数学文卷·2017届山西省大同市灵丘豪洋中学高三下学期第三次模拟考试（2017

数学文卷·2017届山西省大同市灵丘豪洋中学高三下学期第三次模拟考试（2017

豪洋中学2017届高三下学期第三次模拟考试 数学（文科）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则集合中的元素的个数为（ ）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎2.图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点所表示的复数满足，则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：‎ ‎①；②；③‎ 其中满足“倒负”变换的函数是（ ）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．① ‎ ‎4.已知数列的前项和为，，，且对于任意，，满足，则的值为（ ）‎ A．91 B．90 C.55 D．54‎ ‎5.某算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的的值可能为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.现有7名数理化成绩优秀者，分别用，，，，，，表示，其中，，的数学成绩优秀，，的物理成绩优秀，，的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则或仅一人被选中的概率为（ ） ‎ A． B． C. D．‎ ‎7.在中，，，，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知直三棱柱中，，侧面的面积为4，则直三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.若关于的方程有解，则实数的最小值为（ ）‎ A．4 B．6 C.8 D．2‎ ‎11.已知是抛物线的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数，若导函数在区间上有最大值16，则导函数在区间上的最小值为（ ）‎ A．-16 B．-12 C.12 D．16‎ 第Ⅱ卷：非选择题（共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方式，按1～200编号分为40组，分别为1～5，6～10，…，196～200，第5组抽取号码为23，第9组抽取号码为 ；若采用分层抽样，40—50岁年龄段应抽取 人．‎ ‎14.在三棱柱中，侧棱平面，，底面是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为 ．‎ ‎15.设，满足约束条件，记的最小值为，则函数的图象恒过定点 ．‎ ‎16.下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第15个图形中小正方形的个数是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 已知.‎ ‎（1）求函数取最大值时的取值集合；‎ ‎（2）设的角，，所对的边分别为，，，若，，求面积的最大值.‎ ‎18. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是89.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）计算乙班7位学生成绩的方差.‎ ‎（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求乙班至少有一名学生的概率.‎ ‎19. 如图，在正三棱柱中，，，，分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求几何体的体积.‎ ‎20. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，，是椭圆的长轴的两个端点（位于右侧），是椭圆在轴正半轴上的顶点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同两点和，使得向量与共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）求在上的最大值和最小值；‎ ‎（2）设曲线与轴正半轴的交点为处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有.‎ 请考生在22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 已知半圆的参数方程为，其中为参数，且.‎ ‎（1）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆的极坐标方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设是半圆上的一点，且，试写出点的极坐标.‎ ‎23.【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）已知，若恒成立，求函数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题：‎ ‎1-5:BBCAC 6-10:CCBDB 11、12：BB 二、填空题 ‎13.43，12 14. 15. 16.120‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由题意，‎ ‎，‎ 当取最大值时，即，此时，‎ 所以的取值集合为.‎ ‎（2）因，由（1）得，又，‎ 即，所以，解得，‎ 在中，由余弦定理，‎ 得，所以，‎ 当且仅当，，即为等边三角形时不等式取等号.‎ 故面积的最大值为.‎ ‎18.解：（1）由茎叶图可知甲班学生的总分为.又甲班学生成绩的平均分是85，总分又等于，所以.‎ 乙班学生成绩的中位数是，得.‎ ‎（2）因为乙班7位学生成绩分别为76，81，82，89，91，94，96.‎ 则乙班7位学生成绩的平均数是，所以7位学生成绩的方差是.‎ ‎（3）设“乙班至少有一名学生”为事件，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，乙班没有一名学；根据茎叶图可得，甲班有2名学生成绩高于90分，乙班学生成绩高于90分，从甲、乙两个班级成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，有10种情况，而没有一名是乙班的有1中情况，则.‎ ‎19.解：（1）如图，连接交于点，连接，，在正三棱柱中，四边形为平行四边形，所以.‎ 又因为为中点，所以且.‎ 因为为中点，所以且.‎ 所以且，‎ 所以四边形是平行四边形，所以.‎ 因为，为中点，所以，所以可得.‎ 因为底面，所以，所以可得.‎ 又，平面，且，所以平面.‎ 因为平面，所以平面平面.‎ ‎（2）四棱锥高为，底面为直角梯形，面积为，得，故几何体的体积为 ‎.‎ ‎20.解：（1）设椭圆的方程为，‎ ‎.依题意得解得，.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）假设存在过点且斜率为的直线适合题意，则因为直线的方程为：，于是联立方程，.‎ 由直线与椭圆交于不同两点和知，‎ ‎，.‎ 令，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 由题知，，.‎ 从而，根据向量与共线，可得，，这与矛盾.‎ 故不存在符合题意的直线.‎ ‎21.解（1）由，可得.‎ 令，解得，或.‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 所以，在，上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）设点的坐标为，则，.‎ 曲线在点处的切线方程为，即.‎ 令，则，所以，‎ 由于在上单调递减，故在上单调递减.‎ 又因为，所以当时，.‎ 当时，，所以在内单调递增，在上单调递减，所以对于任意的正实数，都有.‎ 故对于任意的正实数，都有.‎ ‎22.解:（1）根据半圆的参数方程，其中为参数，且，得圆的普通方程为：，‎ 所以，半圆的极坐标方程为：，.‎ ‎（2）因为，所以令，，‎ 则解得.‎ 故点的极坐标为.‎ ‎23.解：（1）不等式，即.‎ 当时，即，得；‎ 当时，即，得；‎ 当时，即，无解.‎ 综上，原不等式的解集为.‎ ‎（2）.‎ 令 结合函数的图象易知：当时，.‎ 要使不等式恒成立，只需，即，‎ 故所求实数的取值范围是.‎