数学理卷·2019届云南民族大学附中高二上学期期末考试（2018-01）
[考试时间：2018年1月30日 8:00至10:00]
云南民族大学附属中学
2017年秋季学期期末考试高二数学试卷（理）
（考试时间 120 分钟 ， 满分 120 分）
命题人： 审题人：
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A＝{(x，y)|y2
0)的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
9．若是正实数，函数在上是增函数，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
10．已知梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，若P是DC的中点，则|＋2|＝( )
A. B．2 C．4 D．5
11．已知椭圆D：＋＝1(a>b>0)的长轴端点与焦点分别为双曲线E的焦点与实轴端点，若椭圆D与双曲线E的一个交点在直线y＝2x上，则椭圆D的离心率为( )【来源：全,品…中&高*考+网】
A. －1 B.－ C. D.
12．如图所示，点O为正方体ABCD A′B′C′D′的中心，点E为棱B′B的中点，若AB＝1，则下列叙述正确的是( )
A．直线AC与直线EC′所成的角为45°
B．点E到平面OCD′的距离为
C．直线A′B′与直线AC所成的角为60°
D．过点O，E，C的平面截正方体所得截面为菱形
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．(1－x)8的展开式中x6项的系数为________．
14．过三点A(1，3),B（4,2），C（1，-7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=_____．
15．对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项为，则数列的前项和＝________．
16．点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知Sn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an.
(1)若是等差数列，且S1＝5，S2＝18，求an；
(2)若是等比数列，且S1＝3，S2＝15，求Sn.
18． (本小题满分12分)
在中，的角平分线与边相交于点，且
.
(Ⅰ)求的长及的值；
（Ⅱ）求的长．
19．(本小题满分12分)
某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动，规则是每邀请一位好友在该平台注册，并购买至少1万元的12月定期，邀请人可获得现金及红包奖励，现金奖励为被邀请人理财金额的1%，且每邀请一位最高现金奖励为300元，红包奖励为每邀请一位奖励50元．假设甲邀请到乙、丙两人，且乙、丙两人同意在该平台注册，并进行理财，乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如下表：
理财金额
1万元
2万元
3万元
乙理财相应金额的概率
丙理财相应金额的概率
(1)求乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率；
(2)若甲获得奖励为X元，求X的分布列与数学期望．
20．(本小题满分12分)
如图所示，PA与四边形ABCD所在平面垂直，且PA＝BC＝CD＝BD，AB＝AD，PD⊥DC.
(1)求证：AB⊥BC；
(2)若PA＝，E为PC的中点，设直线PD与平面BDE所成角为θ，求sinθ.
21．(本小题满分12分)
已知函数f＝.
(1)若对任意x>0，f<0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若函数f有两个不同的零点，求实数a的取值范围。
22．(本小题满分12分)
已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点．
(1)若原点为O，求△OAB面积的最小值；
(2)过A，B作抛物线E的切线，分别为l1，l2，若l1与l2交于点P，当l变动时，求点P的轨迹方程．
理科答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5【来源：全,品…中&高*考+网】
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
A
B
D
D
C
A
A
B
D
二、填空题
13、 28 14、 15、 16、
17．解：(1)设数列的公差为d，则S1＝a1＝5，S2＝2a1＋a2＝10＋a2＝18，所以a2＝8，d＝a2－a1＝3，an＝5＋3＝3n＋2.4分
(2)设数列的公比为q，则S1＝a1＝3，S2＝2a1＋a2＝6＋a2＝15，
所以a2＝9，q＝＝3，an＝3×3n－1＝3n，8分
所以Sn＝n×3＋×32＋…＋2×3n－1＋3n①，
3Sn＝n×32＋×33＋…＋2×3n＋3n＋1②，
②－①，得2Sn＝－3n＋(32＋33＋…＋3n)＋3n＋1＝－3n＋＋3n＋1＝－3n－＋＋3n＋1＝，所以Sn＝.12分【来源：全,品…中&高*考+网】
18、（1），（2）
19．解：(1)设乙、丙理财金额分别为ξ万元、η万元，则乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率为P(ξ＋η≥5)＝PP＋PP＋PP＝×＋×＋×＝.4分
(2)X的所有可能的取值为300，400，500，600，700.
P＝PP＝×＝，
P＝PP＋P(ξ＝2)P(η＝1)＝×＋×＝，
P＝PP＋P(ξ＝3)·P(η＝1)＋PP＝×＋×＋×＝，
P＝PP＋P(ξ＝3)P(η＝2)＝×＋×＝，
P＝P(ξ＝3)P(η＝3)＝×＝，
所以X的分布列为
X
300
400
500
600
700
P
【来源：全,品…中&高*考+网】
10分
E(X)＝300×＋400×＋500×＋600×＋700×＝.12分
20．解：(1)证明：由PA⊥平面ABCD，AB＝AD，可得PB＝PD，
又BC＝CD，PC＝PC，所以△PBC≌△PDC，所以∠PBC＝∠PDC.
因为PD⊥DC，所以PB⊥BC.3分
因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以PA⊥BC.
又PA∩PB＝P，所以BC⊥平面PAB.
因为AB⊂平面PAB，所以AB⊥BC.5分
(2)由BD＝BC＝CD，AB⊥BC，可得∠ABD＝30°，
又已知AB＝AD，BD＝PA＝，所以AB＝1.
如图所示，分别以BC，BA所在直线为x，y轴，过B且平行于PA的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，P(0，1，)，C(，0，0)，E（，，），D（，，0），所以＝（，，－)，＝(，，)，＝(，，0).
设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，8分
则即取z＝－2，得n＝(3，－，－2)，10分
所以sin θ＝＝
＝.12分
21、（1）由f＝＝＋a＋，得f′＝－＝－，2分
所以f在上单调递增，在上单调递减，所以f≤f＝a＋1，所以a＋1<0，所以实数a的取值范围是.4分
(2)
22、解：(1)由题意可知，F(0，1)，且直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋1，
联立 ⇒x2－4kx－4＝0.2分
设A，B，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，4分
所以S△AOB＝＝＝＝≥2，
当k＝0时，△OAB的面积最小，最小值为2 .6分
(2)由x2＝4y，得y＝，y′＝，所以l1的方程为y－ ＝ ，即y ＝ －.①
同理可得l2的方程为y ＝ －.②9分
联立①②，得x＝＝2k，y＝－＝－＝＝－1，
所以点P的坐标为，
因为k∈R，所以点P的轨迹方程为y＝－1. 12分
