数学（理）卷·2017届四川省龙泉中学高三毕业班考前模拟考试（2017

数学（理）卷·2017届四川省龙泉中学高三毕业班考前模拟考试（2017

成都龙泉中学高2014级高考模拟试题 数 学（理工类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。满分150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题，满分60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。‎ ‎2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎3．考试结束后，将答题卡收回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若集合，集合,则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则||的最大值是 A． 1 B． 2 C． D．‎ ‎3．执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于 ‎ A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]‎ ‎4.若tanα＝，则cos2α＋2sin 2α等于 ‎ A． B． C． 1 D．‎ ‎5. 若函数在上可导，且满足 ，则 A. B. C. D.‎ ‎6.设△ABC的三个内角为A，B，C，且tan A，tan B，tan C，2tan B依次成等差数列，则sin 2B＝‎ A.1 B.－ C. D.± ‎7.实数满足，则 的最小值为 ‎ ‎ A. B . C. D. ‎ ‎8.某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是 ‎ A.24 B.32 C.48 D. 84‎ ‎9. 图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎11.一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是 ‎ ‎ A.16π B.20π C.24π D.32π ‎12.已知圆O的方程为 x2＋y2＝9，若抛物线C过点A(－1，0)，B(1，0)，且以圆O的切线为准线，则抛物线C的焦点F的轨迹方程为 A.－＝1(x≠0) B.＋＝1(x≠0) C.－＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)‎ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题（每空4分，共20分）‎ ‎13.已知抛物线的参数方程为（t为参数），焦点为F,直线 与该抛物线交于A,B两点，则的面积为 .‎ ‎14.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：‎ ‎ 规格类型 钢板类型 A规格 B规格 C规格 第一种钢板 ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 第二种钢板 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，为得到所需A、B、C三种规格的成品，且使所用钢板张数最少，则第一种钢板、第二种钢板分别截___________块，‎ 15. 双曲线﹣y2=1的渐近线方程是　 　．‎ ‎16.设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.‎ 若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是__ __．(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①x∈(－∞，1)，f(x)>0；‎ ‎②x0∈R，使ax0，bx0，cx0不能构成一个三角形的三条边长；‎ ‎③若△ABC为钝角三角形，则x0∈(1，2)，使f(x0)＝0；‎ ‎④若△ABC为直角三角形，对于n∈N*，f(2n)>0恒成立．‎ 三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎17.(本小题满分12分）在中，所对边长分别为，‎ 已知，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎18.（本小题满分12分）已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》.活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败.设男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是.‎ ‎（Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；‎ ‎（Ⅱ）设表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量的分布列和期望.‎ ‎19. （本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面平面，，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎20．(本题满分12分)已知椭圆，直线经过的右顶点和上顶点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的 直线交椭圆于两点. 设直线和的斜率为.‎ ‎①求证: 为定值；②求的面积的最大值.‎ ‎21．（本小题满分12分）设函数，（）.‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数. 在以坐标原点为极点, ‎ 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 ‎(1) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.‎ ‎23.（本题满分10））选修4—5：不等式选讲 设．‎ ‎（1）求的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．‎ 成都龙泉中学高2014级高考模拟试题 数学（理工类）参考答案 ‎1—5 CCABA 6—10 CBADC 11—12 CD ‎ ‎13.25 14. 3、9或4、8 15. 16.①②③‎ ‎17.解：（1）， ‎ ‎………2分 由正弦定理得………4分 ‎ ………5分 ………6分 ‎ ‎（2）由（1）及余弦定理得，‎ 得 即………8分 又，解得………9分 ‎ ‎ ………11分 的面积………12分 ‎18.【解】（Ⅰ）记“男生甲闯关失败”为事件，则“男生甲闯关成功”为事件，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）记“一位女生闯关成功”为事件，则，‎ 随机变量的所有可能取值为.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，.‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴‎ ‎19.（1）如图，连接交于点，‎ ‎∵，即为等腰三角形，‎ 又平分，‎ 故，‎ ‎∵平面底面，平面底面，‎ ‎∴平面，因平面，‎ 所以.‎ ‎（2）作于点，则底面，，‎ 以为坐标原点的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，‎ 则，而，‎ 得，又，‎ 故，，，，‎ 由，得，故，‎ 所以，，，‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ 由，得，因此可取 由，得，因此可取，‎ 从而法向量的夹角的余弦值为，‎ 由图可知二面角是钝角，‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎20. （1）；(2)①见解析；②．‎ ‎【解析】(1) 在方程中，令，则，所以上顶点的坐标为，所以；令，则，所以右顶点的坐标为，所以，‎ 所以，椭圆的方程为.．．．．．．．．．．4分 ‎(2) ①设直线的方程为.代入椭圆方程得.设，则，‎ 所以为定值．.．．．．．．．．．．8分 ‎②因为直线过点，设直线的方程为，即代入椭圆方程得.由判别式解得.‎ 点到直线 的距离为 ，则，‎ 令，则，所以时，的最大值为..．．．．．．．．．．12分 ‎21.解：（1）因为，‎ 所以（），-------------2分 ‎①当时，由，解得；-------------3分 ‎②当时，由，解得；-------------4分 ‎③当时，由，解得；-------------5分 综上所述，当时，的增区间为；‎ 时，的增区间为. -------------6分 ‎（2）方法一：当时，，，‎ 所以单调递增，‎ ‎，，-------7分 所以存在唯一，使得，即，-------------8分 当时，，当时，，‎ 所以，---------10分 记函数，则在上单调递增， ‎ 所以，即，-------------11分 由，且为整数，得， ‎ 所以存在整数满足题意，且的最小值为. -------------12分 ‎ 方法二：当时，，所以，‎ 由得，当时，不等式有解， -------------7分 ‎ 下证：当时，恒成立，即证恒成立.‎ 显然当时，不等式恒成立，‎ 只需证明当时，恒成立. -------------8分 即证明.令， ‎ 所以，由，得， ‎ 当，；当，；-------------10分 所以.‎ 所以当时，恒成立.‎ 综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为. -------------12分 22.(1) 由 消去得, ………………………………………1分 ‎ 所以直线的普通方程为. ………………………………………2分 ‎ 由, ……3分 ‎ 得. ………………………………………4分 ‎ 将代入上式,‎ ‎ 得曲线的直角坐标方程为, 即. ………5分 ‎ (2) 设曲线上的点为, ………………………………6分 则点到直线的距离为…………………………7分 ‎………………………………………8分 ‎ 当时, , ………………………………………9分 ‎ 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.………………………………10分 ‎23.（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）分类讨论解不等式；（2）利用绝对值三角不等式求出的最大值,恒成立等价为,去掉绝对值,求出的范围．‎ 试题解析：（1）由得：‎ 或或 解得 ‎∴的解集为．‎ ‎（2）‎ 当且仅当时，取等号．‎ 由不等式对任意实数恒成立，可得，‎ 解得：或．‎ 故实数的取值范围是．‎