高考卷 06 普通高等学校招生全国统一考试（北京卷

高考卷 06 普通高等学校招生全国统一考试（北京卷

绝密★启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工类） （北京卷） 本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，第 I卷 1 至 2 页,第 II卷 3 至 9 页， 共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束。将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（选择题共 40 分） 注意事项： 1．答第 I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求 的一项。 （1）在复平面内，复数 1 i i  对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2）若 a 与 b－c 都是非零向量，则“a·b=a·c”是“a⊥（b－c）”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）在 1，2，3，4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为 （A）36 个 （B）24 个 （C）18 个 （D）6 个 （4）平面 的斜线 AB 交 于点 B，过定点 A 的动直线 l与 AB 垂直，且交 于点 C，则动 点 C 的轨迹是 （A）一条直线 （B）一个圆 （C）一个椭圆 （D）双曲线的一支 （5）已知 (3 1) 4 , 1 ( ) log , 1a a x a x f x x x       是 ( , )  上的增函数，那么 a 的取值范 围是 （A）（0，1） （B）（0， 1 3 ） （C） 1 7   , 1 3   （D） 1 ,1 7   （6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意 1x , 2x ( 1 2x x ). 2 1 2 1( ) ( )f x f x x x   恒成立”的只有 （A） 1( )f x x  （B） ( )f x x （C） ( ) 2f x  （D） 2( )f x x （7）设 4 7 10 1( ) 2 2 2 2 2 ( )nf n n N       ,则 ( )f n 等于 （A） 2 (8 1) 7 n  （B） 2 (8 1) 7 n  （C） 12 (8 1) 7 n  （D） 12 (8 1) 7 n  （8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A、B、 C 的机动车辆数如图所示，图中 1 2 3, ,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 AB  ,BC  CA  的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相 等），则 （A） 1 2 3x x x  （B） 1 3 2x x x  （C） 2 3 1x x x  （D） 3 2 1x x x  绝密★启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文史类） （北京卷） 第 II 卷（共 110 分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题：本大题共 6 小题，每小 题 5 分，共 30 分。把答 案填在题中横线上。 (9） 2 21 3 2lim 1n x x x    的值等于 ________ . (10）在 72( )x x  的展开式中, 2x 的系数是 ________ .（用数字作答） (11）若三点 A（2，2），B（a，0），C（0，b）（0 ,b）(ab 0)共线，则, 1 1 a b  的值等于 ________ (12）在△ABC 中，若 C BA sin A: sinB: sinC =5:7:8. 则∠B 的大小是 ________ (13）已知点 P（x，y）的坐标满足条件 4 , 1, x y y x y       点 O为坐标原点，那么|PO |的最小值 等于 ________ ,最大值等于 ________ . （14）已知 A、B、C三点在球心为 O，半径为 R 的球面上，AC⊥BC，且 AB=R，那么 A、 B 两点间的球面距离为 ________ 球心到平面 ABC 的距离为 ________ . . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15）（本小题共 12 分） 已知函数 1 2 sin(2 ) 4( ) cos x f x x     . （Ⅰ）求 ( )f x 的定义域； （Ⅱ）设 的第四象限的角，且 tan 4 3   ，求 ( )f  的值 （16）（本小题共 13 分） 已知函数 3 2( )f x ax bx cx   在点 0x 处取得极大值 5，其导函数 ( )y f x 的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求： （Ⅰ） 0x 的值；（Ⅱ）a，b，c 的值. (17）（本小题共 14 分） 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中，AB⊥AC，PA⊥平面 ABCD，且 PA=PB，点 E 是 PD 的中点. （Ⅰ）求证：AC⊥PB； （Ⅱ）求证：PB//平面 AEC； （Ⅲ）求二面角 E—AC—B 的大小. （18）（本小题共 13 分） 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a，b，c，且三门课程考 试是否及格相互之间没有影响. 求： （Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由） （19）（本小题共 14 分） 已知点 M（－2，0），N（2，0），动点 P满足条件|PM |－|PN |= 2 2 ，记动点 P的轨 迹为 W. （Ⅰ）求 W 的方程； （Ⅱ）若 A，B 是W上的不同两点，O 是坐标原点，求 OA  、OB  的最小值. （20）（本小题共 14 分） 在数列 na 中，若 a1，a2 是正整数，且 1 2n n na a a   , n  3，4，5，…，则称 na 为“绝对差数列”. （Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （Ⅱ）若“绝对差数列” na 中， 20 3a  , 21 0a  ，数列 nb 满足 1 2n n n nb a a a    n=1，2，3，…，分虽判断当 n时, na 与 nb 的极限是否存在，如果存在，求出其极 限值； （Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 数学（理工类）（北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）D （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）D （8）C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） 1 2  （10）－14 （11） 1 2 （12） 3  （13） 2 10 （14） 1 3 R 3 2 R 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （15）（共 12 分） 解：（Ⅰ）由 cos 0x  得 ( ) 2 x k k Z   ， 故 ( )f x 在定义域为 , , 2 x x k k Z     （Ⅱ）因为 4tan 3    ，且 是第四象限的角, 所以 4 3sin ,cos , 5 5     故 1 2 sin(2 ) 4( ) cos f x      2 21 2( sin 2 cos 2 ) 2 2 cos       1 sin 2 cos 2 cos       22cos 2sin cos cos       2(cos sin )   14 5  . （16）（共 13 分） 解法一： （Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上 ( ) 0f x  ,在(1,2)上 ( ) 0f x  ,在 (2, ) 上 ( ) 0f x  , 故 ( )f x 在 ( ,1) , (2, ) 上递增,在(1,2)上递减,因此 ( )f x 在 1x  处取得极大值 ,所以 0 1x  . (Ⅱ) 2( ) 3 2 ,f x ax bx c    由 (1) 0, (2) 0, (1) 5,f f f    得 3 2 0, 12 4 0, 5, a b c a b c a b c            解得 2, 9, 12.a b c    解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 2( ) ( 1)( 2) 3 2 ,f x m x x mx mx m       又 2( ) 3 2 ,f x ax bx c    所以 3, , 2 , 3 2 ma b m c m    3 23( ) 2 . 3 2 mf x x mx mx   由 (1) 5f  , 即 3 2 5, 3 2 m m m   得 6m  , 所以 2, 9, 12a b c    . （17）（共 17 分） 解法一： （Ⅰ）∵PA⊥平面 ABCD， ∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB⊥AC，AC平面 ABCD， ∴AC⊥PB. （Ⅱ）连接 BD，与 AC 相交于 O，连接 EO. ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴EO∥PB. 又 PB平面 AEC，EO平面 AEC， ∴PB∥平面 AEC. （Ⅲ）取 BC 中点 G，连接 OG，则点 G 的坐标为 ( , ,0) 2 2 a b ,OG  = (0, ,0) 2 b . 又 (0, , ), 2 2 b bOE    ( ,0,0).AC a  , ,OE AC OG AC   EOG 是二面角 E AC B  的平面角 2cos cos , . 2 OE OGEOG OE OG OE OG              135OEOG  二面角 E-AC-B的大小为135o . （18）（共 13 分） 解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A，B，C， 则 ( ) , ( ) , ( )P A a P B b P C c   （Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率 1 ( ) ( ) ( ) ( )p P A B C P A B C P A B C P A B C            (1 ) (1 ) (1 )ab c bc a ac b abc       2 ;ab bc ca abc    应聘者用方案二考试通过的概率 2 1 1 1( ) ( ) ( ) 3 3 3 p p A B p B C p A C      1 ( ) 3 ab bc ca   . （Ⅱ）因为 , , 0,1a b c   ,所以 1 2 2 ( ) 2 3 p p ab bc ca abc     2 (1 ) (1 ) (1 ) 0, 3 ab c bc a ca b       故 1 2p p , 即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大. (19）（共 14 分） 解法一： （Ⅰ）由|PM|－|PN|= 2 2 知动点 P 的轨迹是以 ,M N 为焦点的双曲线的右支，实 半轴长 2a  又半焦距 c=2，故虚半轴长 2 2 2b c a   所以 W 的方程为 2 2 1 2 2 x y   , 2x  （Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为 1 1( , )x y , 2 2( , )x y 当 AB⊥x轴时, 1 2 ,x x 从而 1 2 ,y y  从而 2 2 1 2 1 2 1 1 2.OA OB x x y y x y        当 AB与 x轴不垂直时,设直线 AB的方程为 y kx m  ,与W的方程联立,消去 y得 2 2 2(1 ) 2 2 0.k x kmx m     故 1 2 2 2 , 1 kmx x k    2 1 2 2 2 , 1 mx x k    所以 1 2 1 2OA OB x x y y     1 2 1 2( )( )x x kx m kx m    2 2 1 2 1 2(1 ) ( )k x x km x x m     2 2 2 2 2 2 2 (1 )( 2) 2 1 1 k m k m m k k        2 2 2 2 1 k k    2 42 1k    . 又因为 1 2 0x x  ,所以 2 1 0k   ,从而 2.OA OB    综上,当 AB⊥ x轴时, OA OB   取得最小值 2. 解法二: (Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为，则 1 1( , )x y , 2 2( , )x y ,则 2 2 ( )( ) 2( 1,2).i i i i i ix y x y x y i      令 , ,i i i i i is x y t x y    则 2,i is t  且 0, 0( 1,2)i is t i   所以 1 2 1 2OA OB x x y y     1 1 2 2 1 1 2 2 1 1( )( ) ( )( ) 4 4 s t s t s t s t      1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2, 2 2 s s t t s s t t    当且仅当 1 2 1 2s s t t ,即 1 2 1 2 ,x x y y     时” ”成立. 所以OA  、OB  的最小值是 2. （20）（共 14 分） （Ⅰ）解： 1 2 3 4 5 6 73, 1, 2, 1, 1, 0, 1a a a a a a a       , 8 9 101, 0, 1.a a a   （答 案不惟一） （Ⅱ）解：因为在绝对差数列 na 中 20 3a  , 21 0a  .所以自第 20 项开始，该数列 是 20 3a  , 21 0a  , 22 22 24 25 26 273, 3, 0, 3, 3, ,a a a a a a o       . 即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当 n时， na 的极限 不存在. 当 20n  时, 1 2 6n n n nb a a a     ,所以 lim 6nn b   （Ⅲ）证明：根据定义，数列 na 必在有限项后出现零项.证明如下 假设 na 中没有零项，由于 1 2n n na a a   ,所以对于任意的 n，都有 1na  ,从而 当 1 2n na a  时, 1 2 1 1( 3)n n n na a a a n       ; 当 1 2n na a  时, 2 1 2 1( 3)n n n na a a a n       即 na 的值要么比 1na  至少小 1，要么比 2na  至少小 1. 令 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ), ( ), n n n n n n n a a a C a a a        1,2,3, ,n   则 10 1( 2,3,4, ).A nC C n     由于 1C 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 1 0C  ，这与 0nC  ( 1,2,3, ,n   ) 矛盾. 从而 na 必有零项. 若第一次出现的零项为第 n项，记 1 ( 0)na A A   ，则自第 n项开始，每三个相邻的项周 期地取值 0， A , A , 即 3 3 1 3 2 0, , 0,1, 2,3, , , n k n k n k a a A k a A             所以绝对差数列 na 中有无穷多个为零的项. 绝密★启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）（北京卷）（编辑：ahuazi） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1至 2页， 第Ⅱ卷 3至 9页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡 一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题 卡。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。 （1） 在复平面内，复数 1 i i  对应的点位于（D） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 解： 1 i i  1 1 1 i i i（＋） ＝ ＝－ － 故选 D （2）若 a  与b c   都是非零向量，则“ a b a c       ”是“ ( )a b c     ”的（C） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 解： a b a c        a b a c 0      － ＝  a b c 0    （－）＝  a b c    （－） 故选 C （3）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为 奇数的共有（B） （A）36 个 （B）24 个 （C）18 个 （D）6个 解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有 3 3A 种方法（2）3 个数字中有一个是奇数，有 1 3 3 3C A ，故共有 3 3A ＋ 1 3 3 3C A ＝24 种 方法，故选 B （4）平面 的斜线 AB交 于点 B，过定点 A的动直线 l与 AB垂直，且交 于 点C，则动点C的轨迹是（A） （A）一条直线 （B）一个圆 （C）一个椭圆 （D）双曲线的一支 解：设 l与 l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜 线 AB垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可 知过定点 A与 AB垂直所有直线都在这个平面内，故动点 C 都在这个平面与 平面 的交线上，故选 A （5）已知 (3 1) 4 , 1 ( ) log , 1a a x a x f x x x       是 ( , )  上的减函数，那么 a的取值范围 是（C） （A） (0,1) （B） 1(0, ) 3 （C） 1 1[ , ) 7 3 （D） 1[ ,1) 7 解：依题意，有 0a1 且 3a－10，解得 0a 1 3 ，又当 x1 时，（3a－1）x ＋4a7a－1，当 x1 时，logax0，所以 7a－10 解得 x 1 7 故选 C （6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间 (1, 2)上的任意 1 2 1 2, ( )x x x x ， 1 2 2 1| ( ) ( ) | | |f x f x x x   恒成立”的只有（A） （A） 1( )f x x  （B）   | |f x x （C） ( ) 2xf x  （D） 2( )f x x 解： 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 x x1 1 1| | | | |x x x x x x |x x | － － ＝ ＝ － | 1 2x x 1 2 ， （ ，） 1 2x x 1 1 2 1 x x  1 1 2 1 1| x x － ||x1－x2|故选 A （7）设 4 7 10 3 10( ) 2 2 2 2 2 ( )nf n n N       ，则 ( )f n 等于（D） （A） 2 (8 1) 7 n  （B） 12 (8 1) 7 n  （C） 32 (8 1) 7 n  （D） 42 (8 1) 7 n  解：依题意， ( )f n 为首项为 2，公比为 8 的前 n＋4 项求和，根据等比数列 的求和公式可得 D （8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路 口 , ,A B C的机动车辆数如图所示，图中 1 2 3, ,x x x 分别表示该时段单位时间 通过路段  , ,AB BC CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中， 同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则 20，30；35，30；55，50 （C） （A） 1 2 3x x x  （B） 1 3 2x x x  （C） 2 3 1x x x  （D） 3 2 1x x x  解：依题意，有 x1＝50＋x3－55＝x3－5，x1x3，同理， x2＝30＋x1－20＝x1＋10 x1x2，同理，x3＝30＋x2－35＝x2－5x3x2故选 C 绝密★启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）（北京卷） 第Ⅱ卷（共 110 分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 （9） 2 21 3 2lim 1x x x x    的值等于  _______ 1 2 解： 2 21 3 2lim 1x x x x    ＝ 1 x 1 x 2lim x 1 x 1x    （ ）（ ＋ ） （ ＋ ）（ － ） ＝ 1 x 2 1lim x 1 2x－ ＋ ＝－ － （10）在 72( )x x  的展开式中， 2x 的系数为 14 __________ － （用数字作答）. 解： 7 3r r 7 r r r r 2 r+1 7 7 2T C x 2 C x x － －＝ （ ）（－ ）＝（－ ） 令 7 3r 2 2 － ＝ 得 r＝1 故 2x 的系数为 1 72 C（－ ） ＝－14 （11）若三点 (2, 2), ( ,0), (0, )( 0)A B a C b ab  共线，则 1 1 a b  的值等于 _______ 1 2 解： a 2 2AB  ＝（ － ，－ ）， C 2 b 2A  ＝（－ ， － ），依题意，有（a－2）（b－2） －4＝0 即 ab－2a－2b＝0 所以 1 1 a b  ＝ 1 2 （12）在 ABC 中，若 sin : sin : sin 5 : 7 :8A B C  ，则 B 的大小是 ________ 3  . 解： sin : sin : sin 5 : 7 :8A B C  abc＝578 设 a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦 定理可解得 B 的大小为 3  . （13）已知点 ( , )P x y 的坐标满足条件 4 1 x y y x x       ，点O为坐标原点，那么 | |PO 的 最小值等于 2 ________ ,最大值等于 _________________ 10 . 解：画出可行域，如图所示： 易得 A（2，2），OA＝ 2 2 B（1，3），OB＝ 10 C（1，1），OC＝ 2 故|OP|的最大值为 10， 最小值为 2 . （14）已知 , ,A B C三点在球心为O，半径为R的球面上，AC BC ，且 AB R ， 那么 ,A B 两点的球面距离为 _____________ 3 R ，球心到平面 ABC 的距离为 ______________ 3 2 R . 解：如右图，因为 AC BC ，所以 AB 是截面 的直径，又 AB＝R，所以△OAB 是等边三角形， 所以AOB＝ 3  ，故 ,A B两点的球面距离为 3 R ， 于是O1OA＝30，所以球心到平面 ABC的距离 OO1＝Rcos30＝ 3 2 R. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤。 （15）（本小题共 12 分） 已知函数 1 2 sin(2 ) 4( ) cos x f x x     ， （Ⅰ）求 ( )f x 的定义域； （Ⅱ）设 是第四象限的角，且 4tan 3    ，求 ( )f  的值. 解：（1）依题意，有 cosx0，解得 xk＋ 2  ， 即 ( )f x 的定义域为｛x|xR，且 xk＋ 2  ，kZ｝ （2） 1 2 sin(2 ) 4( ) cos x f x x     ＝－2sinx＋2cosx ( )f  ＝－2sin＋2cos O1 O B A C 由 是第四象限的角，且 4tan 3    可得 sin＝－ 4 5 ，cos＝ 3 5  ( )f  ＝－ 2sin＋2cos ＝ 14 5 （16）（本小题共 13 分） 已知函数 3 2( )f x ax bx cx   在点 0x 处取得极大值 5，其导函数 '( )y f x 的图象经过点 (1,0)，(2,0)，如图 所示.求： （Ⅰ） 0x 的值； （Ⅱ） , ,a b c的值. 解：（1）由导函数 '( )y f x 的图象可知，当 x（－，1） 时， '( )y f x 0，当 x（1，2）时， '( )y f x 0，当 x （2，＋）时， '( )y f x 0，所以当 x＝1 时，函数 3 2( )f x ax bx cx   取 得极大值， 即 x0＝1 （2） '( )y f x ＝3ax2＋2bx＋c，依题意有： (1) (2) 0f f   ， (1)f ＝5即有 3a＋2b＋c＝0 ，12a＋4b＋c＝0，a＋b＋c＝5 解得 a＝2，b＝－9，c＝12 （17）（本小题共 14 分） 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD 中，AB AC ，PA  平面 ABCD，且 PA AB ，点E是PD的中点. （Ⅰ）求证： AC PB ； （Ⅱ）求证： //PB 平面 AEC； （Ⅲ）求二面角 E AC B  的大小. 解：（1）由 PA 平面 ABCD可得 PAAC 又 AB AC ，所以 AC平面 PAB，所以 AC PB （2）如图，连 BD 交 AC 于点 O，连 EO，则 EO 是△PDB 的中位线，EO // PB PB //平面 AEC （3）如图，取 AD 的中点 F，连 EF，FO，则 EF 是△PAD 的中位线，EF // PA 又 PA 平面 ABCD，EF平面 ABCD 同理 FO 是△ADC 的中位线，FO // ABFOAC 由三垂线定理可知EOF 是二 F E O BA C D P 面角 E－AC－D 的平面角.又 FO＝ 1 2 AB＝ 1 2 PA＝EFEOF＝45 而二面角 E AC B  与二面角 E－AC－D 互补，故所求二面角E AC B  的大小为 135. （18）（本小题共 13 分） 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 , ,a b c，且三门课程 考试是否及格相互之间没有影响. （Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理 由） 解：设三门考试课程考试通过的事件分别为 A，B，C，相应的概率为 a，b，c （1）考试三门课程，至少有两门及格的事件可表示为 AB __ C＋A __ B C＋ __ A BC＋ABC， 设其概率为 P1，则 P1＝ab（1－c）＋a（1－b）c＋（1－a）bc＋abc＝ab＋ac＋bc－2abc 设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为 P2，则 P2＝ 1 3 ab＋ 1 3 ac ＋ 1 3 bc （2）P1－P2＝（ab＋ac＋bc－2abc）－（ 1 3 ab＋ 1 3 ac＋ 1 3 bc）＝ 2 3 ab＋ 2 3 ac＋ 2 3 bc －2abc ＝ 2 3 （ab＋ac＋bc－3abc）＝ 2 3 〔ab（1-c）＋ac（1－b）＋bc（1－a）〕0 P1P2即用方案一的概率大于用方案二的概率. （19）（本小题共 14 分） 已知点 ( 2,0), (2,0)M N ，动点 P满足条件 | | | | 2 2PM PN  .记动点 P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W的方程； （Ⅱ）若 ,A B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA OB   的最小值. 解：（1）依题意，点 P的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为： 2 2x y 1 2 2 － ＝ （x0） （2） 当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0， 2 0x 2－ ）， B（x0，－ 2 0x 2－ ），OA OB   ＝2 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋b，代入双曲线方程 2 2x y 1 2 2 － ＝ 中，得： （1－k 2 ）x 2 －2kbx－b 2 －2＝0……………………1 依题意可知方程 1有两个不相等的正数根，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 4k b 4 1 k b 2 0 2kbx x 0 1 k b 2x x 0 k 1             ＝ － （ － ）（－ － ） ＋ ＝ － ＋ ＝ － 解得|k|1 又OA OB   ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k 2 ）x1x2＋ kb（x1＋x2）＋b2＝ 2 2 2 2k 2 42 k 1 k 1 ＋ ＝ ＋ － － 2 综上可知OA OB   的最小值为 2 （20）（本小题共 14 分） 在数列{ }na 中，若 1 2,a a 是正整数，且 1 2| |, 3, 4,5,n n na a a n    ， 则称{ }na 为“绝对差数列”. （Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （ Ⅱ ） 若 “ 绝 对 差 数 列 ” { }na 中 ， 20 213, 0a a  ， 数 列 { }nb 满 足 1 2n n n nb a a a    ， 1,2,3,n  ，分别判断当 n时， na 与 nb 的极 限是否存在，如果存在，求出其极限值； （Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 解：（Ⅰ） 1 2 3 4 5 6 73, 1, 2, 1, 1, 0, 1a a a a a a a       , 8 9 101, 0, 1.a a a   （答案不惟一） （Ⅱ）因为在绝对差数列 na 中 20 3a  , 21 0a  .所以自第 20 项开始，该 数列是 20 3a  , 21 0a  , 22 22 24 25 26 273, 3, 0, 3, 3, ,a a a a a a o       . 即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当 n时， na 的极限 不存在. 当 20n  时, 1 2 6n n n nb a a a     ,所以 lim 6nn b   （Ⅲ）证明：根据定义，数列 na 必在有限项后出现零项.证明如下 假设 na 中没有零项，由于 1 2n n na a a   ,所以对于任意的 n，都有 1na  ,从而 当 1 2n na a  时, 1 2 1 1( 3)n n n na a a a n       ; 当 1 2n na a  时, 2 1 2 1( 3)n n n na a a a n       即 na 的值要么比 1na  至少小 1，要么比 2na  至少小 1. 令 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ), ( ), n n n n n n n a a a C a a a        1,2,3, ,n   则 10 1( 2,3,4, ).A nC C n     由于 1C 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 1 0C  ，这与 0nC  ( 1,2,3, ,n   ) 矛盾. 从而 na 必有零项. 若第一次出现的零项为第n项，记 1 ( 0)na A A   ，则自第n项开始，每三个相 邻的项周期地取值 0， A , A , 即 3 3 1 3 2 0, , 0,1, 2,3, , , n k n k n k a a A k a A             所以绝对差数列 na 中有无穷多个为零的项.