数学卷·2017届江苏省扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市高三3月调研测试（2017

数学卷·2017届江苏省扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市高三3月调研测试（2017

宿迁市2017届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1． 已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎2． 已知复数，其中为虚数单位，则复数的模是 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎3． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果是 ▲ ．‎ 纤维长度 频数 ‎[22.5，25.5)‎ ‎3‎ ‎[25.5，28.5)‎ ‎8‎ ‎[28.5，31.5)‎ ‎9‎ ‎[31.5，34.5)‎ ‎11‎ ‎[34.5，37.5)‎ ‎10‎ ‎[37.5，40.5)‎ ‎5‎ ‎[40.5，43.5]‎ ‎4‎ ‎（第4题）‎ i←1‎ While i < 6‎ ‎ i←i2‎ ‎ S←2i3‎ End While Print S ‎（第3题）‎ ‎ 【答案】17‎ ‎4． 现有1 000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分 组及各组的频数见右上表，据此估计这1 000根中纤维长度不小于37.5 mm的根数是 ▲ ．‎ ‎ 【答案】180‎ ‎5． 100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍 数的概率是 ▲ ．‎ ‎ 【答案】（或0.16）‎ ‎6． 在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横 ‎ 坐标是 ▲ ． ‎ ‎【答案】2‎ ‎7． 现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个 ‎ 实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是 ▲ cm． ‎ ‎ 【答案】‎ ‎8． 函数的定义域是 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎9． 已知是公差不为0的等差数列，是其前n项和．若，，则的值是 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎10．在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．‎ 若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎11．如图，在平面四边形中，为的中点，且，．若·7，‎ B C D O ‎(第11题)‎ A ‎ 则·的值是 ▲ ．‎ ‎ 【答案】9‎ ‎12．在△中，已知，，则的最大值是 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎13．已知函数其中．若函数有3个不同的零点，‎ 则m的取值范围是 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ ‎14．已知对任意的，恒成立，则当取得最 ‎ 小值时，的值是 ▲ ．‎ ‎ 【答案】‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知，．‎ 求：（1）的值；‎ ‎ （2）的值．‎ 解：（1）法一：因为，所以，‎ 又， ‎ 所以． …… 3分 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ． …… 6分 ‎ 法二：由得，，‎ 即． ① …… 3分 ‎ 又. ②‎ ‎ 由①②解得或．‎ ‎ 因为，所以． …… 6分 ‎（2）因为，，‎ ‎ 所以． …… 8分 ‎ 所以，‎ ‎ ． …… 12分 ‎ 所以 ‎． …… 14分 ‎16．（本小题满分14分）‎ B C1‎ A C A1‎ B1‎ D ‎(第16题)‎ E 如图，在直三棱柱中，，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E． ‎ 求证：（1）DE∥平面B1BCC1；‎ ‎ （2）平面平面．‎ 证明：（1）在直三棱柱中，‎ 四边形A1ACC1为平行四边形．‎ 又E为A1C与AC1的交点，‎ ‎ 所以E为A1C的中点． …… 2分 ‎ 同理，D为A1B的中点， ‎ ‎ 所以DE∥BC． …… 4分 ‎ 又平面B1BCC1，平面B1BCC1，‎ 所以DE∥平面B1BCC1． …… 7分 ‎ （2）在直三棱柱中，‎ 平面ABC，‎ 又平面ABC，‎ ‎ 所以． …… 9分 ‎ 又，，平面，‎ ‎ 所以平面． …… 12分 ‎ 因为平面 ‎ 所以平面平面． …… 14分 ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，C为椭 圆上位于第一象限内的一点．‎ ‎ （1）若点的坐标为，求a，b的值；‎ ‎(第17题)‎ O A B C x y ‎（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且，求直线AB的斜率．‎ 解：（1）因为椭圆的离心率为，‎ ‎ 所以，即．① ‎ 又因为点在椭圆上，‎ 所以． ② …… 3分 由①②解得．‎ ‎ 因为，所以． …… 5分 ‎ ‎ （2）法一：由①知，，所以椭圆方程为，即．‎ ‎ 设直线OC的方程为，，．‎ 由得，‎ 所以．因为，所以． …… 8分 因为，所以．可设直线的方程为．‎ 由得，‎ 所以或，得． …… 11分 因为，所以，于是，‎ 即，所以．‎ 所以直线AB的斜率为． …… 14分 ‎ 法二：由（1）可知，椭圆方程为，则．‎ 设，．‎ 由，得，‎ 所以，． …… 8分 因为点B，点C都在椭圆上，‎ 所以 解得，， …… 12分 所以直线AB的斜率． …… 14分 ‎18．（本小题满分16分）‎ 一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏 东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最 大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．‎ ‎（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截 ‎ 成功；（参考数据：°，）‎ 领海 A B 北 ‎(第18题)‎ ‎30°‎ 公海 l ‎（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．‎ 解：（1）设缉私艇在处与走私船相遇（如图甲），‎ ‎ 依题意，． …… 2分 ‎ 在△中，由正弦定理得，‎ ‎ ． ‎ ‎ 因为°，所以°．‎ ‎ 从而缉私艇应向北偏东方向追击． …… 5分 A B C 图甲 ‎ 在△中，由余弦定理得，‎ ‎ ，‎ ‎ 解得． ‎ ‎ 又B到边界线l的距离为．‎ ‎ 因为，所以能在领海上成功拦截走私船． …… 8分 ‎ （2）如图乙，以为原点，正北方向所在的直线为轴建立平面直角坐标系．‎ y 公海 领海 A B 图乙 ‎60 ‎ l x ‎ 则，设缉私艇在处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私 ‎ 船相遇，则，即．‎ ‎ 整理得，， …… 12分 ‎ 所以点的轨迹是以点为圆心，‎ 为半径的圆． ‎ ‎ 因为圆心到领海边界线：的距离为1.55，大于圆半径，‎ ‎ 所以缉私艇能在领海内截住走私船． …… 14分 ‎ ‎ 答：（1）缉私艇应向北偏东方向追击；‎ ‎ （2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船． …… 16分 ‎19．（本小题满分16分）‎ ‎ 已知函数，，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（1）求函数在x1处的切线方程；‎ ‎（2）若存在，使得成立，其中为常数，‎ 求证：；‎ ‎（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：（1）因为，所以，故．‎ ‎ 所以函数在x1处的切线方程为，‎ 即． …… 2分 ‎ （2）由已知等式得．‎ ‎ 记，则． …… 4分 ‎ 假设．‎ ① 若，则，所以在上为单调增函数．‎ 又，所以，与矛盾． …… 6分 ② 若，记，则． ‎ 令，解得．‎ 当时，，在上为单调增函数；‎ 当时，，在上为单调减函数．‎ 所以，所以，‎ 所以在上为单调增函数．‎ 又，所以，与矛盾．‎ ‎ 综合①②，假设不成立，所以． …… 9分 ‎ （3）由得．‎ ‎ 记，，‎ ‎ 则．‎ ① 当时，因为，，所以，‎ 所以在上为单调增函数，所以，‎ 故原不等式恒成立． …… 12分 ② 法一：‎ 当时，由（2）知，，‎ 当时，，为单调减函数，‎ 所以，不合题意． ‎ 法二：‎ 当时，一方面．‎ 另一方面，，．‎ 所以，使，又在上为单调减函数，‎ 所以当时，，故在上为单调减函数，‎ 所以，不合题意．‎ ‎ 综上，． …… 16分 ‎20．（本小题满分16分）‎ 设数列的前n项和为Sn，且满足：‎ ‎①；②，其中且． ‎ ‎（1）求p的值；‎ ‎（2）数列能否是等比数列？请说明理由；‎ ‎（3）求证：当r 2时，数列是等差数列．‎ 解：（1）n1时，，‎ ‎ 因为，所以，‎ ‎ 又，所以p1． …… 2分 ‎ （2）不是等比数列．理由如下：‎ ‎ 假设是等比数列，公比为q，‎ 当n2时，，即，‎ 所以 （i） …… 4分 当n3时，，即，‎ 所以， （ii） …… 6分 ‎ 由（i）（ii）得q1，与矛盾，所以假设不成立． ‎ ‎ 故不是等比数列． …… 8分 ‎（3）当r 2时，易知．‎ 由，得 时，， ①‎ ‎ ，②‎ ‎②-①得，， …… 11分 即，‎ ‎，‎ 即 ‎ ‎ ‎ ……‎ ‎ ，‎ ‎ 所以 ‎ 令d，则． …… 14分 所以. ‎ 又时，也适合上式，‎ 所以．‎ 所以．‎ 所以当r 2时，数列是等差数列． …… 16分 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．‎ ‎ 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）‎ D A C 事 项 考生在答各题答题要求 ‎ ‎1．本试卷题前认真阅读本注意事项及共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。 ‎ ‎3．作答时必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。‎ ‎4．如有作图需要，可用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。‎ B O ‎（第21—A题）‎ 如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D，．‎ 求证：．‎ 证明：连结OC．‎ 因为，，‎ 所以． …… 3分 ‎ 因为OCOD，所以．‎ ‎ 所以． ‎ ‎ 所以△∽△． …… 8分 ‎ 所以，即．‎ ‎ 因为，所以． …… 10分 B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 设矩阵满足：，求矩阵的逆矩阵．‎ 解：法一：设矩阵，则， ‎ ‎ 所以，，，． …… 4分 ‎ 解得，，所以． …… 6分 ‎ ‎ 根据逆矩阵公式得，矩阵． …… 10分 法二：在两边同时左乘逆矩阵得，‎ ‎． …… 4分 设，则，‎ 所以，，，． …… 6分 解得，，，，从而． …… 10分 C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，已知直线（l为参数）与曲线（为参数）‎ 相交于，两点，求线段的长．‎ 解：法一：将曲线（为参数）化为普通方程为． …… 3分 ‎ ‎ 将直线（为参数）代入得，‎ ‎， …… 6分 解得，．‎ 则， ‎ ‎ 所以线段的长为． …… 10分 ‎ 法二：将曲线（为参数）化为普通方程为， …… 3分 ‎ ‎ 将直线（为参数）化为普通方程为， …… 6分 ‎ 由得，或 ‎ ‎ 所以的长为． …… 10分 D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 设均为正实数，且，求证：．‎ 证明：因为均为正实数，且，‎ ‎ 所以，，． …… 8分 ‎ 所以． …… 10分 ‎【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应 ‎ 写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．‎ ‎（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；‎ ‎（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观 ‎ 众与乐队的互动指数为2a．求观众与乐队的互动指数之和的概率分布及数学期望．‎ 解：（1）设“至少演唱1首原创新曲”为事件，‎ ‎ 则事件的对立事件为：“没有1首原创新曲被演唱”．‎ ‎ 所以．‎ ‎ 答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为． …… 4分 ‎ （2）设随机变量表示被演唱的原创新曲的首数，则的所有可能值为0，1，2，3．‎ ‎ 依题意，，故的所有可能值依次为8a，7a，6a，5a．‎ ‎ 则，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ 从而的概率分布为：‎ ‎8a ‎7a ‎6a ‎5a ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …… 8分 ‎ 所以的数学期望．…… 10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎ 设．有序数组经m次变换后得到数组，‎ 其中，（1，2，，n），，．‎ 例如：有序数组经1次变换后得到数组，即；经第 ‎2次变换后得到数组．‎ ‎ （1）若，求的值；‎ ‎ （2）求证：，其中1，2，，n．‎ ‎ （注：当时，，1，2，，n，则．）‎ 解：（1）依题意，‎ ‎ 经1次变换为：，‎ ‎ 经2次变换为：，‎ ‎ 经3次变换为：，‎ ‎ 所以． …… 3分 ‎ （2）下面用数学归纳法证明对，，其中． ‎ ‎ （i）当时，，其中，结论成立； ‎ ‎ （ii）假设时，，其中． …… 5分 ‎ ‎ 则时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 所以结论对时也成立．‎ ‎ 由（i）（ii）知，，，其中． …… 10分