吉林省长春市第六中学2019-2020学年高二上学期第二学程测试数学（理）试卷

吉林省长春市第六中学2019-2020学年高二上学期第二学程测试数学（理）试卷

数学试卷 x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎1‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ 一、选择题（12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1．已知x与y之间的几组数据如下表：‎ 则y与x的线性回归直线必过点(　　)‎ A.(0，1) B.(1，4) C.(2，5) D.(5，9)‎ ‎2．命题p：，，则（ ）‎ A．p是假命题；:，B．p是假命题；:，‎ C．p是真命题；:，D．p是真命题；:，‎ ‎3．已知命题“”是假命题，给出下列四个结论：‎ ‎①命题“”是真命题； ②命题“”是假命题；③命题“”是假命题； ④命题“”是真命题.其中正确的结论为（ ）‎ A、①③ B、②③ C、①④ D、②④‎ ‎4．，的一个必要条件是( )‎ A. B. C. D.‎ 不喜欢 喜欢 男性青年观众 ‎30‎ ‎10‎ 女性青年观众 ‎30‎ ‎50‎ ‎5．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则（ ）‎ A．12 B．16 C．24 D．32‎ ‎6．某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（ ）．‎ A. B. C. D.‎ ‎7．如图所示是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的6场比赛得分的茎叶图，分别表示甲、乙两名运动员这个赛季得分的标准差，分别表示甲、乙两名运动员这个赛季得分的平均数，则有（ ）‎ A． ，B． ，C． ， D． ，‎ ‎8．如图是某校高三（1）班上学期期末数学考试成绩整理得到的频率分布直方图，由此估计该班学生成绩的众数、中位数分别为（ ）‎ A.， B.，‎ C.， D.，‎ ‎9．若实数，满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10．停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎11．已知分别为直线和曲线上的动点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知双曲线（，）的一条渐近线的方程是，它的一个焦点落在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（每题5分，4小题，共20分）‎ ‎13．现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有____种. ‎ ‎14．从5名男医生名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男女医生都有，则不同的组队方案共有______种 数字回答．‎ ‎15．点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为41，则的值等于______.‎ ‎16．设命题：“已知函数对一切，恒成立”，命题：“不等式有实数解”，若且为真命题，则实数的取值范围为________________．‎ 三、解答题（6大题，17题10分，18——22题每题12分，共70分）‎ ‎17．设命题:实数满足；命题：实数满足 ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若,且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎18．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数．满分为100分）．从中随机抽取一个容量为120的样本．发现所有数据均在内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题：（1）算出第三组的频数．并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）‎ ‎19．“精准扶贫”的重要思想最早在2013年11月提出，习近平到湘西考察时首次作出“实事求是，因地制宜，分类指导，精准扶贫”的重要指导。2015年习总书记在贵州调研时强调要科学谋划好“十三五”时期精准扶贫开发工作，确保贫困人口到2020年如期脱贫。某农科所实地考察，研究发现某贫困村适合种植A、B两种药材，可以通过种植这两种药材脱贫。通过大量考察研究得到如下统计数据：药材A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 单价(元/公斤)‎ ‎18‎ ‎20‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎29‎ 药材B的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：‎ ‎（1）若药材A的单价（单位：元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计2020年药材A的单价；‎ ‎（2）用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断2020年该村应种植药材A还是药材B？并说明理由. ‎ 附：，.‎ ‎20．如图，在四边形中，‎ ‎（1）求的正弦值；‎ ‎（2）若，且△的面积是△面积的4倍，求的长.‎ ‎21．已知点，，动点P满足．‎ 若点P轨迹为曲线C，求此曲线C的方程；已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且与中的曲线C只有一个公共点，求直线l的方程．‎ 22． 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线的准线上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程．‎ ‎（Ⅱ）点，在椭圆上，，是椭圆上位于直线两侧的动点．‎ （i） 若直线的斜率为，求四边形面积的最大值．‎ （ii） 当，运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．‎ 数学试卷答案 一、选择题（12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1．【答案】C【解】因为＝＝2，＝＝5，所以根据线性回归直线必过样本点的中心，可得＝x＋必过点(2，5)．故选C ‎2．【答案】C【解】因为命题p：，，成立，是真命题，那么根据 全称命题的否定式特称命题可知:，，故选C.‎ ‎3．【答案】C【解】由“”是假命题，则都为假命题，可知都为真命题．因而可知；①命题“”是真命题；④命题“”是真命题.正确．‎ ‎4．【答案】B【解】对于A：，推不出，即，A错误.对于B：，则，所以B选项正确.对于C: ，时,不恒成立，例如当a=-1，b=-2时不成立，所以C错误.对于D：，时, 不恒成立，例如当a=-2，b=-1时不成立，所以D错误.故选：B.‎ ‎5．【答案】C【解】依题意，总人数为，其中“不喜欢的男性青年观众”有人，故，解得.所以本小题选C. ‎ ‎6．【答案】B【解】由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%，故选：B．‎ ‎7．【答案】C【解】乙的得分都在分以上，且较甲集中， ，，选C.‎ ‎8．【答案】D【解】频率分布直方图中，考查最高的条形图可知该班学生成绩的众数为，设中位数为，由题意可得：，‎ 求解关于实数的方程可得：.综上可估计该班学生成绩的众数、中位数分别为，‎ ‎.本题选择D选项.‎ ‎9．【答案】C【解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数表示可行域内的点与点之间连线斜率的倍，观察可得，目标函数在点处取得最大值：‎ 在点处取得最小值：，‎ 故目标函数的取值范围是.本题选择C选项.‎ ‎10．【答案】D【解】剩余的4个空车位看作一个元素，则不同的停车方法有种 ‎11．【答案】C【解】，整理得即是圆心半径为1的圆，所以圆心到直线的距离所以的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即.故选C项.‎ ‎12．【答案】C【解】双曲线的一条渐近线的方程是，可得b=a，它的一个焦点落在抛物线y2=16x的准线上，可得c=4，即16=a2+b2，‎ a=2，b=2．所求的双曲线方程为：．故选：C．‎ 二、填空题（每题5分，4小题，共20分）‎ ‎13．【答案】180【解】根据题意，分4步进行分析：对于A部分，有5种颜色可选，即有5种情况；对于B部分，与A部分有公共边，有4种颜色可选，即有4种情况；‎ 对于C部分，与A、B部分都有公共边，有3种颜色可选，即有3种情况；‎ 对于D部分，与A、C部分都有公共边，有3种颜色可选，即有3种情况；‎ 则不同的着色方法有5×4×3×3=180种 ‎14．【答案】70【解】直接法：一男两女，有种，两男一女，有种，共计70种间接法：任意选取种，其中都是男医生有种，都是女医生有种，于是符合条件的有种．答案为：70．‎ ‎15．【答案】42或22【解】由题意，（1）当点在抛物线的内部或曲线上时，则满足，解得，过点点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，所以,当三点共线时，此时的距离最小，且最小值为，可得，解得；‎ ‎（2）当点在抛物线的外部时，则满足，解得，‎ 如图所示，当三点共线时，的距离最小，且最小值为，‎ 即，解得或（舍去），综上所述，实数的值等于42或22.故答案为：42或22.‎ ‎16．【答案】【解】命题为真命题时，在上恒成立，∴，即．命题为真命题时，．因为且为真命题，所以假真，即或，‎ ‎，故实数的取值范围是．‎ 三、解答题（6大题，17题10分，18——22题每题12分，共70分）‎ ‎17．解：（1）由得; ‎ 当时，，即P为真时，............................2分 由得，即，即q为真时，...................4分 因为为真，则p真q真，所以 ..............5分 ‎（2）由得；，又，所以m＜x＜3m,....6分 由得，即；..........................7分 设，‎ 若的充分不必要条件，则A是B 的真子集，...........................9分 所以即...........................10分 ‎18．【解】（1）因为各组的频率之和等于1，所以分数在内的频率为：‎ ‎.............2分 所以第三组的额数为（人）．............4分 完整的频率分布直方图如图．..............6分 ‎（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分．.............7分 由题得左边第一个矩形的面积为0.05，第二个矩形的面积为0.15,第三个矩形的面积为0.15,第四个矩形的面积为0.3，所以中位数在第四个矩形里面，设中位数为x,则0.05+0.15+0.15+(x-70)×0.03=0.5，‎ 所以x=75.所以中位数为75..............9分 又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：（分）．..............11分 所以样本的众数为75分，中位数为75分，平均数为73.5分．..............12分 ‎19．解:(1),.......................1分 ‎........3分 ‎5,..........................5分 当时，.........................6分 ‎(2)利用概率和为1得到430—450频率/组距为0.005，B药材的亩产量的平均值为:‎ ‎..........................8分 B药材产值为，..........................10分 故A药材产值为..........................11分 应该种植A种药材..........................12分 ‎20．【解】（1）在中，设，‎ 由余弦定理得 整理得，解得.所以 ..........................3分 由正弦定理得，解得..................6分 ‎（2）由已知得，所以，‎ 化简得 所以 于是..9分 因为，且为锐角，所以.‎ 代入计算因此..........................12分 ‎21．【解】设，点，，动点P满足．‎ ‎，..........................3分 整理得：，曲线C方程为．..........................6分 设直线l的横截距为a，则直线l的纵截距也为a，‎ 当时，直线l过，设直线方程为．把代入曲线C的方程，得：，，‎ 直线l与曲线C有两个公共点，已知矛盾；..........................8分 当时，直线方程为，把代入曲线C的方程，得：‎ ‎，直线l与曲线C只有一个公共点，，‎ 解得，..........................10分 直线l的方程为或．..........................12分 ‎22．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，∵ ‎ 椭圆的一个顶点恰好在抛物线的准线上，∴，即，..........................2分 又∵ ，，∴，，..........................4分 故椭圆的标准方程为．..........................5分 ‎（Ⅱ）（i）设，，直线的方程为，‎ 联立，得，‎ 由，计算得出，‎ ‎∴，，..........................7分 ‎∴ ，‎ ‎∴ 四边形的面积，‎ 当时，．..........................9分 ‎（ii）∵ ，则，的斜率互为相反数，可设直线的斜率为，‎ 则的斜率为，直线的方程为：，‎ 联立，得，‎ ‎∴，‎ 同理可得：，‎ ‎∴，，..........................11分 ‎，‎ ‎∴直线的斜率为定值．..........................12分