江苏省无锡市第一中学2012—2013学年度高三第一学期期中质量检测数学（文）试题

江苏省无锡市第一中学2012—2013学年度高三第一学期期中质量检测数学（文）试题

江苏省无锡市第一中学2012—2013学年度高三第一学期期中质量检测数学（文）试题 一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1．设全集，集合，，则________．‎ ‎2．已知是虚数单位，若，则______________．‎ ‎3．甲、乙、丙三人站成一排，其中甲、乙两人不排在一起的概率为______________．‎ ‎4．已知向量的夹角为，且，，则______________．‎ ‎5．在中，若，，，则的大小为______________．‎ ‎6．观察下列事实：的不同整数解的个数为4．的不同整数解的个数为8．……，则的不同整数解的个数为____________．‎ ‎7．已知，则______________．‎ ‎8．设，若直线：与轴交于点，与轴交于点，且与圆相交所得弦长为，为坐标原点，则面积的最小值为_________．‎ ‎9．将函数（）的图象向右平移个单位，所得图象经过点，则的最小值是______________．‎ ‎10．满足的函数的解析式可以是____________________．‎ ‎11．数列满足，则的前项的和为______________．‎ ‎12．不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是____________．‎ ‎13．设函数的最小值为，最大值为，则= __________．‎ ‎14．已知函数，若，且，则满足条件的点构成平面区域的面积为______________．‎ 二．解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（本题满分14分）‎ ‎ 已知集合，．‎ ‎ （1）若，求集合； （2）若，求实数的取值范围．‎ ‎16．（本题满分14分） ‎ 已知圆心为，半径为，弧度数为的圆弧上有两点，其中=（如图）．‎ ‎（1）若为圆弧的中点，在线段上运动，求的最小值；‎ ‎（2）若分别为线段的中点，当在圆弧上运动时，求的最大值．‎ ‎17．（本题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，已知定点，，半径为的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且在轴右侧，圆被轴截得的弦长为．‎ ‎（1）若为正常数，求圆的方程；‎ ‎（2）当变化时，是否存在定直线与圆相切？如果存在求出定直线的方程；如果不存在，请说明理由．‎ ‎18．（本题满分16分）‎ 如图，为一个等腰三角形，腰的长为（百米），底的长为（百米），现拟在该空地内筑一条笔直的小路（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形．设分割的四边形和三角形的周长相等，面积分别为．‎ ‎（1）若小路一端为的中点，求此时小路的长度．（如图一）‎ ‎（2）若点分别在两腰上，求的最小值．（如图二）‎ ‎19．（本题满分16分）‎ 设正项数列的前项和为，且，（），‎ ‎（1）求以及数列的通项公式；‎ ‎（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．‎ ‎（ⅰ）求证：（）；‎ ‎（ⅱ）求证：在数列中不存在三项成等比数列．（其中依次成等比数列）‎ ‎20．（本题满分16分）‎ 已知为实数，函数，，记．‎ ‎（1）若函数在点处的切线方程为，求的值；‎ ‎（2）若，求函数的最小值；‎ ‎（3）当时，解不等式．‎ 参考答案 ‎（注意个别题目答案有误）‎ ‎1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；‎ ‎10．（结果不唯一，比如：）；11．；12．；13．；14．；‎ ‎15．解：（1）由得集合；‎ ‎（2）当时，，符合题意，‎ 当时，有，，由得，所以，‎ 当时，有，，由得 ‎，所以，‎ 当时，不合题意，舍去，‎ 当时，有，，由得，无解，‎ 综上，实数的取值范围是．‎ ‎16．解：（ 1）设，则 ‎，所以当时，的最小值为；‎ ‎（2）以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，,设，则，，‎ 所以的最大值是．‎ ‎17．解：（1）设圆心，由题意可知 ‎，解得，所以圆的方程为 ‎；‎ ‎（2）圆心在直线上移动，且半径为，设直线：‎ 与圆相切，则，解得，所以不存在符合题意的定直线．‎ ‎18．解：（1）由题意知，点在底上，且，在中，由余弦定理，‎ 所以；‎ ‎（2）设，则，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，的最小值是．‎ ‎19．解：（1），由得，两式相减得，又，且，所以数列是等比数列，且，，；‎ ‎（2）（ⅰ）由题意可知，，通过错项相减求得；‎ ‎（ⅱ）假设数列中存在三项成等比数列，则，即，化简得 ‎20．解：（1），，所以的值为；‎ ‎（2）由得，当时，，在上单调递减，当时，，在 上单调递增，所以函数的最小值为；‎ ‎（3）当时，，即，‎ 设，则，，所以的单调递减区间是和，而当时，总有成立，所以不等式的解集是．‎