高考数学二轮复习9

高考数学二轮复习9

【师说 高中全程复习构想】（新课标） 高考数学 9.3 随机抽样练 习 一、选择题 1．下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一 个图是( ) 答案：D 2．下列命题中，正确的个数是( ) ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同平行于第三直线，那么这两条直线互相平行； ⑤过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①可能相等，也可能互补；③在空间中不成立，所以②④⑤正确，故选 C. 答案：C 3．已知 a、b、c、d 是空间四条直线，如果 a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么( ) A．a∥b 且 c∥d B．a、b、c、d 中任意两条可能都不平行 C．a∥b 或 c∥d D．a、b、c、d 中至多有一对直线互相平行 解析：若 a 与 b 不平行，则存在平面β，使得 a⊂β且 b⊂β，由 a⊥c，b⊥c，知 c⊥β， 同理 d⊥β，所以 c∥d.若 a∥b，则 c 与 d 可能平行，也可能不平行．结合各选项知选 C. 答案：C 4．如图，M 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 DD1 的中点，给出下列四个命题： ①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB，B1C1 都相交； ②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB，B1C1 都垂直； ③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB，B1C1 都相交； ④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB，B1C1 都平行． 其中真命题是( ) A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 解析：由于两相交直线可确定一个平面，设 l 过 M 点，与 AB，B1C1 均相交，则 l 与 AB 可确 定平面α，l 与 B1C1 可确定平面β，又 AB 与 B1C1 为异面直线， ∴l 为平面α与平面β的交线，如图所示． GE 即为 l，故①正确． 由于 DD1 过点 M，DD1⊥AB，DD1⊥B1C1，BB1 为 AB、B1C1 的公垂线，DD1∥BB1，故②正确． 显然④正确． 过 M 点有无数个平面与 AB，B1C1 都相交，故③错误． 答案：C 5．在三棱锥 PABC 中，P A⊥底面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线 PC 与 AB 所成角的大 小是( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：分别取 PA，AC，CB 的中点 F，D，E，连接 FD，DE，EF，AE，则∠FDE 是直线 PC 与 AB 所成角或其补角． 设 PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE 中，易求得 FD＝ 2a，DE＝ 2a，FE＝ 6a， 根据余弦定理， 得 cos∠FDE＝2a2＋2a2－6a2 2× 2a× 2a ＝－1 2 ， 所以∠FDE＝120°. 所以 PC 与 AB 所成角的大小是 60°. 答案：C 6．如图所示，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，P 为棱 BB1 的中点，则在平面 BCC1B1 内过点 P 且与直线 AC 成 50°角的直线有( )条 A．0 B．1 C．2 D．无数 解析：依题意，直线 AC 与平面 BCC1B1 所成的角为π 4 ，因为直线与平面 所成的角是这条直 线与平面内的直线所成的角中最小的角，所以在平面 BCC1B1 内过点 C 有两条直线与直线 AC 成 50°角，所以在平面 BCC1B1 内过点 P 亦有两条直线与直线 AC 成 50°角，选择 C. 答案：C 二、填空题 7．已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 为 C1D1 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦 值为__________． 解析：取 A1B1 的中点 F，连接 EF，FA，则有 EF∥B1C1∥BC，∠AEF 即是直线 AE 与 BC 所成 的角或其补角．设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2a，则有 EF＝2a，AF＝ 2a 2＋a2＝ 5 a ， AE ＝ 2a 2＋ 2a 2＋a2 ＝ 3a. 在 △ AEF 中 ， cos ∠ AEF ＝ AE2＋EF2－AF2 2AE·EF ＝ 9a2＋4a2－5a2 2×3a×2a ＝2 3 .因此，异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值是2 3 . 答案：2 3 8．如图所示，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段 AB、CD、EF 和 GH 在原 正方体中相互异面的有__________对． 解析：还原如图，相互异面的线段有 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH,3 对． 答案：3 9．已知 a、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则 a、b 在α上的射影可能是： ①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 则在上面的结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号) 解析：①②④对应的情况如下： 用反证法证明③不可能． 答案：①②④ 三、解答题 10．在空间四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，BC＝ 3，且 AD⊥BC，对角线 BD＝ 13 2 ，AC＝ 3 2 ， 求 AC 和 BD 所成的角． 解析：如图所示，分别取 AD、CD、AB、BD 的中点 E、F、G、H，连接 EF、FH、HG、GE、GF. 由三角形的中位线定理，知 EF∥AC，且 EF＝ 3 4 ，GE∥BD，且 GE＝ 13 4 . GE 和 EF 所成的锐角(或直角)就是 AC 和 BD 所成的角． 同理，GH＝1 2 ，HF＝ 3 2 ，GH∥AD，HF∥BC. 又 AD⊥BC，∴∠GHF＝90°， ∴GF2＝GH2＋HF2＝1. 在△EFG 中，EG2＋EF2＝1＝GF2， ∴∠GEF＝90°，即 AC 和 BD 所成的角为 90°. 11．如图，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC 綊 1 2 AD，BE 綊 1 2 FA， G、H 分别为 FA、FD 的中点． (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形． (2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？ 解析： (1)由已知 FG＝GA，FH＝HD，可得 GH 綊 1 2 AD. 又 BC 綊 1 2 AD，∴GH 綊 BC. ∴四边形 BCHG 为平行四边形． (2)方法一，由 BE 綊 1 2 AF，G 为 FA 中点知，BE 綊 FG， ∴四边形 BEFG 为平行四边形． ∴EF∥BG.由(1)知 BG∥CH， ∴EF∥CH，∴EF 与 CH 共面． 又 D∈FH，∴C、D、F、E 四点共面． 方法二，如图，延长 FE、DC 分别与 AB 交于点 M、M′， ∵BE 綊 1 2 AF，∴B 为 MA 中点． ∵BC 綊 1 2 AD，∴B 为 M′A 中点． ∴M 与 M′重合，即 FE 与DC 交于点 M(M′)． ∴C、D、F、E 四点共面． 12．已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 所有的棱长都为 2，E 是 A1B 的中点，F 在棱 CC1 上． (1)当 C1F＝1 2 CF 时，求多面体 ABCFA1 的体积； (2)当点 F 使得 A1F＋BF 为最小时，求异面直线 AE 与 A1F 所成的角． 解析：(1)∵C1F＝1 2 CF，AC＝CC1＝2， ∴CF＝4 3 ， 1AA FCS梯形 ＝10 3 . 由正三棱柱知△ABC 的高为 3且等于四棱锥 B－A1ACF 的高． ∴ 1B A ACFV － ＝1 3 ×10 3 × 3＝10 9 3， 即多面体 ABCFA1 的体积为10 9 3. (2)将侧面 BCC1B1 展开到侧面 A1ACC1 得到矩形 ABB1A1，连接 A1B，交 C1C 于点 F，此时点 F 使得 A1F＋BF 为最小．此时 FC 平行且等于 A1A 的一半，∴F 为 C1C 的中点． 过 E 作 EG∥A1F 交 BF 于 G，则∠AEG 就是 AE 与 A1F 所成的角或所成角的补角． 过 G 作 GH⊥BC，交 BC 于 H，连接 AH， 则 GH＝1 2 FC＝1 2 . 又 AH＝ 3，于是在 Rt△AGH 中， AG＝ AH2＋GH2＝ 13 2 . 在 Rt△ABA1 中，AE＝ 2. ∴△AEG 中，cos∠AEG＝AE2＋GE2－AG2 2AE·GE ＝ 2＋5 4 －13 4 2· 2· 5 2 ＝0， ∴∠AEG＝90°. 故异面直线 AE 与 A1F 所成的角为 90°.