唐山市2019－2020学年度高三摸底考试数学（文科）试卷答案

唐山市2019－2020学年度高三摸底考试数学（文科）试卷答案

唐山市 2019~2020 学年度高三年级摸底考试 文科数学参考答案 一．选择题： A 卷：DACBD CDCCB AA B 卷：DACBD ADCCB AC 二．填空题： （13）(2 5， 5)或(－2 5，－ 5) （14）0 （15） 3 3 （16）( 1 e，e) 三．解答题： 17．解： （1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于 B 选手所得分数的平均值；A 选手所 得分数比较集中，B 选手所得分数比较分散． …6 分 （2）A 选手直接晋级的概率更大． 用 CA 表示事件“A 选手直接晋级”，CB 表示事件“B 选手直接晋级”．由茎叶图得 P (CA)的估计值为(5＋3)÷20＝ 8 20＝ 2 5， P (CB)的估计值为(5＋2)÷20＝ 7 20， 所以，A 选手直接晋级的概率更大． …12 分 18．解： （1）由 S＝ 1 2bcsin A＝ 1 6b2tan A 得 3csin A＝btan A． 因为 tan A＝sin A cos A，所以 3csin A＝bsin A cos A ， 又因为 0＜A＜π，所以 sin A≠0， 因此 b＝3ccos A． …4 分 （2）由（1）得 b＝3ccos A＝3 5cos A，所以 2bccos A＝30cos 2A． …6 分 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以 8＝45cos 2A＋5－30cos 2A， 解得 cos 2A＝ 1 5， …10 分 因此 sin 2A＝ 4 5，即 tan 2A＝4． 由（1）得 cos A＞0，所以 tan A＞0， 故 tan A＝2． …12 分 19．解： （1）连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE． 由题意可知，PE＝EC，AO＝OC， ∴PA∥EO，又 PA平面 BED，EO平面 BED， ∴PA∥平面 BED． …4 分 （2）由 PD⊥底面 ABCD，得 PD⊥BC， 又由题意可知 CD⊥BC，且 PD∩CD＝D， ∴BC⊥平面 PCD，则 BC⊥DE． 由 PE＝EC，PD＝DC，则 PC⊥DE，且 PC∩BC＝C， ∴DE⊥平面 PBC，所以∠DBE 即为直线 BD 与平面 PBC 所成的角． …8 分 设 AD＝x，在 Rt△DBE 中，DE＝ 2，BD＝ 4＋x2，则 sin∠DBE＝DE BD＝ 1 2，解得 x＝2． …10 分 ∴四棱锥 P−ABCD 的体积 V＝ 1 3×PD×S 矩形 ABCD＝ 8 3． …12 分 20．解： （1）设 A (x1，y1)，B (x2，y2)， 将 l 的方程代入 C 得：x2－12kx－48＝0， 所以 x1＋x2＝12k，x1x2＝－48，即 y1y2＝(x1x2) 2 122 ＝16， 从而 OA→• OB→＝x1x2＋y1y2＝－32． …6 分 （2）依题意得 F (0，3)，设 M (x3，y3)， 因为 F 为△ABM 的重心，所以 x1＋x2＋x3＝0，y1＋y2＋y3＝9， 从而 x3＝－(x1＋x2)＝－12k， y3＝9－(y1＋y2) ＝9－x21＋x22 12 ＝9－(x1＋x2)2－2x1x2 12 ＝1－12k2． …10 分 因为 M (x3，y3)在抛物线 C 上， 所以(－12k)2＝12(1－12k2)，即 k2＝ 1 24． 故 k＝ 6 12或－ 6 12． …12 分 21．解： （1）由 f ( π 2)＝aπ 2 ＝ π 2得 a＝1． …2 分 f'(x)＝xcos x＋(1－b)sin x， 由 f'( π 2)＝1－b＝0 得 b＝1． 所以 f (x)＝xsin x＋cos x． …4 分 （2）令 g (x)＝mx2＋1－f (x)＝mx2－xsin x－cos x＋1， A B C E D P O 由 g (x)≥0 得 g (2π)＝4π2m≥0，所以 m≥0． 显然 g (x)为偶函数，所以只需 x≥0 时，g (x)≥0． …6 分 g'(x)＝2mx－xcos x＝x(2m－cos x)， 当 m≥ 1 2时，g'(x)≥0，即 g (x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以 g (x)≥g (0)＝0， 从而 m≥ 1 2时，f (x)≤mx2＋1 成立． …8 分 当 0≤m＜ 1 2时，因为 y＝2m－cos x 在(0， π 2)上单调递增， 又 x＝0 时，y＝2m－1＜0；x＝ π 2时，y＝2m≥0， 所以存在 x0∈(0， π 2]，使得 2m－cos x0＝0， 因此 x∈(0，x0)时，2m－cos x＜0，g'(x)＜0，即 g (x)在(0，x0)上单调递减， 所以 x∈(0，x0)时，g (x)＜g (0)＝0，与 g (x)≥0 矛盾， 因此 0≤m＜ 1 2时不成立． 综上，满足题设的 m 的取值范围是 m≥ 1 2． …12 分 22．解： （1）由圆 C：ρ＝4cos θ 可得 ρ2＝4ρcos θ， 因为 x＝ρcosθ，ρ2＝x2＋y2， 所以 x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4． 直线 l：   x＝－1＋tcosα， y＝－3 3＋tsinα（t 为参数，0≤α＜π）． …5 分 （2）设 A，B 对应的参数分别为 tA，tB， 将直线 l 的方程代入 C 并整理，得 t2－6t( 3sinα＋cos α)＋32＝0， 所以 tA＋tB＝6( 3sinα＋cos α)，tA·tB＝32． 又 A 为 MB 的中点，所以 tB＝2tA， 因此 tA＝2( 3sinα＋cos α)＝4sin(α＋ π 6)，tB＝8sin(α＋ π 6)， …8 分 所以 tA·tB＝32sin2(α＋ π 6)＝32，即 sin2(α＋ π 6)＝1． 因为 0≤α＜π，所以 π 6≤α＋ π 6＜7π 6 ， 从而 α＋ π 6＝ π 2，即 α＝ π 3． …10 分 23．解： （1）f (x)＝  －3x， x＜－1， －x＋2，－1≤x≤ 1 2， 3x， x＞ 1 2． …3 分 y＝f (x)的图象如图所示： …5 分 （2）一方面，由 f (x)≤m|x|＋n 得 f (0)≤n，解得 n≥2． 因为 f (x)≥|(2x－1)＋(x＋1)|＝3|x|，所以 m|x|＋n≥3|x|．（※） 若 m≥3，（※）式明显成立；若 m＜3，则当|x|＞ n 3－m时，（※）式不成立． …8 分 另一方面，由图可知，当 m≥3，且 n≥2 时，f (x)≤m|x|＋n． 故当且仅当 m≥3，且 n≥2 时，f (x)≤m|x|＋n． 因此 m＋n 的最小值为 5． …10 分 x y O 1 1