数学文卷·2018届河北省唐山市高三上学期期末考试（2018

数学文卷·2018届河北省唐山市高三上学期期末考试（2018

唐山市2017－2018学年度高三第一学期期末考试 文科数学试卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知集合A＝{x|x2－2x －3≤0}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝(　　)‎ A．[1，+∞）　　　 B．（0，1]‎ C．[3，+∞） D．（0，3]‎ 解析：选D.因为A＝{x|－1≤x≤3}，所以A∩B＝{x|0＜x≤3}．故选D.‎ ‎2．复数的共轭复数为 A．1+2i B．1－2i C．2－2i D．－1+2i 解析：选B. ＝＝1+2i，由此复数的共轭复数为1－2i．‎ ‎3．右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色 部分的面积，在正方形区域随机投掷400个点，其中落入黑色 部分的有225个点，据此估计黑色部分的面积为 A．8 　　　 B．9 ‎ C．10 D．12‎ 解析：选B.‎ ‎4．已知偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减．若f(－2)=0，则满足x f(x)＞0的x的取值范围是 ‎ A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ 解析：选A. ∵f(x)为R上的偶函数且在[0，+∞)上单调递减，∴f(x)在上单调递增．又f(－2)= f(2)=0，因此满足x f(x)＞0的x的取值范围是∪．‎ ‎5．执行右图所示的程序框图，如果输入的a＝2，b＝2，那么输出的i＝ (　　)‎ A．10 B．9‎ C．4 D．3‎ 解析：选C.‎ ‎6．平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，|+|=4，则· =‎ A．5　　　 B．9 ‎ C． 12 D．　16‎ 解析：选B.‎ ‎7．已知函数f(x)＝3sin的最小正周期为T，则将函数f(x)图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为 A．y＝－3sin B．y＝－3cos C．y＝3sin D．y＝3cos 解析：选D.‎ ‎8．一个几何体的三视图如右图所示，则其体积为 A．10+π　　　 B．2+ ‎ C． 2+ D．2+　‎ 解析：选C.‎ ‎9．在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an，Sn为等比数列{an}的前n项和，若{Sn+λ}为等比数列，则λ=‎ A．－1　　　 B．1 ‎ C．－2 D．2　‎ 解析：选B.‎ ‎10．已知F1，F2为双曲线Γ：－＝1(a＞0)的左、右焦点，P为双曲线Γ左支上一点，且满足直线PF1与双曲线的一条渐近线平行， PF1⊥PF2，则a=‎ A． B．2‎ C．4 D．4‎ 解析：选A.‎ ‎11．已知a>－1，函数f(x)＝若存在t使得g(x)＝f(x)－t恰有三个零点，则a的取值范围是 A． 　　 B． ‎ C． D． 解析：选C.‎ ‎12．已知cos36°cos72°=，由此可算得cos36°=‎ A．　　　 B． ‎ ‎ C． D．　‎ 解析：选A.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)‎ ‎13. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S5＝10，a2＝3．则{an}的公差为________.‎ 答案－1 ‎ 解析　设{an}的公差为d，由题设可得解得d＝－1，a1＝4.‎ ‎14．设x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值是________.‎ 答案1 ‎ 解析 ‎15．已知F为椭圆C:＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，过F且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B，若原点O在以AB为直径的圆上，则椭圆C的离心率为________.‎ 答案 ‎ 解析 ‎16．在三棱锥PABC中，底面ABC是正三角形，侧面PAB是直角三角形，且PA＝PB=2，PA⊥AC，则该三棱锥的外接球的表面积为________.‎ 答案12π 解析 由题设知AB= AC=2，PC=2，RT△PAC≌RT△PBC, 三棱锥的外接球面的球心为PC的中点O，外接球的半径为 ．‎ C A O P B 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－ b cosC＝c sinB．‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若b=2，a，b，c成等差数列，求△ABC的面积． ‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由a－bcosC＝csinB及正弦定理得，‎ sinA－sinBcosC＝sinCsinB，‎ 因为sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，‎ 所以sinCcosB＝sinCsinB．‎ 因为sinC≠0，所以tanB＝，‎ 又因为B为三角形的内角，‎ 所以B＝． …6分 ‎（Ⅱ）由a，b，c成等差数列得a＋c＝2b＝4，‎ 由余弦定理得a2＋c2－2accosB＝b2，‎ 即a2＋c2－ac＝4，‎ 所以(a＋c)2－3ac＝4，‎ 从而有ac＝4．‎ 故S△ABC＝acsinB＝． …12分 ‎18．(本小题满分12分)‎ 高铁、购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某移动支付公司随机抽取了100名移动支付用户进行调查，得到如下数据：‎ 每周使用移动支付次数 ‎1次 ‎2次 ‎3次 ‎4次 ‎5次 ‎6次及以上 男 ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎30‎ 女 ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎20‎ 合计 ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎11‎ ‎14‎ ‎50‎ ‎（Ⅰ）在每周使用移动支付次数超过3次样本中，按性别用分层抽样的方法随机抽取5名用户．‎ ‎（ⅰ）求抽取的5名用户中男用，女用户各多少人？‎ ‎（ⅱ）从5名用户中随机抽取2名用户，求抽取的2名用户中既有男用户又有女用户的概率；‎ ‎（Ⅱ）如果认为每周使用移动支付次数超过3次的用户“喜欢使用移动支付”，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为“喜欢使用移动支付”与性别有关？‎ 附表及公式：‎ K2＝ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎（ⅰ）由图中表格可知，样本中每周使用移动支付次数超过3次的男用户有45人，‎ 女用户30人，在这75人中，按性别用分层抽样的方法随机抽取5名用户，其中男用户有3人，女用户有2人． …2分 ‎（ⅱ）记抽取的3名男用户分别A，B，C；女用户分别记为d，e．‎ 再从这5名用户随机抽取2名用户，共包含 ‎(A，B)，(A，C)，(A，d)，(A，e)，(B，C)，‎ ‎(B，d)，(B，e)，(C，d)，(C，e)，(d，e)，‎ ‎10种等可能的结果，其中既有男用户又有女用户这一事件包含(A，d)，(A，e)，‎ ‎(B，d)，(B，e)，(C，d)，(C，e)，共计6种等可能的结果，‎ 由古典概型的计算公式可得P＝＝． …6分 ‎（Ⅱ）由图中表格可得列联表 不喜欢移动支付 喜欢移动支付 合计 男 ‎10‎ ‎45‎ ‎55‎ 女 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ ‎ ‎ 将列联表中的数据代入公式计算得 k＝＝≈3.03＜3.841， …10分 所以，在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为是否喜欢使用移动支付与性别有关． …12分 ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形， EF∥DC，平面ABCD⊥平面CDEF，AE⊥CF．‎ ‎（Ⅰ）求证：CF⊥DE；‎ ‎（Ⅱ）若CF＝DE，DC＝2EF＝4，求五面体ABCDEF的体积．‎ B C D E F A 解：‎ B C D E F A M ‎（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面CDEF，‎ 平面ABCD∩平面CDEF＝CD，AD⊥CD，‎ 所以AD⊥平面CDEF，又CFÌ平面CDEF，‎ 则AD⊥CF．‎ 又因为AE⊥CF，AD∩AE＝A，‎ 所以CF⊥平面AED，DEÌ平面AED，‎ 从而有CF⊥DE． …6分 ‎（Ⅱ）连接FA，FD，过F作FM⊥CD于M，‎ 因为平面ABCD⊥平面CDEF且交线为CD，FM⊥CD，‎ 所以FM⊥平面ABCD．‎ 因为CF＝DE，DC＝2EF＝4，且CF⊥DE，‎ 所以FM＝CM＝1，‎ 所以五面体的体积V＝VF－ABCD＋VA－DEF＝＋＝． …12分 ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知抛物线E：y2＝4x，过点P(2，0)作两条互相垂直的直线m，n，直线m交E于不同两点A，B，直线n交E于不同两点C，D，记直线m的斜率为k.‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点Q(2，0)．‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由题设可知k≠0，所以直线m的方程为y＝kx＋2，与y2＝4x联立，‎ 整理得ky2－4y＋8＝0， ①‎ 由Δ1＝16－32k＞0，解得k＜． …2分 直线n的方程为y＝－x＋2，与y2＝4x联立，‎ 整理得y2＋4ky－8k＝0，‎ 由Δ2＝16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2． …4分 所以故k的取值范围为{k|k＜－2或0＜k＜}． …6分 ‎（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．‎ 由①得，y1＋y2＝，则y0＝，x0＝－，则M(－，)． …8分 同理可得N(2k2＋2k，－2k)．‎ 直线MQ的斜率kMQ＝＝，‎ 直线NQ的斜率kNQ＝＝＝kMQ，‎ 所以直线MN过定点Q(2，0)． …12分 ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝exsinx－ax．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y＝f(x)在x=0处的切线过点（2，－a），求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若f(x)≥0在区间[0，]上恒成立，求a的取值范围．‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由f(x)＝exsinx－ax，得f(0)＝0．‎ 由f¢(x)＝ex(cosx＋sinx)－a，得f¢(0)＝1－a，‎ 则1－a＝－，解得a＝2． …4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得f¢(x)＝ex(cosx＋sinx)－a，‎ 令g(x)＝f¢(x)，则g¢(x)＝2excosx，‎ 所以x∈[0，]时，g¢(x)≥0，g(x)单调递增，f¢(x)单调递增．‎ ‎（ⅰ）当a≤1时，f¢(0)＝1－a≥0，所以f¢(x)≥f¢(0)≥0，f(x)单调递增，‎ 又f(0)＝0，所以f(x)≥0．‎ ‎（ⅱ）当a≥e时，f¢()≤0，所以f¢(x)≤f¢()≤0，f(x)单调递减，‎ 又f(0)＝0，所以f(x)≤0，故此时舍去．‎ ‎（ⅲ）当1＜a＜e时，f¢(0)＜0，f¢()＞0，所以存在x0∈(0，)，使得f¢(x0)＝0，‎ 所以x∈(0，x0)时，f¢(x)＜0，f(x)单调递减，‎ 又f(0)＝0，所以f(x)≤0，故此时舍去．‎ 综上，a的取值范围是a≤1． …12分 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，椭圆C关于坐标轴对称．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，A(，)，B(2，0) 为椭圆C上两点.‎ ‎(Ⅰ)求直线OA的直角坐标方程与椭圆C的参数方程；‎ ‎(Ⅱ)若点M在椭圆C上，且点M第一象限内，求四边形OAMB的面积S的最大值．‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由A(，)得直线OA的倾斜角为，‎ 所以直线OA斜率为tan＝－1，即OA：x＋y＝0．‎ 由x＝ρcosα，y＝ρsinα可得A的直角坐标为(－，)，‎ 因为椭圆C关于坐标轴对称，且B(2，0)，‎ 所以可设C：＋＝1，其中t＞0且t≠12，‎ 将A(－，)代入C，可得t＝4，故椭圆C的方程为＋＝1，‎ 所以椭圆C的参数方程为（α为参数）． …5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得M(2cosα，2sinα)，0＜α＜．‎ 点M到直线OA的距离d＝cosα＋sinα．‎ 所以S＝S△MOA＋S△MOB＝(3cosα＋sinα)＋2sinα ‎＝3cosα＋3sinα ＝6sin(α＋)，‎ 所以当α＝时，四边形OAMB面积S取得最大值6． …10分 ‎23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|，g(x)＝x2＋ax－2.‎ ‎(1)当a＝3时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围．‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）不等式|x＋1|－|x－1|≥x2＋3x－2等价于 或或 解得 Æ，或－1≤x≤1，或－3≤x＜－1．‎ 所以不等式f(x)≥g(x)的解集是{x|－3≤x≤1}． …5分 ‎（Ⅱ）x∈[－1，1]，令F(x)＝g(x)－f(x)＝x2＋(a－2)x－2‎ 不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]等价于 解得1≤a≤3，‎ 所以a的取值范围为[1，3]. …10分