2018-2019学年山西省忻州市第一中学高二下学期第三次月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年山西省忻州市第一中学高二下学期第三次月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 山西省忻州市第一中学2018-2019学年高二下学期第三次月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，若，则实数的值为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 就和分类讨论即可.‎ ‎【详解】‎ 因为当时，，满足；当时，，若，所以或.综上，的值为0或1或2.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的包含关系，属于基础题，解题时注意利用集合中元素的性质（如互异性、确定性、无序性）合理分类讨论.‎ ‎2．复数（为虚数单位）的虚部是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法可得后，从而可得其虚部.‎ ‎【详解】‎ ‎，所以复数的虚部是.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法及其复数的概念，注意复数的虚部是，不是，这是复数概念中的易错题.‎ ‎3．“，”是“双曲线的离心率为”的（ ）‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，计算可得离心率为，但是离心率为时，我们只能得到，故可得两者之间的条件关系.‎ ‎【详解】‎ 当时，双曲线化为标准方程是，‎ 其离心率是；‎ 但当双曲线的离心率为时，‎ 即的离心率为，则，得，‎ 所以不一定非要.‎ 故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.‎ ‎4．‎ 某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（ ）‎ A．0.5 B．0.48 C．0.4 D．0.32‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可求“其中一名同学得2分”的概率.‎ ‎【详解】‎ 设“第一次投进球”为事件，“第二次投进球”为事件，则得2分的概率为.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系.‎ ‎5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两），问玉、石重各几何?”其意思：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（ ）‎ A．96,80 B．100,76 C．98,78 D．94,82‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 流程图的作用是求出的一个解，其中且为偶数，逐个计算可得输出值.‎ ‎【详解】‎ 执行程序：，，故输出的分别为98,78.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查算法中的循环结构、选择结构，读懂流程图的作用是关键，此类题是基础题.‎ ‎6．展开式中，含项的系数为（ ）‎ A．45 B．30 C．75 D．60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑展开式中及系数可得所求的系数.‎ ‎【详解】‎ 在中，，因此展开式项的系数是.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求．‎ ‎7．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是 （是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）‎ A．8万斤 B．6万斤 C．3万斤 D．5万斤 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 销售的利润为，利用可得，再利用导数确定函数的单调性后可得利润的最大值.‎ ‎【详解】‎ 设销售的利润为，由题意，得， ‎ 即，当时，，解得，‎ 故，‎ 当时，，当时，，所以 函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，利润最大，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．‎ ‎8．如图所示是一个几何的三视图，则其表面积为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积.‎ ‎【详解】‎ 将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥，‎ 其中是棱长为4的正方体的顶点，为正方体的底面中心，注意到所以，，，因此该三棱锥的表面积等于.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．‎ ‎9．在钝角中，角所对的边分别为，且，已知，，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理可得，再利用二倍角公式可求，再利用余弦定理求出后可求的面积.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理，得，由，得（舍），‎ 由余弦定理，得 ‎，‎ 即，解得.‎ 由，得，所以的面积，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.‎ ‎10．函数的图象是由函数的图像向左平移个单位得到的，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把的图像向左平移个单位后得到的图像，化简后可得的值，利用两角和的余弦和正弦展开后可得的值.‎ ‎【详解】‎ 把的图像向左平移个单位后得到所得图像的解析式为，‎ 根据可得①，‎ 所以即（舍），‎ 又对①化简可得，故，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响，比如，它可以由先向左平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移.‎ ‎．‎ ‎11．在四棱锥中，底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，且各顶点都在同一球面上，若该四棱锥的侧棱长为，体积为4，且四棱锥的高为整数，则此球的半径等于（ ）（参考公式：）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为，半径为.则在中，有，再根据体积为可求及，在中，有，解出后可得正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为，半径为.‎ 设底面正方形的边长为，正四凌锥的高为，则.‎ 因为该正四棱锥的侧棱长为，所以，即……①‎ 又因为正四棱锥的体积为4，所以 ……②‎ 由①得，代入②得，配凑得，‎ ‎，即，‎ 得或.‎ 因为，所以，再将代入①中，解得，‎ 所以，所以.‎ 在中，由勾股定理，得，‎ 即，解得，所以此球的半径等于.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系.‎ ‎12．已知抛物线的焦点为，点时抛物线上的一点，以点为圆心与直线交于，两点，若，则抛物线的方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作，垂足为点，根据在抛物线上可得，再根据得到，结合前者可得，从而得到抛物线的方程.‎ ‎【详解】‎ 画出图形如图所示作，垂足为点.‎ 由题意得点在抛物线上，则，得.①‎ 由抛物线的性质，可知，‎ 因为，所以.‎ 所以，解得. ②，‎ 由①②，解得（舍去）或.‎ 故抛物线的方程是.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，抛物线 上的点到焦点的距离为；抛物线 上的点到焦点的距离为.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知向量与共线且方向相同，则_______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线的坐标形式可得，解出后检验可得.‎ ‎【详解】‎ 由题意得即，‎ 解得或.‎ 当时，，不满足条件；‎ 当时，，与方向相同，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 如果，那么：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2）若，则；‎ ‎14．设实数，满足约束条件，则的最大值为_______．‎ ‎【答案】11. ‎ ‎【解析】‎ 分析：作出可行域，变变形为，，平移直线，由图可知当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，将点代入，即可得结果.‎ 详解：‎ 作出约束条件表示的可行域，‎ 由可得，‎ 变变形为，，‎ 平移直线，‎ 由图可知当直线经过点时，‎ 直线在轴上的截距最大，‎ 将点代入，‎ 可得取得最大值，故答案为.‎ 点睛：本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎15．在中，内角所对的边分别为，且的外接圆半径为1，若，则的面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：由正弦定理可把其中一边化为角，从而由及由公式求得面积. 详解：由题意得，即，‎ ‎∴，‎ 故答案为.‎ 点睛：正弦定理：，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为.‎ ‎16．已知函数若在区间上方程只有一个解，则实数的取值范围为______．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则方程等价于有且只有一个实数根，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像和的图像，动态平移的图像可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当时，由，得，即；当时，由，得，即.‎ 令函数，则问题转化为函数与函数的图像在区间上有且仅有一个交点.‎ 在同一平面直角坐标系中画出函数与在区间函数上的大致图象如下图所示：‎ 结合图象可知：当，即时，两个函数的图象只有一个交点；‎ 当时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题．‎ ‎17．在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱上的一点（不与、点重合）.‎ ‎（1）若平面，求的值；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面可得，从而得到.‎ ‎（2）以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量后可得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：因为平面，平面,平面平面，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎（2）解：以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则点.‎ 则.‎ 设平面的一个法向量为，则 ‎，即，得.‎ 令，得；‎ 易知平面的一个法向量为，‎ 设二面角的大小为，则.‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 线线平行的证明可利用线面平行或面面平行来证明，空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎18．已知在等比数列中，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出公比后可得的通项公式.‎ ‎（2）利用错位相减法可求.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等比数列的公比为.‎ 由，得，得，‎ 所以，解得.‎ 故数列的通项公式是.‎ ‎（2），‎ 则，①‎ ‎，②‎ 由①-②，得 ‎，‎ ‎，‎ 故 ‎【点睛】‎ 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.‎ ‎19．阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献．为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”他们的调查结果如下：‎ ‎（1）完成如下列联表，并判断是否有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？‎ ‎（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本．‎ ‎（ⅰ）求抽取的文科生和理科生的人数；‎ ‎（ⅱ）从10人的样本中随机抽取3人，用表示这3人中文科生的人数，求的分布列和数学期望．参考数据：‎ ‎，．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）（ⅰ）文科生人，理科生人；（ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知数据填写列联表，根据公式计算可得，可知没有的把握；（2）（ⅰ）根据分层抽样的原则计算即可得到结果；（ⅱ）首先确定所有可能的取值为，根据超几何分布的概率公式可求得每个取值对应的概率，从而可得分布列；根据数学期望的计算公式可求得期望.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意填写列联表如下：‎ ‎，‎ 没有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关 ‎（2）（ⅰ）抽取的文科生人数是：人 理科生人数是：人 ‎（ⅱ）的可能取值为 则；；‎ ‎；‎ 其分布列为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验的应用、分层抽样、服从超几何分布的离散型随机变量的分布列和数学期望的求解问题，属于常规题型.‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，，分别是其左、右焦点，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若在直线上任取一点，从点向的外接圆引一条切线，切点为.问是否存在点，恒有？请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) ，或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出后可得椭圆的标准方程.‎ ‎（2）先求出的外接圆的方程，设点为点为，则由可得对任意的 恒成立，故可得关于的方程，从而求得的坐标.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为椭圆的离心率为，所以. ①‎ 又椭圆过点，所以代入得. ②‎ 又. ③‎ 由①②③，解得.所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由（1）得，，的坐标分别是.‎ 因为的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上，‎ 即的外接圆的圆心一定在轴上，‎ 所以可设的外接圆的圆心为，半径为，圆心的坐标为，‎ 则由及两点间的距离公式，得，‎ 解得.‎ 所以圆心的坐标为，半径，‎ 所以的外接圆的方程为，即.‎ 设点为点为，因为，‎ 所以，‎ 化简，得，‎ 所以，消去，得，‎ 解得或.‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 所以存在点，或满足条件.‎ ‎【点睛】‎ 求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆的位置关系，一般通过圆心到直线的距离与半径的关系来判断.解析几何中的几何关系的恒成立问题，应该通过等价转化变为代数式的恒成立问题.‎ ‎21．设函数.‎ ‎（1）当时，求函数的零点个数；‎ ‎（2）若，使得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用的符号讨论函数的单调性，结合零点存在定理可得零点的个数.‎ ‎（2）不等式有解等价于对任意恒成立即，构建新函数，求出后分和分类讨论可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1），即，‎ 则，‎ 令解得.‎ 当在上单调递减；‎ 当在上单调递增，‎ 所以当时，.‎ 因为，‎ 所以.‎ 又，，‎ 所以，，‎ 所以分别在区间上各存在一个零点，函数存在两个零点.‎ ‎（2）假设对任意恒成立，‎ 即对任意恒成立.‎ 令，则.‎ ‎①当，即时，且不恒为0，‎ 所以函数在区间上单调递增.‎ 又，所以对任意恒成立.‎ 故不符合题意；‎ ‎②当时，令，得；令，得.‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以，即当时，存在，使，即.‎ 故符合题意.‎ 综上可知，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．含参数的不等式的有解问题，可转化为恒成立问题来处理，后者以导数为工具讨论函数的单调性从而得到函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设动点在圆上，动线段的中点的轨迹为，与直线交点为，且直角坐标系中，点的横坐标大于点的横坐标，求点的直角坐标.‎ ‎【答案】(1) 的直角坐标方程是.直线的普通方程为. (2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去参数后可得的普通方程，把化成，利用互化公式可得的直角方程.‎ ‎（2）设点，则，利用在椭圆上可得的直角方程，联立直线的普通方程和的直角坐标方程可得的直角坐标.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，得，‎ 将互化公式代上式，得，‎ 故圆的直角坐标方程是.‎ 由，得，即.‎ 所以直线的普通方程为.‎ ‎（2）设点.‎ 由中点坐标公式得曲线的直角坐标方程为.‎ 联立，解得，或.‎ 故点的直角坐标是.‎ ‎【点睛】‎ 极坐标转化为直角坐标，关键是，而直角坐标转化为极坐标，关键是．参数方程化为直角方法，关键是消去参数，消参的方法有反解消参、平方消参、交轨法等．‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）若函数的最小值为2，求实数的值；‎ ‎（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 或. (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用绝对值不等式可得.‎ ‎（2）不等式在上恒成立等价于在上恒成立，故的解集是的子集，据此可求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，‎ 所以.‎ 令，得或，解得或.‎ ‎（2）当时，.‎ 由，得，即，即.‎ 据题意，，则，解得.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）绝对值不等式指：及，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.‎ ‎（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．‎