河北省张家口市宣化区宣化第一中学2020届高三模拟（三）考试数学试卷

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河北省张家口市宣化区宣化第一中学2020届 高三模拟（三）考试数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ 2. 已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则 A. B. C. 1 D. ‎ 3. ‎“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，A为OB的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面扇环部分的概率是 A. B. C. D. ‎ 4. 设，，，则 A. B. C. D. ‎ 5. 若两个非零向量，满足，且，则与夹角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ 6. 函数在的图象大致为 A. B. C. D. ‎ 7. 在如图所示的程序框图中，如果，程序运行的结果S为二项式的展开式中的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是      ‎ A. ？ B. ？ C. ？ D. ？‎ 1. 为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校500名学生2019年12月课余使用手机的总时间单位：小时的情况．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50名学生中，恰有3名女生课余使用手机的总时间在，现在从课余使用手机总时间在的样本对应的学生中随机抽取3名，则至少抽到2名女生的概率为 A. B. C. D. ‎ 2. 在等差数列中，为其前n项和．若，且，则等于 A. B. C. D. ‎ 3. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 A. B. C. D. ‎ 4. 已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的体积是 A. B. C. D. ‎ 5. 已知函数的定义域是R，对任意的，有当时给出下列四个关于函数的命题： 函数是奇函数； 函数 是周期函数； 函数的全部零点为，； 当时，函数的图象与函数的图象有且只有4个公共点 其中，真命题的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 若实数x、y满足，则的最大值为______．‎ 2. 已知数列的前n项和为，且满足，则______．‎ 3. 设函数，若为奇函数，则过点且与曲线相切的直线方程为______．‎ 4. 已知双曲线C：的右顶点为A，以点A为圆心，b为半径作圆，且圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若为坐标原点，则双曲线C的标准方程为______．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）‎ 5. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． 若，，求c的大小； 若，且C是钝角，求面积的大小范围． ‎ 6. 如图，在空间几何体ABCDE中，，，均是边长为2的等边三角形，平面平面ABC，且平面平面ABC，H为AB的中点． 证明：平面EBC； 求二面角的正弦值． ‎ 7. 某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案． 方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验669次． 方案二：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次这时认为每个人的血化验次：否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这时该组k个人的血总共需要化验 次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立． 设方案二中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列 设，试比较方案二中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？最后结果四舍五入保留整数 ‎ 1. 已知抛物线的焦点为F，x轴上方的点在抛物线上，且，直线l与抛物线交于A，B两点点A，B与M不重合，设直线MA，MB的斜率分别为，． Ⅰ求抛物线的方程； Ⅱ当时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标． ‎ 2. 已知函数． 当时，讨论极值点的个数； 若函数有两个零点，求a的取值范围． ‎ 3. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． 求经过椭圆C右焦点F且与直线l垂直的直线的极坐标方程； 若P为椭圆C上任意一点，当点P到直线l距离最小时，求点P的直角坐标． ‎ 1. 已知函数． 求不等式的解集； 若函数图象的最低点为，正数a，b满足，求的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：集合或， ， ． 故选：C． 先求出集合A，B，由此能求出． 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由题意可得，，解得． 又，， 则， ． 故选：A． 由已知列式求得m，再由商的模等于模的商求解． 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：不妨设，扇形中心角为． 此点取自扇面扇环部分的概率． 故选：C． 利用扇形的面积计算公式即可得出． 本题考查了扇形的面积计算公式、几何概率计算公式考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】 本题考查对数函数和指数函数的性质，属于基础题． 利用对数函数和指数函数的性质，找到合适中间量即可求解． 【解答】 解：由指、对函数的性质可知：，， 故选A． 5.【答案】D ‎ ‎【解析】解：根据题意，设与的夹角为． 若，则，变形可得， 又由，则有 又由，则有， 变形可得：． 故选：D． 根据题意，设与的夹角为由，可得，又由由可得，将代入，变形可得的值，即可得答案． 本题考查向量数量积的计算，属于基础题． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：， 函数为奇函数， 又， 选项D符合题意． 故选：D． 由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解． 本题考查由函数解析式找函数图象，一般从奇偶性，特殊点，单调性等角度运用排除法求解，属于基础题． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 根据二项式展开式的通项公式，求出的系数，模拟程序的运行，可得判断框内的条件． 【解答】 解：二项式展开式的通项公式是， 令， ； 的系数是． ‎ 程序运行的结果S为120， 模拟程序的运行，由题意可得 ，， 不满足判断框内的条件，执行循环体，，， 不满足判断框内的条件，执行循环体，，， 不满足判断框内的条件，执行循环体，，， 此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为120． 故判断框中应填入的关于k的判断条件是？ 故选：C． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：这50名学生中，恰有3名女生的课余使用手机总时间在， 调余时间使用手机总时间在的学生总数为：名， 从课余使用手机总时间在的样本对应的学生中随机抽取3名， 基本事件总数， 至少抽到2名女生包含的基本事件个数， 至少抽到2名女生的概率为． 故选：C． 基本事件总数，至少抽到2名女生包含的基本事件个数，由此能求出至少抽到2名女生的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】解：是等差数列，为其前n项和，设公差为d， 则，， 数列是以为首项、为公差的等差数列． 则， 解得． 又，，． 故选：D． 先推出数列是等差数列．根据等差数列通项公式列式求解出d和． 本题考查了构造数列和等差数列的通项公式，做题时应细心，属简单题． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 由题意可设F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为，分别令，，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值． 【解答】 解：由题意可设，，， 设直线AE的方程为， 令，可得， 令，可得， 设OE的中点为H，可得， 由B，H，M三点共线，可得， 即为， 化简可得，即为， 可得． 故选A． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心，外接圆的半径r，‎ ‎ 正三棱锥的外接球的球心在高所在的直线上，设为O，连接OA得：，，即， 所以三棱锥的高， 由勾股定理得，，解得：， 所以外接球的体积 故选：D． 正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的体积公式求出体积． 本题主要考查正三棱锥的外接球的体积以及计算能力，属于中档题． 12.【答案】B ‎ ‎【解析】解：对任意的，有， 对任意的，有， 是以2为周期的函数，对， ， 又当时， ， 函数不是奇函数，错， ‎ ‎， ，，对， 当时， 令，解之得舍，； 当时， 令，解之得舍，； 当时， 令，解之得舍，； 共有3个公共点，错， 故选：B． 通过题中给的知识点，判断周期性，奇偶性，求出每一段的解析式． 本题考查命题，周期，奇偶性，以及求分段函数的解析式，属于基础题． 13.【答案】10 ‎ ‎【解析】解：由实数x、y满足，作出可行域如图， 联立，解得， 化目标函数为， 由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为． 故答案为：10． 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：，可得时，， 时，，又， 两式相减可得，即，上式对 也成立， 可得数列是首项为1，公比为的等比数列， 可得． 故答案为：． 利用已知条件求出首项，推出数列的通项公式，判断数列是等比数列，然后求解数列的和． 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化首项以及计算能力． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：函数为奇函数， ，解得， ，． 设切点为，则． 所以切线方程为． 该直线过点，， 解得，，， 所求直线方程为，即． 故答案为：． 根据函数是奇函数，构造求出a值．再另设切点，求出切线方程，将代入切线方程，即可求出切点横坐标，切线方程可求． 本题考查了函数奇偶性的应用以及导数的几何意义，属于较简单的中档题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：双曲线C：的右顶点为， 以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点． 则点A到渐近线的距离为， ，， ， ‎ ‎， ，，，，即，解得， 双曲线方程为：． 故答案为：． 利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，求解双曲线的a，b即可得到双曲线的标准方程． 本题考查双曲线的简单性质的应用：标准方程的求法，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 17.【答案】解：在中，，由正弦定理，得． ，，， ． 又，． 在中，由余弦定理，得，即， 解得舍去，． ． 由知， ． 由正弦定理，得，． ，C为钝角，， ，， ． 即面积的大小范围是． ‎ ‎【解析】由已知结合正弦定理进行化简可求tanA，进而可求A，然后由余弦定理可求； 由A结合三角形的面积公式极正弦定理可求c的范围，进而可求三角形面积的范围， 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题． 18.【答案】证明：如图1，分别取AC，BC的中点P，Q，连接DP，EQ，PQ，PH． ，均是等边三角形，P是AC的中点，Q是BC的中点， ，． 平面平面ABC且交于AC，平面ACD，平面ABC， 平面平面ABC且交于BC，平面BEC，平面ABC， ． 又平面EBC，平面平面EBC． ‎ 是的中位线，， 又平面EBC，平面EBC，平面EBC． 平面EBC，平面EBC，，平面平面DPH， 平面BEC． 解：又点P为原点、射线PA为x轴正方向、射线PB为y轴正方向量、射线PD为z轴正方向，建立如图2所以的空间直角坐标系， 则0，，0，，0，，， ，． 平面ABC，平面ABC的法向量可取． 设平面EAC的法向量y，， 则，，可取2，． 设二面角的平面角为，据判断其为锐角， ． ． 即二面角的正弦值． ‎ ‎【解析】分别取AC，BC的中点P，Q，连接DP，EQ，PQ，证明平面ABC，平面ABC，得到推出，平面即可证明平面平面DPH，得到平面BEC． 又点P为原点、射线PA为x轴正方向、射线PB为y轴正方向量、射线PD为z轴正方向，建立如图2所以的空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量，平面EAC的法向量，设二面角的平面角为，利用空间向量的数量积求解二面角的正弦值． 本题考查二面角飞平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用． 19.【答案】解：根据题意，每个人的血样化验呈阳性的概率为p，则呈阳性的概率， 所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为， 故， ，， 故X的分布列为：‎ ‎                    X ‎                     ‎ ‎                  ‎ ‎                    P ‎                 ‎ ‎               ‎ 根据可得方案二的数学期望，， 当时，，此时669人需要化验总次数为462次； 当时，，此时669人需要化验总次数为404次； 当时，，此时669人需要化验总次数为397次； 故时，化验次数最少， 根据方案一，化验次数为669次， 故当时，化验次数最多可以平均减少次． ‎ ‎【解析】根据题意，某组k个人中每个人的血化验次数为，每个人的血样化验呈阳性的概率为p，则呈阳性的概率，求出概率，写出分布列即可； 根据可得方案二的数学期望，，求出，3，4时化验的平均次数，求出化验次数最少的情况，与方案一对比，得出结论． 本题考查离散型随机变量求分布列和数学期望，考查了数学期望在实际问题中的应用，注意运算的正确性，中档题． 20.【答案】解：Ⅰ由抛物线的定义可以， 抛物线的方程为； Ⅱ证明：由可知，点M的坐标为 当直线l斜率不存在时，此时A，B重合，舍去． 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为 设，， 将直线l与抛物线联立得：，------------------ 又， 即 将带入得， 即 得或． 当时，直线l为，此时直线恒过 当时，直线l为，此时直线恒过舍去 所以直线l恒过定点． ‎ ‎【解析】Ⅰ利用抛物线的定义以及性质，列出方程求出p，即可求抛物线的方程； ‎ Ⅱ当时，设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理转化求解直线l恒过定点并求出该定点的坐标． 本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力． 21.【答案】解：当时，，则， 显然在上单调递减，又，， 所以在上存在唯一零点， 当时，，当时，， 所以是的极大值点，且是唯一极值点； 令，，令，，则与的图象在上有2个交点， ，令，则， 所以在上单调递减，而， 故当时，，即，单调递增， 当时，，即，单调递减， 故， 又，当时，，作出图象如图： 由图可得：， 故a的取值范围是 ‎ ‎【解析】将代入，求导得到在上单调递减，则在上存在唯一零点，进而可判断出是的极大值点，且是唯一极值点； 令，得到，则与的图象在上有2个交点，利用导数，数形结合即可得到a的取值范围． 本题考查利用导数求函数单调区间，求函数极值，利用导数数形结合判断函数零点个数，属于中档题． ‎ ‎22.【答案】解：椭圆方程，， 直线l的直角坐标方程为， 与l垂直的直线斜率为， 直线方程为，即， 则极坐标方程为． 由得，得直线l的直角坐标方程为： 设，点P到直线l的距离， 此时， 当时，d取最小值， 此时，，， 点坐标为． ‎ ‎【解析】消参得椭圆的直角坐标方程，进而得右焦点F的坐标，再得直线的直角坐标方程和极坐标方程； 利用点到直线的距离公式求得点P到直线l的距离，然后用三角函数的性质求得最小值以及取得最小值的条件． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 23.【答案】解：， ，或或， 或或，， 不等式的解集为． ，当时，取得最小值3． 函数的图象的最低点为，即，． ，，， ， 当且仅当，即，时取等号， ． ‎ ‎【解析】先将写为分段函数的形式，然后根据分别解不等式即可； 先求出的最小值，然后根据图象的最低点为，求出m和n的值，再利用基本不等式求出的取值范围． 本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题． ‎