为,所以,所以,又,所以,所以,所以,又因为,所以,所以,所以；故答案为：．‎ 二、利用“坐标”求平面向量数量积 设,,则,用此法求平面向量数量积时,必须先建立恰当的平面直角坐标系,把向量坐标化,特别注意,当遇到特殊三角形或四边形时可以多考虑建系,以达到事半功倍的效果．‎ ‎【例2】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c, ,a=b=3,点P是边AB上的一个三等分点,则 =( )‎ A.0 B.6 C.9 D.12‎ ‎【分析】由已知条件可求△ABC的高,和底边的长,根据对称关系,以所在的直线为轴,高所在直线为轴建立坐标系,用坐标表示相关点,用坐标求数量积．‎ ‎【解析】过点C作CO⊥AB,垂足为O．如图所示,‎ ‎．∵,∴ ．∴ ．∴‎ ‎．取点P靠近点B的三等分点．则 ．∴．同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6．∴=6．‎ ‎【点评】用坐标法求平面向量数量积可以简化解题过程,坐标法思想能否灵活使用以及坐标系建立的恰当与否是解题关键．‎ ‎【小试牛刀】【2016届辽宁省大连市八中高三12月月考】已知是坐标原点,点,若点 为平面区域上的一个动点,则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C 三、利用“分解转化法”求平面向量数量积 利用平面向量基本定理将所求向量用基底表示,在不含坐标系或者不宜建系的情况下,通过向量运算得到解题结果,这种方法应予以重视．‎ ‎【例3】【2016届福建省上杭县一中高三12月考】如图,、是半径为1的圆的两条直径,,则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】通过向量加法三角形法则把有关向量用表示.‎ ‎【解析】,,,,故选B.‎ ‎【小试牛刀】【2017届浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】在△中,内角,,所对的边分别为,,,,,且为此三角形的内心,则（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】C 两个向量的数量积是平面向量最重要、最活跃的内容,它的概念和性质在三角函数、立体几何、解析几何中都有着广泛的应用,求两个向量的数量积也常常出现在各类试题里,所以同学们一定要认真体会本文提到的三种方法,达到熟练运用,触类旁通．‎ ‎【迁移运用】‎ ‎1．【2017届辽宁葫芦岛普通高中高三上学期考试】已知点为内一点,,‎ ‎,,过作垂直于点,点为线段的中点,则的值为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】,,根据等面积法得,所以．‎ ‎2．【2017届安徽百校论坛高三上学期联考】在中,是上一点,且,则等于（ ）‎ A． B． C. 2 D．3‎ ‎【答案】C ‎3．【2017届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】若外接圆的半径为1,圆心为.且,,则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,,所以是边的中点,又因为是外接圆圆心,所以是外接圆直径,,如下图所示,因为,所以,所以, 所以 故本题正确答案为D．‎ ‎4．【2017届河南息县第一高级中学高三上段测】设等边三角形边长为,若,,则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得:‎ ‎,故选C．‎ ‎5．【2017学年河北冀州中学高二上学期月考】在△中,,的垂直平分线交边所在直线于点,则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设的中点为,则,故选D.‎ ‎6．【2017届湖南长沙一中高三月考】在中,,,是边上的高,则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎7．【2017河北武邑中学周考】半圆的直径,为圆心,是半圆上不同于、的任意一点,若为半径的中点,则的值是（ ）‎ A． B． C． D．无法确定,与点位置有关 ‎【答案】A ‎【解析】因为为的中点,且为半径的中点,所以,所以,故选A.‎ ‎8．【2017届山西临汾一中等五校高三联考】如图,在中,,则的值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】,∵,∴,∵,∴,,在中,由正弦定理得,变形得,所以 ‎,故选C．‎ ‎9．【2017届河北衡水中学高三12月月】设向量满足,,则（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,所以………………①,又,所以…………②,①-②得,所以,故选A．‎ ‎10．【2017届四川成都市高三一诊】已知是圆上的两个动点,.若是线段的中点,则的值为（ ）．‎ A．3 B． C．2 D．-3‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为点是线段的中点,所以,,所以是等边三角形,即,‎ ‎,故选A.‎ ‎11．【2017届江西抚州市七校高三上学期联考】已知点为内一点,,过作垂直于点,点为线段的中点,则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎12．【2017届云南大理州高三上学期统测】已知向量与的夹角为30°,且,则等于（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】：,故选B.‎ ‎13．【2017广东汕头潮阳实验学校上期中】在平面直角坐标系中,为坐标原点,则的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】为的外心,由,可以知道又为重心,则为圆的内接等边三角形,即有 ‎,‎ ‎,故B是正确的.‎ ‎14．【2017届陕西西安铁一中高三上学期三模】在中,,,,为边的三等分点,则等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】,‎ ‎,所以 ‎,故选A.‎ ‎15．【2017届河南百校联盟高三11月质监】在边长为1的正中,,是边的两个三等分点（靠近于点）,等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ 如图,,是边的两个三等分点,‎ 故选C.‎ ‎16．【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】在中,,,若为外接圆的圆心（即满足）,则的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎9．【2016届河南省信阳高中高三上第八次大考】如图在平行四边形中,已知,,则的值是 ．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由题意,,解得．‎ ‎17．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】在边长为1的正三角形ABC中,设,则__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】如图：‎ 由知点D是BC边的中点,点E是CA边上靠近点C的一个三等分点,‎ ‎．‎ 故答案应填：．‎ ‎18．【2016届中国人大附中高三上期中检测】在等腰梯形ABCD中,已知,,点E和点F分别在线段BC和CD上,且,,则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由平面几何知识知,‎ ‎．‎ ‎ ‎