2018-2019学年福建省八县（市）一中高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年福建省八县（市）一中高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省八县（市）一中高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若命题p为：为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 根据的构成方法得，为.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.‎ ‎2．已知抛物线，则它的焦点到准线的距离为().‎ A．4 B．8 C．16 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由抛物线的标准方程利用抛物线的简单性质可求得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：∵y2＝2px＝8x，‎ ‎∴p＝4，‎ ‎∴抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是4．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程与抛物线的简单性质，属于基础题．‎ ‎3．曲线在处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为().‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】要求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x＝0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．‎ ‎【详解】‎ 解：依题意得y′＝ex，‎ 因此曲线y＝ex在点（0，1）处的切线的斜率等于1，‎ 相应的切线方程是y＝x+1，‎ 当x＝0时，y＝1；‎ 即y＝0时，x＝﹣1，‎ 即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：‎ S1×1．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎4．已知双曲线的左焦点为,则().‎ A．9 B．3 C．16 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用双曲线基本量满足勾股定理即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 解：∵双曲线的左焦点为F1（﹣5，0），‎ ‎∴25﹣m2＝9，‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴m＝4，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单几何性质，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5．动点在圆上移动，过点作轴的垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程是().‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设出M（x0，y0），P（x，y），D（x0，0），由中点坐标公式把M的坐标用P的坐标表示，代入圆的方程得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：设线段中点为P 设M（x0，y0），D（x0，0），‎ ‎∵P是的中点，‎ ‎∴，‎ 又M在圆上，‎ ‎∴x02+y02＝25，即x2+4y2＝25， ．‎ ‎∴线段的中点P的轨迹方程是： ．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法求曲线的轨迹方程，是中档题．‎ ‎6．已知数列的前项和为，且，则()．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据a1＝S1，＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求出数列的通项公式，再将n＝5代入可求出所求．‎ ‎【详解】‎ 当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，∴a1＝1．‎ 当n＞1时，Sn＝，∴Sn﹣1＝2an﹣1+1，‎ ‎∴Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，‎ ‎∴an＝2an﹣2an﹣1，‎ ‎∴an＝2an﹣1，‎ ‎∴2，‎ ‎∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝-2n﹣1，n∈N．‎ ‎∴a5＝-25﹣1＝-16．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.‎ ‎7．已知定义在上的函数,其导函数的大致图像如图所示,则下列叙述正确的是().‎ ‎（1）‎ ‎（2）函数在上递增，在上递减 ‎（3）的极值点为c，e ‎（4）的极大值为 ‎ A．(1)(2) B．(2)(3) C．(3) D．(1)(4)‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据导数与函数单调性的关系及所给图象可得f（x）的单调性，判断函数的极值即可．‎ ‎【详解】‎ 由导数与函数单调性的关系知，当f′（x）＞0时f（x）递增，f′（x）＜0时f（x）递减，‎ 结合所给图象知，x∈（a，c）时，f′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在（a，c）上单调递增，‎ x∈（c，e）时，f′（x）＜0，‎ ‎∴f（x）在（c，e）上单调递减，‎ 函数f（x）在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值；‎ ‎∴的极值点为c，e，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论 ‎（1）若在内，则在上单调递增（减）．‎ ‎（2）在上单调递增（减） （）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）‎ ‎（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．（不要加上等号．）‎ ‎8．已知椭圆的左、右焦点为,离心率为,过的直线交于两点，若的周长为,则的值为().‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由e，4a＝4，b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2，C的短轴长2b＝2．‎ ‎【详解】‎ 解：由椭圆的离心率e，‎ 若△ABF1的周长为4，4a＝4，‎ ‎∴a，c＝1，‎ 由b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2，‎ b，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单几何性质，离心率公式，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎9．已知，则的大小关系是().‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】对m变形为基本不等式的形式，利用基本不等式求m的最小值；‎ 对n利用指数函数的单调性判断与m最小值的关系．‎ ‎【详解】‎ 解：因为x＞2，所以x﹣2＞0，‎ 所以，‎ 当且仅当，即x＝3时等号成立．‎ 因为2﹣x2＜2，所以，所以m＞n；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎10．若函数在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，2) B．(－∞，2] C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，‎ 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，‎ 即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．‎ 令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，‎ ‎∴当x＞2时，g′(x)＞0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴m≤2＋＝，故选D.‎ ‎11．若点O和点F分别为椭圆的中心和焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由椭圆的参数方程先设点P坐标，再由向量数量积的坐标运算表示出，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为点P为椭圆上的任意一点，所以设点P坐标为，又点F为椭圆的焦点，不妨令,所以，，所以，当且仅当时，取最小值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量数量积的坐标运算，属于常考题型.‎ ‎12．设函数，的导函数为，且满足，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．不能确定与的大小 ‎【答案】B ‎【解析】令g（x）=，求出g（x）的导数，得到函数g（x）的单调性，‎ ‎【详解】‎ 令g（x）=，‎ 则g′（x）==，‎ ‎∵xf′（x）<3f（x），即xf′（x）﹣3f（x）<0，‎ ‎∴g′（x）<0在（0，+∞）恒成立，故g（x）在（0，+∞）递减，‎ ‎∴g（）>g（），即>，则有 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造g（x）=，求出g（x）的导数，得到函数g（x）的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知,求__________.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】求出函数的f（x）的导数f′（x），代入即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：函数的f（x）的导数f′（x）＝12cosx，‎ 则f′（0）＝12cos0＝12＝1，‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．‎ ‎14．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点,且,则 ‎__________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】利用抛物线定义可知：，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 解：∵直线l过抛物线x2＝6y的焦点，‎ ‎∴线段AB的长是+3，‎ 又 ‎∴‎ 故答案为：9．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线弦长的求法，考查了抛物线定义，考查了转化思想，属于基础题.‎ ‎15．已知实数满足不等式组,则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出约束条件表示的可行域，类比斜率公式，即可得出z的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：作出可行域如图：‎ 由可知z示点P（1，）与可行域内的点（x，y）连线的斜率．‎ 联立方程组得B（﹣3，2）．∴zmin＝．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了简单的线性规划，理解z的几何意义是解题的关键，属于中档题．‎ ‎16．已知双曲线的右焦点为F，过F的直线交双曲线的渐近线于A、B两点，且直线的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若则该双曲线的离心率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．‎ ‎【详解】‎ 解：双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x，‎ ‎∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，‎ ‎∴kl，‎ ‎∴直线l的方程为y（x﹣c），‎ 与y＝±x联立，可得y或y，‎ ‎∵，‎ ‎∴•，‎ ‎∴，‎ ‎∴e．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．‎ 三、解答题 ‎17．已知命题p：实数x满足，其中；和命题q：实数x满足.‎ ‎(1)若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎(2)若-p是-q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意求解对数不等式和二次不等式可得： , ；结合题意可得2 ‎ ‎(2)由题意可得, ，且q是p的充分不必要条件，利用子集关系得到关于实数a的不等式组，解不等式组可得实数a的取值范围是 .‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，命题即： ，求解一元二次不等式可得： ,‎ 命题即： ，求对数不等式可得；‎ ‎∵p∧q为真.∴2 ‎ ‎（2）, ‎ ‎∵-p是-q的充分不必要条件，‎ ‎∴q是p的充分不必要条件，‎ ‎∴（2,3]⊊ (a,3a)‎ ‎∴ 即 .‎ ‎18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若A为锐角，，的面积为，求的周长．‎ ‎【答案】（1）或； （2） .‎ ‎【解析】(1)由正弦定理将边化为对应角的正弦值，即可求出结果；‎ ‎(2)由余弦定理和三角形的面积公式联立，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（I） ‎ 由正弦定理得，‎ ‎ 4分，即又， 或。‎ ‎（II），由余弦定理得，‎ 即 ，‎ 而的面积为 。‎ ‎ 的周长为5+。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题型.‎ ‎19．已知抛物线过点.‎ ‎(1)求抛物线的方程，并求其准线方程．‎ ‎(2)若平行于(为坐标原点)的直线与抛物线有公共点,且直线与的距离等于，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】（1）将代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程；‎ ‎（2）设平行于的直线方程为判断直线与抛物线的位置关系，利用平行直线间距离得到t值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）将代入，得， 所以. ‎ 故所求的抛物线C的方程为，其准线方程为. ‎ ‎（2）设平行于的直线方程为 ‎ 由得 ‎ 因为直线与抛物线有公共点,‎ 所以，解得. ‎ 另一方面，由直线与的距离等于2, ‎ 可得，解得. ‎ 因为，,‎ 所以直线方程为:‎ ‎【点睛】‎ 本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想．‎ ‎20．设函数在及时取得极值．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数在的最大值与最小值的差．‎ ‎【答案】（1）；（2）9.‎ ‎【解析】（1）根据题意由，求解即可；‎ ‎（2）求函数导数，分析函数的单调性即可得最值，从而得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）， ‎ 因为函数在及取得极值，则有，．‎ 即 ‎ 解得，．‎ 经检验满足题意.‎ ‎（2）由（1）可知，，‎ ‎．‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增． ‎ 所以，当时，取得极大值；当时，‎ 取得极小值，又，．‎ 则当时，的最大值为，的最小值为．‎ 故函数在的最大值与最小值的差为9．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的极值和最值，属于基础题.‎ ‎21．已知椭圆的左焦点为,过点做轴的垂线交椭圆于两点,且.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若为椭圆短轴的上顶点，直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为，问：直线是否过定点？若是，求出这个定点，否则说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）过定点（2，-1）‎ ‎【解析】（1）根据题意，分析可得c的值，进而分析可得 ‎，由椭圆的几何性质分析可得a、b的值，代入椭圆的方程即可得答案；‎ ‎（2）对直线斜率分类讨论，当斜率存在时，利用韦达定理表示斜率和为，得到变量间的关系，即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 解：(1)由题意可知，‎ 令，代入椭圆可得， ‎ ‎ ‎ 又，‎ 两式联立解得：， ‎ ‎；‎ ‎(2)①当斜率不存在时，设，‎ ‎，‎ 得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题意.‎ ‎②当斜率存在时，设，‎ ‎，‎ 联立，‎ 整理得， ，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ，，此时，存在使得成立．‎ ‎∴直线的方程为，即，‎ 当，时，上式恒成立，‎ 所以过定点．‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中定点问题的常见解法 ‎（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；‎ ‎（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．‎ ‎22．设函数,曲线在点处的切线与直线垂直.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)求证:‎ ‎【答案】（1） （2）详见解析 ‎【解析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求y＝f（x）的解析式；‎ ‎（2）要证，转证函数的最小值大于零即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）函数的定义域是： ‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴，‎ ‎ 因为切线与直线垂直，‎ 所以，即 ‎ 则的解析式为.‎ ‎（2）由（1）知,，‎ 又∵在内单调递增， ‎ 且 ‎∴存在使得. ‎ 当时，，当时，‎ ‎∴. ‎ ‎ 由得 ‎∴.‎ 令，则 ‎ ‎ ∴在区间内单调递减，所以 ‎∴.‎ 综上，对任意，.‎ ‎【点睛】‎ 用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎