数学理卷·2018届重庆市綦江区高三上半期区内联考（2017

数学理卷·2018届重庆市綦江区高三上半期区内联考（2017

重庆市綦江区高2018级高三（上）半期考试 ‎ 数学（理科）试题 ‎ ‎ 考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．‎ ‎（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；‎ ‎（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，‎ 字体工整，字迹清楚；‎ ‎（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿 纸、试题卷上答题无效；‎ ‎（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．‎ 第I卷（共60分）‎ 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 请将其编号选出，并涂在机读卡上的相应位置）‎ ‎1.若集合，，则等于 （ B ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数z1=3+i,z2=1－i，则z=z1·z2在复平面内的对应点位于 ( D ) ‎ ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.设向量，，且，则实数的值为 （ A ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4.与直线关于轴对称的直线的方程为 ( A )‎ ‎ A． B. C. D．‎ ‎5.下列选项中叙述错误的是 （　D ）‎ A．命题“若,则”的逆否命题为真命题 B．若,则 ‎ C．“”是“”的充分不必要条件 D．若“p∧q”为假命题,则“p∨q”为真命题 ‎6. 函数y=x2㏑x的单调递减区间为 （　B ）‎ A．(1,1] B．(0,1] C．[1,+∞) D．(0,+∞)‎ ‎7．由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为 （　A　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎8.若平面向量两两所成的角相等,且则等于 ( C )‎ ‎ A． 2 B．5 C．2或5 D． 或 ‎9.已知函数,则= ( D )‎ ‎ A．-1 B．0 C．1 D．2‎ ‎10．若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围是 (　B )‎ ‎ A．(3.5，＋∞) B．(1，＋∞) C．(4，＋∞) D．(4.5，＋∞)‎ ‎11．直线与圆相交于A、B两点(其中是实数)，且是直角三角形(是坐标原点)，则点与点之间距离的最大值为 （ D ） ‎ ‎ A． 0 B． C． D． ‎ ‎12．已知定义在上的函数则下列结论中,错误的是 ‎ ( C )‎ A． ‎ B．函数的值域为 ‎ C．将函数的极值由大到小排列得到数列，则的前项和 ‎ D．对任意的，不等式恒成立 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.抛物线 的焦点坐标为 (,0)‎ ‎14. 的值为 ‎ ‎ 15.若函数的图象在处的切线与圆相切,则的最大值是 ‎ ‎16.设是偶函数，，若含有10个元素，则的取值范围是 ‎ 三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知＝(sinx，－cosx)，=(cosx,cosx)，函数f(x) = ·+ ．‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)当时，求函数f(x)的值域．‎ ‎（1）∵ ………………1分 ‎ ………………3分 ‎ ． ………………5分 ‎∴函数f(x)的最小正周期为π． ………………6分 ‎（2）∵，∴， ………………8分 ‎∴， ………………11分 即f(x)的值域为． ………………12分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且。‎ ‎(1)求角C; （2）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值.‎ 解（1）由及正弦定理得，‎ 是锐角三角形， …………………5分 ‎（2）由面积公式得 ‎ …………………………8分 由余弦定理得 由②变形得 ………………………………………12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为6千元，设该容器的建造费用为千元．(,)‎ ‎（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎（2）求当取多少时，该容器的建造费用最小？并求出其最小值。 ‎ 解：（1）设容器的容积为V，‎ 由题意知 故 由于 ，因此 所以建造费用（）…………………6分 ‎（2）由得 当时,时 所以，当时，该容器的建造费用最小，其最小值为千元。…………12‎ 分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 直线与椭圆交于，两点，已知，，若椭圆的离心率，又经过点，为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当时,试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，‎ 请说明理由. 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 解：（1）∵ ∴ ‎ ‎ ∴椭圆的方程为 …………………4分 ‎（2）①当直线斜率不存在时，即，‎ 由已知，得【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 又在椭圆上， 所以 ‎ ‎ ,三角形的面积为定值． …………………6分 ‎②当直线斜率存在时：设的方程为 ‎ ‎ 必须 即得到，‎ ‎ …………………8分 ‎∵，∴‎ 代入整理得： ‎ ‎ 所以三角形的面积为定值． …………………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 设定义在区间上的函数的图像为C，点A、B的坐标分别为且为图像C上的任意一点，O为坐标原点，当实数满足时，记向量恒成立，则称函数在区间上可在标准下线性近似，其中是一个确定的正数。【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅰ）求证：A、B、N三点共线 ‎（Ⅱ）设函数在区间上可在标准下线性近似，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）求证：函数在区间上可在标准下线性近似。‎ ‎（参考数据：2.718, 0.541）‎ 解(Ⅰ)由=λ+(1－λ)得到=λ，………1分 所以B，N，A三点共线. ………2分 ‎ ‎(Ⅱ)由与向量=+(1－)，‎ 得N与M的横坐标相同． ………3分 对于上的函数，A(0，0)，B(1，1)， ………4分 则有，………5分 故；所以k的取值范围是． ………6分 ‎ ‎(Ⅲ)对于定义在上的函数，A()，B() ‎ 则直线AB的方程， ………7分 设，则易知，且点N在直线AB上，‎ 所以， ………8分 令，其中，‎ 于是， ………9分 列表如下： ‎ em【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎(em，em+1－em)‎ em+1－em ‎(em+1－em，em+1)‎ em+1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ 增 减 ‎0‎ 则，且在处取得最大值， ………11分 又0.123，从而命题成立． ………12分 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，切于点，直线AO交于，两点，，垂足为．‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若，，求的直径．‎ 解：（I）因为DE为圆O的直径，则，‎ 又BCDE，所以CBD+EDB=90°，从而CBD=BED.‎ 又AB切圆O于点B，得DBA=BED，所以CBD=DBA. …………………5分 ‎（II）由（I）知BD平分CBA，则,又，从而，‎ 所以，所以.‎ 由切割线定理得，即=6，‎ 故DE=AE-AD=3，即圆O的直径为3. …………………10分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出的直角坐标方程；‎ ‎（II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．‎ 解：（I）由，‎ 从而有. …………………5分 ‎ (II)设,则，‎ 故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）. …………………10分 ‎24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知，函数的最小值为4．‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求的最小值．‎ ‎ 解 (Ⅰ)因为 当且仅当时，等号成立 又，所以,所以的最小值为,‎ 所以． …………………5分 ‎ (Ⅱ)由(1)知，由柯西不等式得 ‎,‎ 即.‎ 当且仅当,即时，等号成立 所以的最小值为. …………………10分