湖南省武冈市第一中学2019届高三上学期第三次月考数学（文）试题

湖南省武冈市第一中学2019届高三上学期第三次月考数学（文）试题

‎2018年下学期高三年级第3次月考试题 数 学 （文科）‎ 本试题卷分为选择题和非选择题两部分，共4页。时量120分钟，总分150分。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。‎ 一、选择题（共12小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）‎ ‎1．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（　 　）‎ A． +i B．5 C． D．‎ ‎2．已知集合，，则集合中共有 ( ) 个真子集 ‎ A. 7 B .4 C. 3 D. 8‎ ‎3．下列说法正确的是（　 　）‎ A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件 B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0‎ C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”‎ ‎4．若α∈（0，），且cos2α+cos（+2α）=，则tanα（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．已知函数 ,，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．函数的零点所在的大致区间是 ( ). ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．设函数，若，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知等比数列,满足,且,则数列的公比为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎11．已知向量.若,则与的夹角为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S15＞0，S16＜0，则中最大的是（　 　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．等比数列{an}的前n项和为Sn=a•2n+a﹣2，则an =_____． ‎ 14． 已知函数，其中，若存在实数，使得关于x的方程 有三个不同的零点，则m的取值范围是 ． ‎ ‎15．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE， DC=λDF，若•=1，则λ的值为______． ‎ ‎16．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x2）＜ 的解集为______． ‎ 三、解答题（本大题共7小题，满分70分）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 在中,角所对的边分别为,且满足:,的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小;‎ ‎（Ⅱ）若,求边长.‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=70，且a1，a2，a6成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值．‎ 19. ‎ （本小题满分12分）‎ 已知函数在处取得极值.‎ ‎（1）求，并求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间.‎ ‎ ‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）设，且，求θ的值；‎ ‎（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．‎ ‎ ‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为,且,.‎ ‎（Ⅰ）求证:数列为等差数列;‎ ‎（Ⅱ）若,判断的前项和与的大小关系,并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 设函数f（x）=x2﹣2x+alnx ‎（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若函数f（x）存在两个极值点x1、x2（x1＜x2），‎ ‎①求实数a的范围； ②证明：＞﹣﹣ln2．‎ ‎ ‎ ‎2018年下学期高三年级第3次月考试题 数 学 （文科）‎ 本试题卷分为选择题和非选择题两部分，共4页。时量120分钟，总分150分。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。‎ 一、选择题（共12小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）‎ ‎1．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（　D　）‎ A． +i B．5 C． D．‎ ‎2．已知集合，，则集合中共有 ( C ) 个真子集 ‎ A. 7 B .4 C. 3 D. 8‎ ‎3．下列说法正确的是（　D　）‎ A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件 B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0‎ C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”‎ ‎4．若α∈（0，），且cos2α+cos（+2α）=，则tanα（　B　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的单调递增区间是（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（ B ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．已知函数 ,，则（ C ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．函数的零点所在的大致区间是 ( B ). ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．设函数，若，则实数的取值范围为（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知等比数列,满足,且,则数列的公比为( A )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎11．已知向量.若,则与的夹角为( D )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S15＞0，S16＜0，则中最大的是（　C　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．等比数列{an}的前n项和为Sn=a•2n+a﹣2，则an =_____． 2n﹣1 . ‎ ‎14．已知函数，其中，若存在实数，使得关于x的方程有三个不同的零点，则m的取值范围是 ．‎ ‎15．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为______． 2 ； ‎ ‎16．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x2）＜ 的解集为______． （-∞，-1）∪（1，+∞）‎ 三、解答题（本大题共7小题，满分70分）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 在中,角所对的边分别为,且满足:,的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小;‎ ‎（Ⅱ）若,求边长.‎ 解:（Ⅰ）因为,①由正弦定理得 ‎,② 将②代入①可得 ‎,‎ 化简得,‎ 即,因为,所以,又,所以.‎ ‎（Ⅱ）因为的面积为,所以,所以.又因为,所以,‎ 由余弦定理得,即,所以.‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=70，且a1，a2，a6成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值．‎ 解：（I）设公差为d且d≠0，则有，即，‎ 解得或（舍去），∴an=3n﹣2．‎ ‎（II）由（I）得， =，‎ ‎∴bn===3n+﹣1≥2﹣1=23，当且仅当3n=，即n=4时取等号，‎ 故数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23．‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数在处取得极值.‎ ‎（1）求，并求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间.‎ 解：（1）由题得，‎ ‎ 又函数在处取得极值，所以解得 ‎ 即.（3分）‎ 因为，所以，‎ 所以曲线在点.（6分）‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 令，‎ 所以的单调递增区间为. （9分）‎ 令，‎ 所以的单调递减区间为.‎ 综上所述，‎ 的单调递减区间为，单调递增区间为.（12分）‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）设，且，求θ的值；‎ ‎（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．‎ 解：（1）==．‎ 由 ‎ 得 ‎ 于是（k∈Z） ‎ ‎ 因为 所以 ‎ ‎（2）因为C∈（0，π），由（1）知．‎ 因为△ABC的面积为，所以，‎ 于是．①‎ 在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．‎ 由余弦定理得，‎ 所以a2+b2=7．②‎ 由①②可得或 于是．‎ 由正弦定理得，‎ 所以．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为,且,.‎ ‎（Ⅰ）求证:数列为等差数列;‎ ‎（Ⅱ）若,判断的前项和与的大小关系,并说明理由.‎ 解:（Ⅰ）证明:由可得 ‎,‎ 所以数列为首项为,公差为的等差数列.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得:,‎ 所以,‎ 所以时,,‎ 又时上式也成立,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以数列的前项和为 所以.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 设函数f（x）=x2﹣2x+alnx ‎（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若函数f（x）存在两个极值点x1、x2（x1＜x2），①求实数a的范围；②证明：＞﹣﹣ln2．‎ 解：（1）函数f（x）=x2﹣2x+2lnx的导数为f′（x）=2x﹣2+，‎ f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，切点为（1，﹣1），‎ 即有f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=2（x﹣1），即为2x﹣y﹣3=0；‎ ‎（2）①函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，‎ ‎∵函数f（x）=x2﹣2x+alnx+1有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．‎ ‎∴f′（x）=0有两个不同的根x1，x2，且0＜x1＜x2，∴，解得，0＜a＜；‎ ‎②证明：由（1）知，x1+x2=1，x1x2=a，则a=2x2（1﹣x2），‎ 因此，f（x1）=（x1﹣1）2+alnx1﹣1=x22+2x2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣1（＜x2＜1），‎ ‎=x2+2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣（＜x2＜1），‎ 令h（t）=t+2（1﹣t）ln（1﹣t）﹣，（＜t＜1），‎ 则h′（t）=1+2[﹣ln（1﹣t）﹣1]+ =﹣2ln（1﹣t），‎ ‎∵＜t＜1，∴1﹣t2＞0，ln（1﹣t）＜0，∴h′（t）＞0，‎ 即h（t）在（，1）上单调递增，则h（t）＞h（）=﹣﹣ln2，‎ 即有＞﹣﹣ln2．　‎