惠州2020高三第三次调研考理数试题

惠州2020高三第三次调研考理数试题

数学试题（理科） 第 1 页，共 6 页 惠州市 2020 届高三第三次调研考试 理科数学 2020.1 全卷满分 150 分，时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填 写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信 息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上， 写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知全集 UR ，  | 21xAx，则 U A  ( )． A． { 1}xx B． { 1}xx C． {0}xx D． {0}xx 2．设 i 为虚数单位，复数 2 13 22zi ，则 z 在复平面内对应的点在第( )象限． A．一 B．二 C．三 D．四 3．已知 2020 1log πa  ， 20201 πb   ， 1 π2020c  ，则( )． A． c a b B． a c b C． bac D． abc 4．在直角坐标系 xOy 中，已知角 θ 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边落在直线 3yx 上，则 3sin(2)2   = ( )． A． 4 5 B． 4 5 C． 3 5 D． 1 2 5．在平行四边形 ABCD 中， ABa ， AD b ， 4AM MC ， P 为 AD 的中点， 则 MP = ( )． A． 43 5 10ab B． 43 54ab C． 43 5 10ab D． 13 44ab 数学试题（理科） 第 2 页，共 6 页 6．设 aR ，则“ 2a  ”是“直线 1 : 2 5 0l x a y    与直线 2 : 4 2 0l a x y    平行” 的 ( ) 条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 7．数列 {}na ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，称为斐波那契数列，它是由十三 世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数 列”。该数列从第 3 项开始，每项等于其前相邻两项之和，即 21nnna a a．记该 数列 的前 n 项和为 nS ，则下列结论正确的是( )． A． 20192020 2Sa B． 20192021 2Sa C． 20192020 1Sa D． 20192021 1Sa 8．《易经》是中国传统文化中的精髓之一。右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、 离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“ ”表示一根 阳线，“ ”表示一根阴线）。从八卦中任取两卦，这两卦 的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为( )． A． 1 14 B． 1 7 C． 5 28 D． 5 14 9．函数   21sin1 xfxx e  的图象的大致形状是( )． A B C D 10．如图，平面훼过正方体퐴퐵퐶퐷 − 퐴1퐵1퐶1퐷1的顶点 A， 훼//平面퐶퐵1퐷1，훼 ∩平面퐴퐵퐶퐷 = 푚，훼 ∩平面 퐴퐵퐵1퐴1 = 푛，则 m、n 所成角的正弦值为( )． A． 1 2 B． 1 2 C． 3 3 D． 3 2 x y O x y O x y O x y O m n 数学试题（理科） 第 3 页，共 6 页 11．已知 F 为抛物线푦2 = 푥的焦点，点 A、B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， 푂퐴⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 푂퐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 2(其中 O 为坐标原点)，则△ 퐴퐵푂与△ 퐴퐹푂面积之和的最小值是( )． A．2 B．3 C． 1 7 2 8 D．√10 12．已知函数푓(푥) = sin(휔푥 + 휑)(휔 > 0)满足푓(푥0) = 푓(푥0 + 1) = − 1 2 ， 且푓(푥)在(푥0, 푥0 + 1)上有最小值，无最大值。给出下述四个结论： ①푓(푥0 + ) = −1； ②若푥0 = 0，则푓(푥) = sin(2휋푥 − 6  )； ③푓(푥)的最小正周期为 3； ④푓(푥)在(0,2019)上的零点个数最少为 1346 个． 其中所有正确结论的编号是( )． A．①②④ B．①③④ C．①③ D．②④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分。 13．执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值是________． 14．若(1 + 푥)(1 − 2푥)7 = 푎0 + 푎1푥 + 푎2푥2 + ⋯ + 푎8푥8， 则푎1 + 푎2 + 푎3 + ⋯ + 푎8的值是________． 15．设数列{푎푛}的前 n 项和为푆푛，若푆2 = 4，푎푛+1 = 2푆푛 + 1， 푛 ∈ 푁∗，则푎1 =______，푆5 =______． 16．已知双曲线 1 :C 22 221( 0 0)xy abab  － ， 的离心率 2e  ，左、右焦点分别为 12FF、 ，其中 2F 也是抛物线  2 2 :20Cypx p的焦点， 1C 与 2C 在第一象限的 公共点为 P ．若直线 1PF 斜率为 3 4 ，则双曲线离心率 e 的值是________． 0n  开始 结束 2nn n输出 2 2 0?n  是 否 数学试题（理科） 第 4 页，共 6 页 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考 题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（本小题满分 12 分） 在平面四边形 A B C D 中， π 3ABC， π 2A D C， 2BC  ． （1）若 ABC△ 的面积为 33 2 ，求 AC ； （2）若 23AD  ， π 3ACBACD ， 求 tan ACD ． 18．（本小题满分 12 分） 如图，等腰梯形 ABCD 中，퐴퐵//퐶퐷，퐴퐷 = 퐴퐵 = 퐵퐶 = 1，퐶퐷 = 2，E 为 CD 中 点，以 AE 为折痕把△ 퐴퐷퐸折起，使点 D 到达点 P 的位置(푃 ∉平面퐴퐵퐶퐸)． （1）证明：퐴퐸 ⊥ 푃퐵； （2）若直线 PB 与平面 ABCE 所成的角为 4  ，求二面角퐴 − 푃퐸 − 퐶的余弦值． 19.（本小题满分 12 分） 为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生 的必修课程。惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣， 某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了 100 人进行调查。 （1）已知在被抽取的学生中高一(1)班学生有 6 名，其中 3 名对游泳感兴趣，现在 从这 6 名学生中随机抽取 3 人，求至少有 2 人对游泳感兴趣的概率； B D C A 数学试题（理科） 第 5 页，共 6 页 （2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市 级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示。若从高一(8)班和高一(9)班获奖学生 中随机各抽取 2 人进行跟踪调查，记选中的 4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数为휉， 求随机变量휉的分布列及数学期望。 班级 一(1) 一(2) 一(3) 一(4) 一(5) 一(6) 一(7) 一(8) 一(9) 一(10) … 市级 比赛获奖人数 2 2 3 3 4 4 3 3 4 2 … 市级以上 比赛获奖人数 2 2 1 0 2 3 3 2 1 2 … 20．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点퐷(4,0)的直线 l 与椭圆 2 2:14 xCy交于不同 的两点퐴(푥1,푦1)，퐵(푥2,푦2)，其中푦1푦2 ≠ 0. （1）若푥1 = 0，求△ 푂퐴퐵的面积； （2）在 x 轴上是否存在定点 T，使得直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰 三角形。 21．（本题满分 12 分） 已知实数 0a  ，设函数   eaxf x ax． （1）求函数  fx的单调区间； （2）当 1 2a  时，若对任意的  1,x ，均有    2 12 af x x， 求 a 的取值范围。 注：e 2.71828 为自然对数的底数。 数学试题（理科） 第 6 页，共 6 页 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 22．（本小题满分 10 分）[选修 4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，曲线 M 的极坐标方程为 2c o s ，若极坐标系内异于 O 的三点  1 ,A  ， 2 , 6B  ，  3123,,0 6 ,C  都在曲线 M 上． （1）求证： 1 2 33  ； （2）若过 B ， C 两点的直线参数方程为 32 2 1 2 xt yt     （ t 为参数）， 求四边形OBAC 的面积． 23．（本小题满分 10 分）[选修 4－5：不等式选讲] 已知函数   24fxxx ． （1）求不等式   3fxx 的解集； （2）若   1fxk x对任意 Rx 恒成立，求 k 的取值范围．