2020年辽宁省抚顺一中高考数学三模试题(含解析)

2020年辽宁省抚顺一中高考数学三模试题(含解析)

2020 年辽宁省抚顺一中高考数学三模试题 一、单选题 1．已知i 是虚数单位， (2 ) 5(1 )z i i   ，则复数 z 的共轭复数为（ ） A．1 3i B．1 3i C． 1 3i  D． 1 3i  2．设集合  01 2A  ，， ，  2xB y y x A  ， 则 A B  （ ） A． 0 1 2，， B． 1 2 4，， C． 1 2， D． 0 1 2 4，，， 3．如图，已知 F 为双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右焦点，平行于 x 轴的直线l 分别交C 的渐 近线和右支于点 A ， B ，且 90 ,OAF OBF OFB     ，则 C 的离心率为（ ） A． 6 2 B． 7 2 C． 2 D． 3 4．若 sin 1 1 cos 3    ，则 2 2cos 3s n in 2i 2 s       （ ） A． 2 B． 2 2 C． 4 D．5 5．椭圆 2 2 14 3 x y  的右焦点到直线 3y x 的距离是( ) A． 1 2 B． 3 2 C．1 D． 3 6．下列函数中，与函数 3y x 的值域相同的函数为 （ ） A． 11 2 x y      B． ln( 1)y x  C． 1xy x  D． 1y x x   7．某地 2019 年 1 月到 10 月居民消费价格指数（CPI（%））与工业品出厂价格指数（PPI（%）） 的曲线图如下： 则下面说法不正确的是（ ） A．2019 年 1 月到 10 月，CPI（%）的值比相应时期的 PPI（%）的值要大 B．2019 年 1 月到 10 月，10 月份 CPI（%）与 PPI（%）之差最大 C．2019 年 1 月到 10 月，CPI（%）的值逐月增长 D．2019 年 1 月到 10 月，PPI（%）有 4 个月份为负值 8．做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27 ,且用料最省,则圆柱的底面半径为( ) A．3 B．4 C．6 D．5 9．若变量 ,x y 满足约束条件 1 0 2 2 0 x x y x y         则 y x 的最大值为（ ） A．1 B．3 C． 3 2 D．5 10．将偶函数     sin 3 0 πf x x      的图象向右平移 π 12 个单位长度后，得到的曲线的对 称中心为（ ） A．  π 7π ,03 36 k k     Z B．  π π ,03 12 k k     Z C．  π π ,03 36 k k     Z D．  π π ,03 4 k k     Z 11．曲线 1 2 x y e 在点 24,e 处的切线方程为（ ） A． 2 23y e x e  B． 2 22y e x e  C． 2 22 7y e x e  D． 2 21 2y e x e  12．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 为棱 1CC 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值 为 A． 2 2 B． 3 2 C． 5 2 D． 7 2 二、填空题 13．在 ABC 中, 4 3, 2 2,3 3C c b   ，那么 A  __________. 14．从 中随机抽取一个数记为 ，从 中随机抽取一个数记为 ，则函数 的图象经过第三象限的概率是_______. 15．已知函数       2, 0 2 2 ,( 0) x xf x f x x       ，则  3f __________． 16．已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 •DE CB   的值是 ， •DE DC   的最大值 . 三、解答题 17．设函数   2 5f x x x    ，   2 8 15g x x x   （1）证明：   3f x  ； （2）求不等式    f x g x 的解集； （3）当 2x  时，求函数     2 2 5 xh x x g x    的最大值 18．已知直线 1l 过点  1,3M ，倾斜角是 3  ，直线 2 : sin cos 2 0l       . （1）写出直线 1l 的参数方程； （2）直线 1l 与直线 2l 的交点为 N，求 MN . 19．已知函数 2( ) ( )f x x x c  在 1x  处取得极小值，求 ( )f x 的极大值. 20．已知等差数列 na 的首项 1 1a  ，公差 0d  ，且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列 nb 的第 2 项、第 3 项、第 4 项. （1）求数列 na ， nb 的通项公式； （2）设数列 nc 满足： n N  时，都有 1 2 1 1 2    … n n n c c c ab b b 成立，记 nc 的前 n 项和为 nS ， 求 2019S . 21．语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱，它们可以 通过语音交互满足人们的部分需求.经市场调查，某种新型智能音箱的广告费支出 x（万元）与销售 额 y（单位：万元）之间有如下对应数据： x 1 4 5 6 9 y 20 35 50 65 80 （1）求 y 关于 x 的线性回归方程（数据精确到 0.01）； （2）利用（1）中的回归方程，预测广告费支出 10 万元时的销售额. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 1 22 2 1 1 ( )( ) ˆ ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx                ， ˆˆa y bx  . 22．已知直线 1y kx  与抛物线 2:C x y 交于 A ，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴 的垂线交抛物线C 于点 N ． （1）证明，抛物线在点 N 处的切线与直线 AB 平行； （2）是否存在实数 k ，使得 0NA NB   ，若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理由． 23．如图，在三棱锥 P ABC 中，PA  底面 ABC ， ABC 为正三角形， ,D E 分别是 ,BC CA的 中点. （Ⅰ） 若 2PA AB  ，求三棱锥 P ABC 的体积； （Ⅱ）证明： BE  平面 PAC . 【答案与解析】 1．B 化简 (2 ) 5(1 )z i i   ，求得 z ，根据复数的共轭复数定义，即可求得答案. 5(1 ) 5(1 )(2 ) 1 32 5 i i iz ii       1 3z i   . 故选：B. 本题主要考查了求复数的共轭复数和复数除法运算，解题关键是掌握共轭复数定义和复数除法运算， 考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2．C 将 A 中的元素代入 B 中的解析式，求出 B，再利用两个集合的交集的定义求出 A∩B． ∵集合  01 2A  ，， ， ∴    2 1 2 4xB y y x A   ， ，， ， ∴ A B   1 2， ， 故选：C． 本题主要考查交集的定义及求解，涉及指数函数的值域问题，属于基础题． 3．C 设  ,B m n ，并表示出点 A 的坐标，然后根据 90OAF   将 n 用 , ,a b c 表示出来，根据点 B 在双 曲线上将 2m 用 , ,a b c 表示出来，最后根据 OBF OFB   得到| | | |OB OF ，据此列出关于 , ,a b c 的方程，即可求出双曲线的离心率． 设 ( , )B m n ，则由 by xa y n     ，解得 ,anA nb     ．因为 90OAF   ，所以 1AF OAk k   ， 即 1n b an acb     ，得 abn c  ．又点 ( , )B m n 在双曲线 C 上，所以 2 2 2 2 1m n a b   ， 将 abn c  代入，得 2 2 4 2 2 a c am c  ．又 OBF OFB   ，所以| | | |OB OF ， 所以 2 2 2m n c  ，即 2 2 4 2 2 2 2 2 a c a a b cc c    ，化简得 2 22a c ， 所以双曲线C 的离心率 2ce a   ， 故选：C． 本题主要考查双曲线的焦点、渐近线、离心率等性质，直线与双曲线的位置关系，考查分析问题、 解决问题的能力以及数形结合思想，考查的核心素养是直观想象． 4．A 利用二倍角余弦公式化简、代入即可求解. 由 sin 1 1 cos 3    ，可得3sin 1 cos   ， 2 2cos 3sin 2 2cos 1 cos 2 cos 1 21 cosi s 1 cos 2n 2 2                   ， 故选：A 本题考查了二倍角的余弦公式，需熟记公式，属于基础题. 5．B 先求出椭圆的右焦点的坐标，再利用点到直线的距离公式可求出答案. 在椭圆 2 2 14 3 x y  中， 2 24, 3a b  ，则 2 2 1c a b   所以椭圆的右焦点为  1,0F 则椭圆的右焦点  1,0F 到直线 3y x 的距离为 0 3 1 3 21 3 d      故选：B 本题考查求椭圆的焦点坐标和点到直线的距离，属于基础题. 6．B 试题分析：函数 3y x 的值域为 R ，而 11 02 x y      ， 1 11 1,xy x x        1 , 2 2,y x x      U ，只有 ln( 1)y x R   ，所以选 B. 考点：函数值域 7．C 根据图象逐个分析每个选项，即可判断正误. 对于 A，由图可知 CPI（%）对应的曲线在 PPI（%）对应的曲线的上方，所以 A 正确； 对于 B，从图中可知 2019 年 10 月份 CPI（%）对应的点在最高处，而相应 PPI（%）对应的点在最 低处，所以 CPI（%）与 PPI（%）之差最大，故 B 正确； 对于 C，CPI（%）的值先降低后增长，故 C 错误； 对于 D，从 PPI（%）的值，可知 7，8，9，10 四个月份为负值，所以 D 正确. 故选：C. 本题考查根据统计图分析具体情况，属于基础题. 8．A 设出圆柱的底面半径 R ,母线长l ,由体积为 27 可用 R 表示出l .根据用料最省,使侧面积和底面积的 和最小即可.根据题意可得面积和的表达式,集合导数即可求得用料最省时底面的半径. 设圆柱的底面半径为 R ,母线长为l ,则 2 27V R l   , 所以 2 27l R  , 要使用料最省,只需使圆柱的侧面与下底面积之和 S 最小, 由题意可得 2 2 272 2S R Rl R R         . 对面积和求导可得 2 542S R R    , 令 0S  ,得 3R  当 0 3R  时, 0S  ,即 2 54S R R   在 0 3R  内单调递减 当 3 R 时, 0S  ,即 2 54S R R   在3 R 时单调递增 所以当 3R  时, S 取得最小值, 故选：A. 本题考查了圆柱体积与表面积的综合应用,根据导函数求函数的最值,属于基础题. 9．C 直接根据约束条件表示的平面区域为以 3(1,1), 1, ,(2,2)2      为顶点的三角形区域(包含边界)，将三个 顶点与原点连线的斜率求出，进行比较即可得到答案。 不等式组表示平面区域是以 3(1,1), 1, ,(2,2)2      为顶点的三角形区域(包含边界). y x 表示平面区域内的点与原点的连线的斜率， 由题意得点 31, 2      与原点的连线斜率最大， 即 y x 的最大值为 3 32 1 2  故选：C 本题考查线性约束条件下，求斜率型目标函数的最值，考查数形结合思想和运算求解能力。 10．D 根据函数为偶函数求出函数解析式，根据余弦函数的图象和性质求对称轴即可. ∵     sin 3 0 πf x x      为偶函数， ∴   cos3f x x  ， ∴ π πcos 312 4f x x             ． 令  π π3 π4 2x k k   Z ，得  π π 3 4 kx k  Z ． 故选：D 本题主要考查了诱导公式和余弦函数的图象与性质，属于中档题. 11．D 先求导数，再求切线斜率，最后根据点斜式得方程 1 1 2 2 2 2 21 2 1 1 ( 4)2 2 x x k e y e e xy e y e        即 2 21 2y e x e  故选:D 本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 12．C 利用正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， //CD AB ，将问题转化为求共面直线 AB 与 AE 所成角的正切 值，在 ABE 中进行计算即可. 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， //CD AB ，所以异面直线 AE 与 CD 所成角为 EAB ， 设正方体边长为 2a ，则由 E 为棱 1CC 的中点，可得 CE a ，所以 5BE a ， 则 5 5tan 2 2 BE aEAB AB a     .故选 C. 求异面直线所成角主要有以下两种方法： （1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造） 所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角； （2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以② 对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值. 13． 75 5 12 或      由 b，c 及 sinC 的值，利用正弦定理求出 sinB 的值，进而确定出 B 的度数，利用内角和定理即可 A 的度数． ∵b 4 3 3  ，c＝2 2 ，C＝60°， ∴由正弦定理 b c sinB sinC  得：sinB 4 3 3 23 2 22 2 bsinC c     ， ∵b＜c，∴B＜C， ∴B＝45°， 则 C＝180°﹣（B+C）＝180°﹣105°＝75°． 故答案为：75° 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 14． 试题分析：由题意所有可能的情况有 = 种情况，函数 的图象经过第三象限时， ܽǡ 配对的情况有 共 种情况，故函数的图象经 过第三象限的概率为 . 考点：1.用列举法计算基本事件数及事件发生的概率；2.指数函数的图象变换. 15．4 根据分段函数对应性，根据自变量大小对应代入解析式，即得结果. 3>0,故代入第二段，得到      3 2 1 4 1f f f   ，-1<0,代入第一段得到  1f  =1，故  4 1 4f   . 故答案为 4. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当 出现   f f a 的形式时，应从内到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函 数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相 应段自变量的取值范围. 16． 1,1 根据平面向量的点乘公式 • • • cosDE CB DE DA DE DA        ,由图可知， •cosDE DA   , 因此 •DE CB   = 2| | 1DA  ; • • cos cosDE DC DE DC DE       ,而 •cosDE  就是向量 DE  在 DC  边上的射影，要想 让 •DE DC   最大，即让射影最大，此时 E 点与 B 点重合，射影为 DC  ，所以长度为 1. 【考点定位】本题是平面向量问题，考查学生对于平面向量点乘知识的理解，其中包含动点问题， 考查学生最值的求法． 17．（1）见解析；（2） 5 3,6   ；（3） 2 1 2  （1）分别在 2x  、 2 5x  、 5x≥ 三个范围内去掉绝对值符号得到函数解析式，在每段区间 上所证结论均成立，则结论成立；（2）分别在 2x  、2 5x  、 5x≥ 三个范围内去掉绝对值符 号得到不等式，解不等式得到结果；（3）可将  h x 化简为     1 22 22 h x x x     ，利用基本 不等式可求得结果. （1）当 2x  时，    2 5 3f x x x        3f x  当 2 5x  时，    2 5 2 7f x x x x      此时    3,3f x     3f x  当 5x≥ 时，    2 5 3f x x x       3f x  综上所述：   3f x  （2）当 2x  时，由    f x g x 得： 23 8 15x x    ，无解 当 2 5x  时，由    f x g x 得： 22 7 8 15x x x    ，解得： 5 3 5x   当 5x≥ 时，由    f x g x 得： 23 8 15x x   ，解得：5 6x  综上所述：不等式    f x g x 的解集为： 5 3,6   （3）由题意得：        222 2 2 2 6 102 5 8 15 2 2 2 2 x x xh x x xx x x x x              2x  ，则 2 0x       1 22 22 h x x x      又  22 2 22x x    （当且仅当 22 2x x    ，即 2 2x   时取等号）   1 2 1 22 2 2 h x     即当 2x  时，  h x 的最大值为： 2 1 2  本题考查绝对值不等式的证明和求解问题、利用基本不等式求解函数的最值的问题，涉及到分类讨 论的思想和基本不等式的应用，属于常考题型. 18．（1） 11 2 33 2 x t y t       （t 为参数）（2）  2 3 1 （1）由直线的参数方程直接写出； （2）先把直线 2l 极坐标方程化为直角坐标方程，然后与直线 1l 的参数方程联立得到t 的值，根据参 数 t 的几何意义即可求出 MN . 解：（1）直线 1l 的参数方程为 11 2 33 2 x t y t       （t 为参数） （2）直线 2 : sin cos 2 0l       化为直线 2 0x y   ， 将 11 2 33 2 x t y t       （t 为参数）代入 2 0x y   得，  2 3 1t    ， 由 t 的几何意义知，点  1,3M 到两直线的交点 N 的距离为  2 3 1t   . 本题考查直线的参数方程及参数的几何意义、极坐标方程与直角坐标方程互化，属于基础题. 19．见解析. 分析：由题可得 1 是极值点故 1 是导函数的解.而   2 23 4f x x cx c    3 3 cx c x      ，由   0f x  ，解得 x c 或 3 cx  .从而可求得 c，即可得出 f（x）的极大值. 详解：因为    2 3 2 22f x x x c x cx c x     ，所以   2 23 4f x x cx c    3 3 cx c x      ， 由   0f x  ，解得 x c 或 3 cx  .依题意，1 是  f x 的较大零点，所以 1c  ，所以当 1 3x  时，  f x 取得极大值 21 1 1 413 3 3 27f             . 点睛：考查导函数得极值点和极值的判断，对题意的正确理解和计算正确是解题关键，属于基础题. 20．（1） 2 1na n  ； 13n nb  （2） 20193 （1）根据数列 na ， nb 的等量关系，以及 2 5 14, ,a a a 成等比数列，即可解得 ,n na b ； （2）根据递推公式，求得数列 nc ，再用公式法求得数列的前 2019 项和即可. （1）由已知有 2 1a d  ， 5 1 4a d  ， 14 1 13 a d ∴依题有 2(1 4 ) (1 )(1 13 )   d d d 得 2d  或 0d  （舍） ∴ 2 1na n  ∵ 2 2 3b a  ， 3 5 9 b a ∴等比数列 nb 的公比 3q  ∴ 2 2 1 2 3 3 3      n n n nb b q （2）由 1 2 1 1 2    … n n n c c c ab b b 得 2n  时， 1 2 1 1 2 1      … n n n c c c ab b b 故 2n  时， 1 2 1 (2 1) 2      n n n n c a a n nb ∴ 12 2 3 ( 2)   n n nc b n 当 1n  时， 1 2 1 c ab  ，∴ 1 3c  ，不适合上式 ∴ 1 3, 1 2 3 , 2n n nc n     ∴ 1 2 2018 2019 3 2 3 2 3 2 3       …S  2018 20193 1 3 3 2 31 3      本题考查由基本量求解数列的通项公式，以及前 n 项和，属数列综合基础题. 21．（1） ˆ 7.94 10.30y x  （2）89.7（万元）. （1）计算出 x 、 y 的值，代入公式求得 ˆb 、 ˆa ，即可得解； （2）把 10x  代入线性回归方程计算出 ˆy 即可得解. （1） 1 (1 4 5 6 9) 55x       ， 1 (20 35 50 65 80) 505y       ，  2 2 2 2 2 2 1 20 4 35 5 50 6 65 9 80 5 5 50 270ˆ 7.941 4 5 6 9 5 5 34b                    ， ˆ 50 7.94 5 10.30a     . y 关于 x 的回归直线方程为 ˆ 7.94 10.30y x  . （2）当 10x  时， ˆ 10 7.94 10.3 89.7y     ， 当广告费支出 10 万元时，销售额大约为 89.7 万元. 本题考查了线性回归方程的求解与应用，考查了计算能力，属于中档题. 22．（1）证明见解析；（2）存在， 0k  ． (1)设  2 1 1,A x x ,  2 2 2,B x x ,联立 2 1 y x y kx      ,由韦达定理和中点坐标公式求出 ,M N 点的坐标,再利 用导数求出点 N 处的切线斜率,从而得证; (2)由(1)可知, 2 2 1 1,2 4 k kNA x x       , 2 2 2 2,2 4 k kNB x x       ,再利用 0NA NB   列式化简即可 求出 k . (1)设  2 1 1,A x x ,  2 2 2,B x x , 由 2 1 y x y kx      ,可得 2 1 0x kx   , ∴ 1 2x x k  , 1 2 1x x   , ∴ M 点的横坐标为 2 k ,∴ N 点坐标为 2 ,2 4 k k      . 又∵ 2y x  ,根据导数的几何意义可得,抛物线在点 N 处的切线斜率为 2 | kx y k  , ∴抛物线在点 N 处的切线与直线 AB 平行. (2)由(1)可知, 2 2 1 1,2 4 k kNA x x       , 2 2 2 2,2 4 k kNB x x       , ∴ 2 2 2 2 1 2 1 22 2 4 4 k k k kNA NB x x x x                           2 2 4 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 4 4 16 k k k kx x x x x x x x            2 2 2 4 2 2 231 1 2 1 02 4 4 16 4 4 k k k k kk k                          , ∴ 0k  ,即存在实数 0k  ,使得 0NA NB   . 本题考查直线与抛物线联立,利用韦达定理和中点坐标公式及向量列式化简求值,考查学生的计算能 力,属于中档题. 23．（Ⅰ） 2 3 3 ；（Ⅱ）证明见解析. （Ⅰ） 直接利用锥体的体积公式可求三棱锥 P ABC 的体积；（Ⅱ）由线面垂直的性质可得 A BEP  ， 由等边三角形的性质可得 BE AC ，由线面垂直的判定定理可得 BE平面 PAC . （Ⅰ） 1 3P ABC ABCV S PA   21 3 2 32 23 4 3      ; （Ⅱ）因为 PA  平面 ABC ， BE  平面 ABC ， 所以 A BEP  ， 又因为 ABC 为等边三角形且 E 为 AC 的中点， 所以 BE AC ， 又因为 PA AC A ， ,PA AC  平面 ABC ， 所以 BE平面 ABC . 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进 行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方 法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论 ( || , )a b a b    ；（3）利用面面平行的 性质 , ||a a      ；