数学理卷·2018届山东省北镇中学高三12月中旬质量检测（2017

数学理卷·2018届山东省北镇中学高三12月中旬质量检测（2017

‎12月份质量检测 高三数学试题（理科）2017.12.12‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.‎ ‎1.设集合错误！未找到引用源。，集合，则错误！未找到引用源。等于（ ）‎ A． B．错误！未找到引用源。 C． 错误！未找到引用源。 D．‎ ‎2.若复数满足（是虚数单位），则复数的共轭复数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.在等差数列中，，，则数列的前8项和( )‎ A． B. C. D. ‎ ‎4．记集合A={（x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x+y﹣2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（　　）‎ A．12 B．4 C． D．‎ ‎6．阅读如图的程序框图．若输入n=6，则输出k的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7．（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为（　　）‎ A．30 B．﹣150 C．90 D． 70‎ ‎8．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则函数f（x）的解析式为（　　）‎ A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（x+）‎ C．f（x）=2sin（2x+） D．f（x）=2sin（2x+）‎ ‎9. 某公司在销售某种环保材料过程中，记录了每日的销售量x（吨）与利润y（万元）的对应数据，下表是其中的几组对应数据，由此表中的数据得到了y关于x的线性回归方程=0.7x+a，若每日销售量达到10吨，则每日利润大约是（　　）‎ x ‎ 3‎ ‎4 ‎ ‎ 5‎ ‎6 ‎ ‎ y ‎ 2.5‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 4.5‎ A．7.2万元 B．7.35万元 C．7.45万元 D．7.5万元 ‎10．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．a+＜＜log2（a+b）） B．＜log2（a+b）＜a+‎ C．a+＜log2（a+b）＜ D．log2（a+b））＜a+＜‎ ‎11．设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．设函数f（x）=min{xlnx，}（min{a，b}表示a，b中的较小者），则函数f（x）的最大值为（　　）‎ A． B．2ln2 C． D．ln2‎ 二．填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13．已知向量满足则=　 　．‎ ‎14若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为　 　．‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，M为直线x＝3上一动点，以M为圆心的圆记为圆M，若圆M截x轴所得的弦长恒为4．过点O作圆M的一条切线，切点为P，则点P到直线2x＋y－10＝0距离的最大值为_____．‎ ‎16.已知数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且错误！未找到引用源。（n∈N*），若不等式 ‎++…+≤错误！未找到引用源。对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值是　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6个小题,共70分.‎ ‎17．（12分）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2．‎ ‎（1）求角A的值；‎ ‎（2）若a=，则求b+c的取值范围．‎ ‎18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点， CD=PD=AD=AB．‎ ‎（1）求证：CE⊥平面PAB；‎ ‎（2）若CE=，AB=4，求直线CE与平面PDC所成角的大小．‎ ‎19．（12分）等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=1，a32=4a2a6．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn+2=3log2，求数列{anbn}的前n项和．‎ ‎ ‎ ‎20．（12分）语文成绩服从正态分布N（100，17.52），数学成绩的频率分布直方图如图：‎ ‎（1）如果成绩大于135的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？‎ ‎（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有x人，求x的分布列和数学期望．‎ ‎（3）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．‎ ‎①若x～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜x≤μ+σ）=0.68，P（μ﹣2σ＜x≤μ+2σ）=0.96．‎ ‎②k2=；‎ ‎③‎ P（k2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎…‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎…‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=﹣（1+2a）x+ln（2x+1），a＞0．‎ ‎（1）已知函数f（x）在x=2取得极小值，求a的值；‎ ‎（2）讨论函数f（x）的单调区间；‎ ‎（3）当a＞时，若存在x0∈（，+∞）使得f（x0）＜﹣2a2，求实数a 的取值范围．‎ ‎22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣1|，‎ ‎（1）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＞0‎ ‎（2）若g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．‎ ‎12月份质量检测高三数学试题（理科）2017.12.12‎ 一 CBDAB BDCBB AA 二 4 4 1/2‎ 三17．解：（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2=a﹣2a•，‎ 利用正弦定理可得 （sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），--------------2‎ 即 sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，‎ 即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∴A=． --------------------6‎ ‎（2）若a=，则由正弦定理可得 ==2，‎ ‎∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（﹣B）]=3sinB+cosB=2sin（B+）．‎ 由于，求得 ＜B＜，∴＜B+＜．-------10‎ ‎∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c∈（3，2]．------------------------12‎ ‎18．证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结DF，EF．∵PD=AD，∴DF⊥AP．‎ ‎∵AB⊥平面PAD，DF⊂平面PAD，∴AB⊥DF．‎ 又∵AP⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AP∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．‎ ‎∵E是PB的中点，F是PA的中点，∴EF∥AB，EF=AB．‎ 又AB∥CD，CD=AB，∴EF∥CD，EF=CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF，‎ ‎∴CE⊥平面PAB．---------------------------------------4‎ ‎（Ⅱ）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结OG，则OG∥AB，‎ ‎∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥AD，∴OG⊥AD．‎ ‎∵BC=，由（Ⅰ）知，DF=，‎ 又AB=4，∴AD=2，∴AP=2AF=2=2，‎ ‎∴△APD为正三角形，∴PO⊥AD，‎ ‎∵AB⊥平面PAD，PO⊂平面PAD，∴AB⊥PO．‎ 又AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD∩AB=A，∴PO⊥平面ABCD．‎ 以点O为原点，分别以OA，OG，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．-------------------------------------------6‎ 则P（0，0，），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，0），E（，2，），‎ ‎∴=（﹣1，0，﹣），=（﹣1，2，﹣），=（﹣，0，﹣），‎ 设平面PDC的法向量为=（x，y，z），则，∴，‎ 取z=1，则=（﹣，0，1），----9∴cos＜＞===---------------11‎ 设EC与平面PDC所成的角为α，则sinα=cos＜＞=，∵α∈[0，]，∴α=，‎ ‎∴EC与平面PDC所成角的大小为．----------------------------------------12‎ ‎19解：（1）由a32=4a2a6得：a32=4a42∴q2= 即q=又由a1+2a2=1得：a1=∴an=（）n…--（4分）‎ ‎（2）∵bn+2=3log2∴bn+2=3log22n∴bn=3n﹣2∴cn=（3n﹣2）•（）n----------------6‎ ‎∴Sn=1×+4×（）2+7×（）3+…+（3n﹣5）•（）n﹣1+（3n﹣2）•（）n …①‎ Sn=1×（）2+4×（）3+7×（）4+…+（3n﹣5）•（）n+（3n﹣2）•（）n+1…②‎ ① ‎﹣②得：---------------------------------8‎ Sn=1×+3（（）2+（）3+…+（）n）﹣（3n﹣2）•（）n+1‎ ‎=1×+3×﹣（3n﹣2）•（）n+1‎ ‎=+3×（1﹣（）n﹣1）﹣（3n﹣2）•（）n+1------------10‎ Sn=1+3﹣3×（）n﹣1﹣（3n﹣2）•（）n=4﹣（）n（6+3n﹣2）=4﹣（）n（3n+4）‎ 即：Sn=4﹣…。。。。。。。。（12分）‎ ‎20．解：（1）∵语文成绩服从正态分布N（100，17.52），‎ ‎∴语文成绩特别优秀的概率为p1=P（X≥135）=（1﹣0.96）×=0.02，‎ 数学成绩特别优秀的概率为p2=0.0016×20×=0.024，∴语文特别优秀的500×0.02=10人，‎ 数学特别优秀的同学有500×0.024=12人．------------------------------------2‎ ‎（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，‎ X的所有可能取值为0，1，2，3，‎ P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，-------------------------------6‎ ‎∴X的分布列为：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E（X）=0×+1×+2×+3×=．-------------------------------8‎ ‎（3）2×2列联：‎ 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 ‎6‎ ‎6‎ ‎12‎ 数学不特别优秀 ‎4‎ ‎484‎ ‎488‎ 合计 ‎10‎ ‎490‎ ‎500‎ ‎∴k2=≈144.5＞6.635 ∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀． -----------12‎ ‎21．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为，且f'（x）=x﹣（1+2a）+，（1分）‎ 因为函数f（x）在x=2取得极小值，所以f'（2）=0，即f'（2）=2﹣（1+2a）+=0，．…（2分）解得a=1．…（3分）‎ 经检验：a=1时，函数f（x）在x=2取得极小值，所以a=1．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）f'（x）=x﹣（1+2a）+==‎ 令f'（x）=0，则x=或x=2a…（6分）‎ i、当2a＞，即a＞时，‎ x ‎（﹣，）‎ ‎（，2a）‎ ‎2a ‎（2a，+∞）‎ f'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以f（x）的增区间为（﹣，）和（2a，+∞），减区间为（，2a）…（7分）‎ ii、当2a=，即a=时，f'（x）=≥0在（，+∞）上恒成立，‎ 所以f（x）的增区间为（，+∞） …（8分）‎ x ‎（﹣，2a）‎ ‎2a ‎（2a，）‎ ‎（，+∞）‎ f'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ iii、当0＜2a＜，即0＜a＜时，‎ 所以f（x）的增区间为（﹣，2a）和（，+∞），减区间为（2a，）…（9分）综上所述：0＜a＜时，f（x）的增区间为（﹣，2a）和（，+∞），减区间为（2a，）a=时，f（x）的增区间为（，+∞）a＞时，f（x）的增区间为（﹣，）和（2a，+∞），减区间为（，2a）‎ ‎（Ⅲ）由题意，a＞时，存在x0∈（，+∞），f（x0）＜，即a＞时，f（x）在（，+∞）上的最小值小于． ‎ 由（Ⅱ）a＞时，f（x）在（，2a）上递减，在（2a，+∞）上递增，f（x）在（，+∞）上的最小值为f（2a），…（10分）所以f（2a）＜，‎ 即＜…（12分）‎ 化简得ln（4a+1）＜1，4a+1＜e，，‎ 又a＞，所以，所求实数a的取值范围为．…（12分）‎ ‎22（1）由不等式f（x）+x2﹣1＞0可化为：|x﹣1|＞1﹣x2‎ 即：1﹣x2＜0或或，--------------3‎ 解得x＞1或x＜﹣1，或∅，或x＞1或x＜0．‎ ‎∴原不等式的解集为{x|x＞1或x＜0}，综上原不等式的解为{x|x＞1或x＜0}． ----------5‎ ‎（2）∵g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x），∴|x﹣1|+|x+3|＜m．‎ 因此g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空⇔|x﹣1|+|x+3|＜m的解集非空．‎ 令h（x）=|x﹣1|+|x+3|，即h（x）=（|x﹣1|+|x+3|）min＜m，--------------------8‎ 由|x﹣1|+|x+3|≥|x﹣1﹣x﹣3|=4，∴h（x）min=4，‎ ‎∴m＞4．---------------------------------------------------10‎