数学理卷·2018届湖南省长沙市望城区第一中学高二上学期第二次调研考试（2016-12）

数学理卷·2018届湖南省长沙市望城区第一中学高二上学期第二次调研考试（2016-12）

2016 年望城一中高二年级第二次调研考试 数学卷 考试时间：120 分钟；总分：150 分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，总 60 分） 1．设 是定义在 上的函数，则“函数 为偶函数”是“函数 为奇函数”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若 ，则 等于（ ） A． B． C．1 D． 3．以椭圆 的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数 y＝xf′(x)的图象如右图所示(其中 f′(x)是函数 f (x)的导函数)，下面四个 图象中 y＝f(x)的图象大致是(　　) 5． 若 变量 x，y 满足约束条件{y ≤ x， x＋y ≤ 1， y ≥ －1， 且 z＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 m－n＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 6．若 ，则 ＝（ ） A．－1 B．－ C． D．1 ( )f x R ( )f x ( )xf x 0( ) 2f x′ = 0 0 0 ( ) ( )lim 2k f x k f x k→ − − 1− 2− 1 2 14924 22 =+ yx 12425 22 =− yx 12524 22 =− yx 12425 22 =− xy 12524 22 =− xy 12 0 ( ) 2 ( )f x x f x dx= + ∫ 1 0 ( )f x dx∫ 1 3 1 3 7．已知 A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则 与 的夹角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 8.直三棱柱 ABC­A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为(　　) A. 1 10 B. 2 5 C. 30 10 D. 2 2 9．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 c2＝(a－b)2＋6，C＝ π 3 ，则△ABC 的面积是(　　) A．3 B. 9 3 2 C. 3 3 2 D．3 3 10．设等差数列{an}的公差为 d.若数列{2a1an}为递减数列，则(　　) A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0 11．设 是椭圆 的左右焦点，过点 作 x 轴的垂线交椭圆 四点构成一个正方形，则椭圆的离心率 e 为（ ） A． B． C． D． 12.若存在实常数 和 ，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 都满足： 和 恒成立，则称此直线 为 和 的“隔离直 线”，已知函数 ，有下列命题： ① 在 内单调递增； ② 和 之间存在“隔离直线”，且 的最小值为 ； ③ 和 之间存在“隔离直线”，且 的取值范围是 ； ④ 和 之间存在唯一的“隔离直线” ． 其中真命题的个数有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 二、填空题（每题 5 分，共 4 题，总 20 分） k b ( )F x ( )G x x ( )F x kx b≥ + ( )G x kx b≤ + y kx b= + ( )F x ( )G x 2 1( ) ( ), ( ) ( 0), ( ) 2 lnf x x x R g x x h x e xx = ∈ = < = ( ) ( ) ( )F x f x g x= − 3 1( ,0) 2 x∈ − ( )f x ( )g x b 4− ( )f x ( )g x k ( 4,0]− ( )f x ( )h x 2y ex e= − 1 2 3 4 1 2,F F 2 2 2 2 1x y a b + = ( 0)a b> > 1 2,F F 5 1 2 − 3 1 2 − 2 2 3 2 F E D C BA P 13．数列{an}是等差数列，若 a1＋1， a3＋3， a5＋5 构成公比为 q 的等比数列，则 q＝ ________. 14．设 P，Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和椭圆 x2 10＋y2＝1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离 是 ． 15． =________. 16．设函数 f(x)＝ 3sin πx m ，若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x20＋2＜m2，则 m 的取值范围 是 . 三、解答题（共 6 题，共 70 分） 17．(本题 10 分)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 3acos C＝2ccos A，tan A＝ 1 3，求 B. 18．(本题 12 分)已知 p：“直线x＋y－m＝0 与圆(x－1)2＋y2＝1 相交”；q：“mx2－x＋m－ 4＝0 有一正根和一负根”．若p∨q 为真，¬ p 为真，求 m 的取值范围． 19．（本题 12 分）如图，四棱锥 的底面为矩形， 是四棱锥的高， 与 所成角为 ， 是 的中点， 是 上的动点. （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若 ，求直线 与平面 所成角的大小. 20．（本小题 12 分） 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1＝10，a2 为整数，且 Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝ 1 anan＋1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 1 2 1 sinx xdx−∫ ABCDP − PA PB DC 45 F PB E BC PE AF⊥ ABBEBC 322 == AP PDE 21．（本小题满分 12 分） 已知点 A (0，－2)，椭圆 E： x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 2 ，F 是椭圆 E 的右焦点，直 线 AF 的斜率为 2 3 3 ，O 为坐标原点． (1)求 E 的方程； (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求 l 的方 程． 22．（本题 12 分）已知函数 ，（ 为自然对数的底数） （1）求函数 的最小值； （2）若 对任意的 恒成立，求实数 的值； （3）在（2）的条件下，证明： )0(1)( >−−= aaxexf x e )(xf 0)( ≥xf Rx ∈ a ))(1ln(1...3 1 2 11 ∗∈+>++++ Nnnn 参考答案 1．C 2．A 3．C 4．C 5．B 6．B 7．C 8．C 9．C　10．C　11．A 12．C 试题分析：(1) = ， ，则 解得 ，所以 在 内单调递增;故①正确． (2) 和 之间存在“隔离直线”,设“隔离直线”为 ，当“隔离直线”与 同时相切时，截距最小，令切点坐标为 ，则 切线方程为 所以 ，故 ，所 以 ，此时截距最小，故②正确；此时斜率为 ，k 的取值范围是 ．故③错误． ④令 F（x）=h（x）-m（x）=x2-2elnx（x＞0），再令 F′（x）═ =0，x＞0，得 x= ， 从而函数 h（x）和 m（x）的图象在 x= 处有公共点． 因此存在 h（x）和 m（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为 k， 则 隔离直线方程为 y-e=k（x- ），即 y=kx-k +e． 由 h（x）≥kx-k +e 可得 x2-kx+k -e≥0 当 x∈R 恒成立， 则△=k2-4k +4e= ≤0，只有 k=2 时，等号成立，此时直线方程为：y=2 x-e． 同理证明，由φ（x ）≤kx-k +e，可得只有 k=2 时，等号成立，此时直线方程为：y=2 x-e． 综上可得，函数 f（x）和 g（x）存在唯一的隔离直线 y=2 x-e，故④正确． 13．1 14．6 2 15．0 16．(－∞，－2)∪(2，＋∞)函数 f(x)的极值点满足 πx m ＝ π 2 ＋kπ，即 x＝m(k＋ 1 2 )，k∈ Z，且极值为± 3，问题等价于存在 k0 使之满足不等式 m2(k0＋ 1 2) 2 ＋34，解得 m>2 或 m<－2，故 m 的取值范围 是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 17．解：由题设和正弦定理得 3sin Acos C＝2sin Ccos A， 故 3tan Acos C＝2sin C. 因为 tan A＝ 1 3，所以 cos C＝2sin C， 所以 tan C＝ 1 2. 所以 tan B＝tan ＝－tan(A＋C) ＝ tan A＋tan C tan Atan C－1 ＝－1， 所以 B＝135°. 18.解　对 p：∵直线与圆相交， ∴d＝ |1－m| 2 ＜1. ∴－ 2＋1＜m＜ 2＋1. 对 q：方程 mx2－x＋m－4＝0 有一正根和一负根， ∴令 f(x)＝mx2－x＋m－4， ∴Error!或Error!解得 0＜m＜4. 又∵¬ p 为真，∴p 假． 又∵p∨q 为真，∴q 为真． 由数轴可得 2＋1≤m＜4. 故 m 的取值范围是 2＋1≤m＜4. 19．（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系． 设 ， 则 ， ， 于是， ， ， 则 ， 所以 ．………………6 分 （Ⅱ）若 ，则 ， ， 设平面 的法向量为 ， 由 ，得： ，令 ，则 ， 于是 ，而 设 与平面 所成角为 ，所以 ， 所以 与平面 所成角 为 ． 20.解：(1)由 a1＝10，a2 为整数知，等差数列{an}的公差 d 为整数． 又 Sn≤S4，故 a4≥0，a5≤0， 于是 10＋3d≥0，10＋4d≤0， 解得－ 10 3 ≤d≤－ 5 2， 因此 d＝－3. 故数列{an}的通项公式为 an＝13－3n. (2)bn＝ 1 （13－3n）（10－3n）＝ 1 3( 1 10－3n－ 1 13－3n).于是 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ 1 3(1 7－ 1 10) ＋(1 4－ 1 7 )＋…＋( 1 10－3n－ 1 13－3n)＝ 1 3( 1 10－3n－ 1 10)＝ n 10（10－3n）. 2== ABAP aBE = ），，（ 000A ），，（），，，（），，，（ 110200020 FPB ），，（ 02aE )2,2,( −= aPE )1,1,0(=AF 0=⋅ AFPE AF PE⊥ ABBEBC 322 == )0,0,34(D ),2,0,34( −=PD )2,2,32( −=PE PDE ),,( zyxn =    =⋅ =⋅ 0 0 PEn PDn    =−+ =− 02232 0234 zyx zx 1=x 3,32 == yz )32,3,1(=n )2,0,0(=AP AP PDE θ 2 3 |||| ||sin =⋅= APn APnθ AP PDE θ 60 21．解：(1)设 F(c，0)，由条件知， 2 c＝ 2 3 3 ，得 c＝ 3. 又 c a＝ 3 2 ，所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故 E 的方程为 x2 4 ＋y2＝1. (2)当 l⊥x 轴时不合题意， 故可设 l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 将 y＝kx－2 代入 x2 4 ＋y2＝1 得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0， 当 Δ＝16(4k2－3)>0，即 k2> 3 4时， x1，2＝ 8k ± 2 4k2－3 4k2＋1 ， 从而|PQ|＝ k2＋1|x1－x2| ＝ 4 k2＋1· 4k2－3 4k2＋1 . 又点 O 到直线 l 的距离 d＝ 2 k2＋1. 所以△OPQ 的面积 S△OPQ＝ 1 2d·|PQ|＝ 4 4k2－3 4k2＋1 . 设 4k2－3＝t，则 t>0，S△OPQ＝ 4t t2＋4＝ 4 t＋ 4 t . 因为 t＋ 4 t≥4，当且仅当 t＝2，即 k＝± 7 2 时等号成立，满足 Δ>0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，k＝± 7 2 ，l 的方程为 y＝ 7 2 x－2 或 y＝－ 7 2 x－2. 22 ． （ 1 ） ； （ 2 ） ； （ 3 ） 见 解 析min( ) ln 1f x a a a= − − 1=a