2015年高考真题——理科数学（新课标Ⅱ）解析版

2015年高考真题——理科数学（新课标Ⅱ）解析版

2015 高考数学新课标Ⅱ卷(理科)解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合 ， ,则 （ ） A． 　B． 　　　C． 　D． 【答案】A 考点： 交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 解一元二次不等式，求出集合 B，然后进行交集的运算即可． 解答： 解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}； ∴A∩B={﹣1，0}． 故选： A． 点评： 考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算． 2．若 为实数且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：由已知得 ，所以 ，解得 ，故选 B． 考点：复数的运算． 3．根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论 不正确的是( ) A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 2 1,01,2A   ｛ ， ， ｝  ( 1)( 2 0B x x x    A B   1,0A    0,1  1,0,1  0,1,2 a (2 )( 2 ) 4ai a i i    a  1 0 1 2 24 ( 4) 4a a i i    24 0, 4 4a a    0a  2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现 C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】 试题分析：由柱形图得，从 2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年 份负相关，故选 D． 考点：正、负相关． 4．等比数列｛an｝满足 a1=3， =21，则 ( ) A．21 B．42 C．63 D．84 5．设函数 , ( ) A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 ： 由 已 知 得 ， 又 ， 所 以 ，故 ，故选 C． 考点：分段函数． 6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余 部分体积的比值为( ) A． B． C． D． 1 3 5a a a  3 5 7a a a   2 1 1 log (2 ), 1, ( ) 2 , 1,x x x f x x      2( 2) (log 12)f f   2( 2) 1 log 4 3f     2log 12 1 2 2log 12 1 log 6 2(log 12) 2 2 6f    2( 2) (log 12) 9f f   8 1 7 1 6 1 5 1 【答案】D 【解析】 试题分析：由三视图得，在正方体 中，截去四面体 ，如图所 示 ，， 设 正 方 体 棱 长 为 ， 则 ， 故 剩 余 几 何 体 体 积 为 ，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ，故选 D． 考点：三视图． 7．过三点 ， ， 的圆交 y 轴于 M，N 两点，则 ( ) A．2 B．8 C．4 D．10 【答案】C 【 解 析 】 由 已 知 得 ， ， 所 以 ， 所 以 ，即 为直角三角形，其外接圆圆心为 ，半径为 ，所以外接圆方程为 ，令 ，得 ，所以 ，故选 C． 考点：圆的方程． 8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该 1 1 1 1ABCD A B C D 1 1 1A A B D a 1 1 1 3 31 1 1 3 2 6A A B DV a a    3 3 31 5 6 6a a a  5 1 C BA D D1 C1 B1 A1 (1,3)A (4,2)B (1, 7)C  | |MN  6 6 3 2 1 1 4 3ABk    2 7 34 1CBk    1AB CBk k   AB CB ABC (1, 2) 5 2 2( 1) ( 2) 25x y    0x  2 6 2y    4 6MN  程序框图，若输入 分别为 14,18，则输出的 ( ) A．0 B．2 C．4 D．14 【答案】B 【解析】 试题分析：程序在执行过程中， ， 的值依次为 ， ； ； ； ； ； ，此时 程序结束，输出 的值为 2，故选 B． 考点：程序框图． 9．已知 A,B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最 大值为 36，则球 O 的表面积为( ) A．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C 【解析】 试题分析：如图所示，当点 C 位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最 大，设球 的半径为 ，此时 ，故 ，则球 的表面积为 ，故选 C． 考点：外接球表面积和椎体的体积． ,a b a  a > b a = a - b b = b - a 输出 a 结 束 开 始 输入 a， b a ≠ b 是 是 否 否 a b 14a  18b  4b  10a  6a  2a  2b  2a b  a AOB O ABC O R 2 31 1 1 363 2 6O ABC C AOBV V R R R       6R  O 24 144S R   B O A C 10．如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点，点 沿着边 ， 与 运动，记 ．将动 到 、 两点距离之和表示为 的函数 ，则 的图像大致为（ ） 考点：函数的图象和性质． 【名师点睛】本题考查函数的图像与性质，表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意， 通过点 P 的运动轨迹来判断图像的对称性以及特殊点函数值的比较，也可较容易找到答案， 属于中档题． 11．已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 ： 设 双 曲 线 方 程 为 ， 如 图 所 示 ， ， ABCD 2AB  1BC  O AB P BC CD DA BOP x  P A B x ( )f x ( )y f x D P C B OA x 5 2 3 2 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    AB BM ， 过 点 作 轴 ， 垂 足 为 ， 在 中 ， ， ，故点 的坐标为 ，代入双曲线方程得 ，即 ，所以 ，故选 D． 考点：双曲线的标准方程和简单几何性质． 12 ． 设 函 数 是 奇 函 数 的 导 函 数 ， ， 当 时 ， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ） A． 　　　B． C． 　　　D． 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： 记 函 数 ， 则 ， 因 为 当 时 ， ，故当 时， ，所以 在 单调递减；又因为函数 是 奇 函 数 ， 故 函 数 是 偶 函 数 ， 所 以 在 单 调 递 减 ， 且 ．当 时， ，则 ；当 时， ，则 ，综上所述，使得 成立的 的取值范围是 ，故选 A． 考点：导数的应用、函数的图象与性质． 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 0120ABM  M MN x N Rt BMN BN a 3MN a M (2 , 3 )M a a 2 2 2 2a b a c   2 22c a 2e  ' ( )f x ( )( )f x x R ( 1) 0f   0x  ' ( ) ( ) 0xf x f x  ( ) 0f x  x ( , 1) (0,1)   ( 1,0) (1, )  ( , 1) ( 1,0)   (0,1) (1, ) ( )( ) f xg x x ' ' 2 ( ) ( )( ) xf x f xg x x  0x  ' ( ) ( ) 0xf x f x  0x  ' ( ) 0g x  ( )g x (0, ) ( )( )f x x R ( )g x ( )g x ( ,0) ( 1) (1) 0g g   0 1x  ( ) 0g x  ( ) 0f x  1x   ( ) 0g x  ( ) 0f x  ( ) 0f x  x ( , 1) (0,1)   本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 ~ 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作 答。第 22 题 ~ 第 24 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13．设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 _________． 【答案】 【解析】 试题分析：因为向量 与 平行，所以 ，则 所以 ． 考点：向量共线． 14．若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为____________． 【答案】 【解析】 试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为 ，当 取到最大时，直线 的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到 ，则 的最大值为 ． 考点：线性规划． 15． 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 __________． a b a b   2a b    1 2 a b   2a b  2a b k a b      （ ） 1 2 , k k     ， 1 2  1 0 2 0, 2 2 0, x y x y x y           ， z x y  3 2 y x z   z y x z   1(1, )2D z x y  3 2 x y –1–2–3–4 1 2 3 4 –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 D C B O 4( )(1 )a x x  a  【答案】 【解析】 试题分析：由已知得 ，故 的展开式中 x 的奇 数次幂项分别为 ， ， ， ， ，其系数之和为 ，解得 ． 考点：二项式定理． 16．设 是数列 的前 n 项和，且 ， ，则 ________． 【答案】 【解析】 试题分析：由已知得 ，两边同时除以 ，得 ， 故 数 列 是 以 为 首 项 ， 为 公 差 的 等 差 数 列 ， 则 ， 所 以 ． 考点：等差数列和递推关系． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分 12 分） 中， 是 上的点， 平分 ， 面积是 面积的 2 倍． (Ⅰ) 求 ； (Ⅱ)若 ， ，求 和 的长． 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ． (Ⅱ)因为 ，所以 ．在 和 中，由余弦定理得 ， ． 3 4 2 3 4(1 ) 1 4 6 4x x x x x      4( )(1 )a x x  4ax 34ax x 36x 5x 4 4 1+6+1=32a a  3a  nS  na 1 1a   1 1n n na S S  nS  1 n 1 1 1n n n n na S S S S      1n nS S  1 1 1 1 n nS S   1 nS       1 1 1 1 ( 1) nS n n      1 nS n  ABC D BC AD BAC ABD ADC sin sin B C   1AD  2 2DC  BD AC 1 2 1 : :ABD ADCS S BD DC   2BD  ABD ADC 2 2 2 2 cosAB AD BD AD BD ADB     2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC ADC     ．由(Ⅰ)知 ，所以 ． 考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理． 18．（本题满分 12 分） 某公司为了解用户对其产品的满意度，从 ， 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户 对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价 结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）将 两地区用户对产品的满意度评分的个位数分别列与茎的两侧，并根 据数字的集中或分散来判断平均值和方差的大小；（Ⅱ）事件“A 地区用户的满意度等级高于 B 2 2 2 2 22 3 2 6AB AC AD BD DC     2AB AC 1AC  A B A 地区 B 地区 4 5 6 7 8 9 0.48 ,A B 地区用户的满意度等级”分为两种情况：当 B 地区满意度等级为不满意时，A 地区的满意度等 级为满意或非常满意；当 B 地区满意度等级为满意时，A 地区满意度等级为非常满意．再利 用互斥事件和独立事件的概率来求解． 试题解析：（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”． 则 与 独立， 与 独立， 与 互斥， ． ． 由所给数据得 ， ， ， 发生的概率分别为 ， ， ， ．故 ， ， ， ，故 ． 考点：1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件． 19．（本题满分 12 分） A 地区 B 地区 4 5 6 7 8 9 6 8 1 3 6 43 2 4 5 5 6 4 2 3 3 4 6 96 8 8 6 4 3 3 2 19 2 8 6 5 1 1 37 5 5 2 2BC 1AC 1BC 2AC 2BC 1BC 2BC 1 1 2 2B A B AC C C C C  1 1 2 2( ) ( )B A B AP C P C C C C  1 1 2 2( ) ( )B A B AP C C P C C  1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )B A B AP C P C P C P C  1AC 2AC 1BC 2BC 16 20 4 20 10 20 8 20 1( )AP C 16= 20 2( )=AP C 4 20 1( )=BP C 10 20 2( )BP C 8= 20 10 16 8 4( )= + 0.4820 20 20 20P C    如图，长方体 中, ， ， ，点 ， 分别在 ， 上， ．过点 ， 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方 形． （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由线面平行和面面平行的性质画平面 与长方体的面的交线；（Ⅱ）由交 线围成的正方形 ，计算相关数据．以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建 立如图所示的空间直角坐标系 ，并求平面 的法向量和直线 的方向向量，利用 求直线 与平面 所成角的正弦值． 试题解析：（Ⅰ）交线围成的正方形 如图： （Ⅱ）作 ，垂足为 ，则 ， ，因为 为正方 形，所以 ．于是 ，所以 ．以 为坐 标 原 点 ， 的 方 向 为 轴 的 正 方 向 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 ， ， ， ， ， ．设 是 平 面 的 法 向 量 ， 则 即 所 以 可 取 1 1 1 1ABCD A B C D =16AB =10BC 1 8AA  E F 1 1A B 1 1C D 1 1 4A E D F  E F  D D1 C1 A1 E F A B C B1 AF  4 5 15  EHGF D DA x D xyz  AF sin cos , n AF n AF n AF             AF  EHGF EM AB M 1 4AM A E  1 8EM AA  EHGF 10EH EF BC   2 2 6MH EH EM   10AH  D DA x D xyz (10,0,0)A (10,10,0)H (10,4,8)E (0,4,8)F (10,0,0)FE  (0, 6,8)HE   ( , , )n x y z EHGF 0, 0, n FE n HE          10 0, 6 8 0, x y z     ．又 ，故 ．所以直线 与平 面 所成角的正弦值为 ． 考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角． 20．（本题满分 12 分） 已知椭圆 ,直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交 点 ， ，线段 的中点为 ． (Ⅰ)证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若 能，求此时 的斜率，若不能，说明理由． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能， 或 ． 【解析】 试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法 求解：设端点 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦 的中点和直线 的斜率；设直线 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦 的中点，并寻找两条直线斜率关系； (0,4,3)n  ( 10,4,8)AF   4 5cos , 15 n AF n AF n AF             AF  4 5 15 A1 A B1 B D1 D C1 C F E H G M 2 2 2:9 ( 0)C x y m m   l O l C A B AB M OM l l ( , )3 m m OM C P OAPB l 4 7 4 7 ,A B AB l l AB （Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线 方程并与椭圆方程联立，求得 坐标，利用 以 及直线 过点 列方程求 的值． 试题解析：(Ⅰ)设直线 ， ， ， ． 将 代 入 得 ， 故 ， ．于是直线 的斜率 ，即 ．所以直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形 能为平行四边形． 因为直线 过点 ，所以 不过原点且与 有两个交点的充要条件是 ， ． 由 (Ⅰ) 得 的 方 程 为 ． 设 点 的 横 坐 标 为 ． 由 得 ，即 ．将点 的坐标代入直线 的方程得 ， 因此 ．四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线段 互相平分， 即 ．于是 ．解得 ， ．因为 ， ， ，所以当 的 斜率为 或 时，四边形 为平行四边形． 考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系． 21．（本题满分 12 分） 设函数 ． (Ⅰ)证明： 在 单调递减，在 单调递增； OM M 2P Mx x l ( , )3 m m k :l y kx b  ( 0, 0)k b  1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ( , )M MM x y y kx b  2 2 29x y m  2 2 2 2( 9) 2 0k x kbx b m     1 2 22 9M x x kbx k     2 9 9M M by kx b k    OM 9M OM M yk x k   9OMk k   OM l OAPB l ( , )3 m m l C 0k  3k  OM 9y xk  P Px 2 2 2 9 , 9 , y xk x y m       2 2 2 29 81P k mx k  23 9P kmx k   ( , )3 m m l (3 ) 3 m kb  2 ( 3) 3( 9)M mk kx k   OAPB AB OP 2P Mx x 23 9 km k    2 ( 3)2 3( 9) mk k k   1 4 7k   2 4 7k   0, 3i ik k  1i  2 l 4 7 4 7 OAPB 2( ) mxf x e x mx   ( )f x ( ,0) (0, ) （Ⅱ）若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ） ． 【解析】 试题分析：(Ⅰ)先求导函数 ，根据 的范围讨论导函数在 和 的 符 号 即 可 ； （ Ⅱ ） 恒 成 立 ， 等 价 于 ．由 是两个独立的变量，故可求研究 的值域，由(Ⅰ)可得 最小值为 ，最大值可能是 或 ，故只需 ，从而得关 于 的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解． 考点：导数的综合应用． 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清 题号。 22． （本小题满分 10 分） 选修 4—1：几何证明选讲 如图， 为等腰三角形 内一点，圆 与 的底边 交于 、 两点与底边上 的高 交于点 ，与 、 分别相切于 、 两点． 1 2, [ 1,1]x x   1 2( ) ( ) 1f x f x e   m [ 1,1] ' ( ) ( 1) 2mxf x m e x   m ( ,0) (0, ) 1 2( ) ( ) 1f x f x e   1 2 max( ) ( ) 1f x f x e   1 2,x x ( )f x (0) 1f  ( 1)f  (1)f (1) (0) 1, ( 1) (0) 1, f f e f f e         m O ABC O ABC BC M N AD G AB AC E F （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ） 若 等于 的半径，且 ，求四边形 的面积． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由已知得 ，欲证明 ，只需证明 ，由切线长 定理可得 ，故只需证明 是角平分线即可；（Ⅱ）连接 ， ，在 中，易求得 ，故 和 都是等边三角形，求得其边长，进而可求其面 积．四边形 的面积为两个等边三角形面积之差． 试题解析：（Ⅰ）由于 是等腰三角形， ，所以 是 的平分线．又 因 为 分 别 与 、 相 切 于 、 两 点 ， 所 以 ， 故 ． 从 而 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， , ，故 是 的垂直平分线，又 是 的弦， 所以 在 上．连接 ， ，则 ．由 等于 的半径得 ， 所以 ．所以 和 都是等边三角形．因为 ，所以 ， ． 因为 ， ，所以 ．于是 ， ．所 以四边形 的面积 ． 考点：1．等腰三角形的性质；2、圆的切线长定理；3、圆的切线的性质． G A E F O NDB CM / /EF BC AG O 2 3AE MN  EBCF 16 3 3 AD BC / /EF BC AD EF AE AF AD OE OM Rt AEO 030OAE  AEF AEF EBCF ABC AD BC AD CAB O AB AC E F AE AF AD EF / /EF BC AE AF AD EF AD EF EF O O AD OE OM OE AE AG O 2AO OE 030OAE  ABC AEF 2 3AE  4AO  2OE  2OM OE  1 32DM MN  1OD  5AD  10 3 3AB  EBCF 2 21 10 3 3 1 3 16 3( ) (2 3)2 3 2 2 2 3      23．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数， ），其中 ，在 以 为 极 点 ， 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 ， 曲 线 ． （Ⅰ）.求 与 交点的直角坐标； （Ⅱ）.若 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，求 的最大值． 【答案】（Ⅰ） 和 ；（Ⅱ） ． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）将曲线 与 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的 直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别 联立 与 和 与 的极坐标方程，求得 的极坐标，由极径的概念将 表示，转 化为三角函数的最大值问题处理． 试题解析：（Ⅰ）曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ．联立 解得 或 所以 与 交点 的直角坐标为 和 ． （Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 ，其中 ．因此 得到极坐标为 ， 的 极 坐 标 为 ． 所 以 ，当 时， 取得最大值，最大值为 ． 考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值． 24．（本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲 设 均为正数，且 ，证明： xoy 1 cos ,: sin , x tC y t      t 0t  0    O x 2 : 2sinC   3 : 2 3 cosC   2C 1C 2C 1C A 3C 1C B AB (0,0) 3 3( , )2 2 4 2C 1C 2C 1C 3C 1C ,A B AB 2C 2 2 2 0x y y   3C 2 2 2 3 0x y x   2 2 2 2 2 0, 2 3 0, x y y x y x        0, 0, x y    3 ,2 3 ,2 x y     2C 1C (0,0) 3 3( , )2 2 1C ( , 0)R      0    A (2sin , )  B (2 3 cos , )  2sin 2 3 cosAB    4 in( )3s   5 6   AB 4 , , ,a b c d a b c d   （Ⅰ）若 ，则 ； （Ⅱ） 是 的充要条件． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析． 考点：推理证明． ab cd a b c d   a b c d   a b c d  