2020年北京市朝阳区六校高考数学模拟试卷(B卷)(4月份) (含答案解析)

2020年北京市朝阳区六校高考数学模拟试卷(B卷)(4月份) (含答案解析)

2020 年北京市朝阳区六校高考数学模拟试卷(B 卷)(4 月份) 一、单项选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1. 已知命题 p： 1䁧 ， 1r m i ，则命题 p 的否定为 A. 1䁧 ， 1r i B. 1䁧 ， 1r iC. 1䁧 ， 1ri D. 1䁧 ， 1r i . 已知集合 1 䁧 ， 香䁧 ，则 A. 香 1䁧 0， 1 B. 䁧1 C. 1 D. 香 1䁧1 香. 下列函数中，图象关于原点对称且在其定义域区间上为增函数的是 A. ሻൌ 香 B. ln 香 1 香 ln 1C. 香 D. 香1 1 4. 设 log 1 香 ， log香 ， log4 ，则 A. B. C. D. 5. 为了缓解交通拥堵，某市从 2015 年开始实施车牌竞价政策，某机构从参加 2019 年 2 月份车牌 竞拍且出价在 1 i 万元的人员中，随机抽取了若干人，对他们的报价进行调查，得到的部分 数据整理结果如下： 报价区间 万元 1䁧 䁧香 香䁧4频数 10 36 40 则在这些竞拍人品中，竞价不小于 5 万元的人数为 A. 30 B. 42 C. 54 D. 80 6. 已知 ， 的夹角是 1 ，且 ， ，则 在 上的投影等于 ； 4 曲线 C 围成区域的面积大于 曲线 C 上任意一点到坐标原点 O 的距离都不超过 2； ； 即横、纵坐标均为整数的点 曲线 C 经过 5 个整点 恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论： ݕ 1r 香 ݕ 和谐美的结合产物，曲线 C： 15. 数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、 则 d 的最小值为________ ． ， t t 设P是圆C上的动点，令 1䁧 . ， 香 1䁧 ，点 1 ݕ 香 1 14. 已知圆 ________． 1 ，且公比为整数，则 香 4 4 ， 5 香 香 中，已知 ൌ 13. 在等比数列 ________． 相对应，则 香 香䁧4 12. 在复平面内，复数 z 与向量 用数字作答 . 中，含 x 项的系数为______ 5 香 11. 二项展开式 䁧 二、填空题（本大题共 5 小题，共 25.0 分） D. 䁧 C. 䁧 B. 䁧 A. 10. 已知函数 有两个极值点，则 a 的取值范围是 A. 210 B. 276 C. 231 D. 253 角形数为 叫作三角形数，它们有一定的规律性，则第 22 个三 1… 9. 古希腊数学家把数 1，3，6，10，15， C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ”为偶函数的 sin 䁧 ”是“ ，则“ 8. 设 5D. 3 C. B. 4 A. 视图，则此三棱锥的最长的棱为 7. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三 A. B. C. D. 5䁧1 1䁧15 15䁧 䁧5 5䁧香频数 2 7 7 3 1 单位：吨 捕鱼量 .某渔业捕捞队对吨位为 40t 的 20 艘捕鱼船一天的捕鱼量进行了统计，如下表所示： 17. 某地因受天气，春季禁渔等因素影响，政府规定每年的 7 月 1 日以后的 100 天为当年的捕鱼期 ，试求 的值． 香 r 䁧 且 4 1香 香 若 Ⅱ 的解析式； 的值及 和 求 Ⅰ ． 对称且两条相邻对称轴之间的距离为 香 的图象关于直线 ൌ 又函数 . ， m ，其中 䁧cos ൌ sin ， 䁧 香cos cos 16. 设向量 三、解答题（本大题共 6 小题，共 85.0 分） 其中正确结论的序号是______． 表示的曲线 C 在第二象限和第四象限． ݕ ݕ 1r 香 ݕ 方程 根据气象局统计近 20 年此地每年 100 天的捕鱼期内的晴好天气情况如下表 捕鱼期内的每个晴 好天气渔船方可捕鱼，非晴好天气不捕鱼 ： 晴好天气 单位：天 5䁧r r䁧ǡ ǡ䁧i i䁧ǡ ǡ䁧1频数 2 7 6 3 2 同组数据以这组数据的中间值作代表 1 估计渔业捕捞队吨位为 40t 的渔船一天的捕鱼量的平均数 ； 若以 1 中确定的 作为上述吨位的捕鱼船在晴好天气捕鱼时一天的捕鱼量． 估计一艘上述吨位的捕鱼船一年在捕鱼期内的捕鱼总量； 已知当地鱼价为 2 万元 吨，此种捕鱼船在捕鱼期内捕鱼时，每天成本为 10 万元 艘；若不捕 鱼，每天成本为 2 万元 艘，请依据往年天气统计数据，估计一艘此种捕鱼船年利润不少于 1600 万元的概率． 18. 已知四棱锥 t 香 ܤ. 底面 ABCD 为菱形， tܤ t ，H 为 PC 上的点，过 AH 的平面分别交 PB，PD 于点 M，N，且 平面 ABCD． 上的最大值 䁧1 在 求函数 处的切线方程 1䁧 在点 求函数 1 ． 1 1 香 ， 1 ln 香 20. 已知：函数 若存在求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由．？ ܤ ܤ 总有 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，试问：在 x 轴上是否在点 D，当 k 变化时， ݕ 香 1 若直线 求 C 的方程； 1 在椭圆上． 香 4 䁧 点 分别为椭圆的左、右焦点， 䁧 ， 1 香 䁧 ， 香 5 的离心率为 1 m m ݕ 19. 已知椭圆 平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值． ，求平面 AMHN 与 香 ，PA 与平而 ABCD 所成角为 t t 若 H 为 PC 的中点， ； t 证明： 1 香 当 ， m 时，试讨论函数 香 香 1 的零点个数． 21. 已知实数 1 ， ， … ， 1ǡ 满足 1 香 … 1ǡ ，且 1 香 香 香 … 1ǡ 香 1 ，证明： 1 香 … 1ǡ ． 【答案与解析】 1.答案：C 解析： 【试题解析】 本题主要考查全称量词命题的否定，属于基础题． 根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可． 解：由已知：命题 p 的否定为： 1䁧 䁧 1r i ， 故选 C． 2.答案：B 解析： 此题考查交集的运算和指数不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题． 根据指数不等式和一元二次不等式的解法求出集合 A，B，再根据交集进行求解即可． 解：集合 1 䁧 香 1 ， 香䁧 䁧1 ，故 A 䁧1 ． 故应选 B． 3.答案：D 解析： 本题考查了基本初等函数的单调性与奇偶性的判断问题，是基础题目． 根据函数的单调性和奇偶性，对选项中的函数进行判断即可． 解： . 函数奇函数， ሻ 香 1 ，在定义域上是减函数，故 A 错误； B. 的定义域为 1䁧 ，所以图像不可能关于原点对称，故 B 错误； C. 香 ，满足 香 ，为偶函数，故 C 错误； D.函数 香1 1 ，满足 香 香 ，是奇函数， 1 m ，则函数 在定义域上 是增函数，故 D 正确， 故选 D． 4.答案：A 解析： 本题考查三个数的大小的比较，考查了对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题．利用对数函数的单调性将 a，b，c 和 0，1 进行比较可得答案． 解： ， ， ， ， 故选 A． 5.答案：C 解析： 本题考查频率分布直方图与频率分布表，属于基础题目． 利用频率分布表及频率分布直方图求出即可． 解：由题意可知，随机抽取的总人数为 1 .51 ， 其中竞价在 4䁧5 万元的人数为 .香 r 人， 故竞价不小于 5 万元的人数为 香 1 香r 4 r 54 人． 故选 C． 6.答案：B 解析： 本题主要考查向量的投影，属于基础题， 先求向量 ，再求 在 上的投影等于 即可． 解：因为 在 上的投影等于 ， 所以 ， 故选 B． 7.答案：D 解析： 首先由三视图还原几何体，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积，判断直观图是解题的关键． 解：三视图表示的几何体为三棱锥 ܤ 香 ，是正方体的一部分， 正方体的棱长为：2， 则此几何体的最长的棱长为： ܤ ܤ 4 4 1 香 ． 故选：D． 8.答案：A 解析： 此题考查了必要条件、充分条件与充要条件，诱导公式，根据充分条件和必要条件的定义是解决本 题的关键，属于基础题． 利用诱导公式结合充分、必要条件性质判断即可． 解：当 时，则有 sin ሻ ，为偶函数，成立； 当 sin 为偶函数时， ， ，不一定 ． 则“ ”是“ sin 为偶函数”的充分不必要条件， 故选：A． 9.答案：D 解析： 本题主要考查了数列递推公式，等差数列求和 . 先由观察知 ൌ1 香 ൌ ൌ 1 ，用累加法求出数列的 通项公式即可． 解：观察可知 ൌ1 香 ൌ ൌ 1 ， 则 ൌ ൌ 香 ൌ香1 ൌ香1 香 ൌ香 … 香 1 1 11.答案：80 本题考查了函数的零点问题，考查图象的交点问题，考查转化思想，数形结合思想，是一道常规题． 的图象有 2 个交点，从而求出 a 的范围即可． ݕ 香 1 与 ݕ 求出函数的导数，问题转化为 故选：D． ， 䁧 即 a 的范围是 的图象有两个交点， ݕ 香 1 与 ݕ 时， m 即 m 由图可知当 的图象相切， ݕ 与 ݕ 香 1 时，直线 即 当 的图象，如图示： ݕ 香 1 与 ݕ 画出函数 的图象有 2 个交点， ݕ 香 1 与 ݕ 即 有 2 个不同的实根， 香 1 有 2 个极值点，故方程 ， 香 1 ，得 香 令 ， 香 ， 香 解析：解： 10.答案：D 故选 D． ． 5香 香 则 ， ൌൌ1 ൌ ൌ 香 1 ൌ 香 … 1 ݕ ， ݕ ݕ 香 1 ݕ 1 t t ， t䁧ݕ 先设 本题主要考查了圆有关的最值问题和两点间距离公式，属于中档题． 解析： 14 香 4 5 14.答案： 故答案为 512． ， 51 ǡ 1 香 4 香 ， 舍去 1 香 ，或 香 香 4 ， 4 香 4 ， 香 i 或 4 i ， 香 香 4 解得 ， 香4 香 香 ， 香 4 4 ， 5 香 香 解： 本题考查了等比数列的性质和通项公式，属于基础题． 解析： 13.答案：512 故答案是 5． ， 5 4 香 所以 ， 香 香 4 所以 相对应， 香 香䁧4 解：因为复数 z 与向量 ，即可求出结果，是简单题． 香 香 4 本题考查复数的模，先求出复数为 解析： 12.答案：5 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 1，求出 r 的值，即可求得含 x 项的系数． 故答案为：80． ， i i 5 ，可得含 x 项的系数为 ，求得 香 香 5 1 令 ， 香香5 5香 香 1 5 香 5香 1 5 中，通项公式为 5 香 解析：解：二项展开式 ， 对称且两条相邻对称轴之间的距离为 香 的图象关于直线 因为函数 ， 根据 Ⅰ 16.答案：解： ． 故答案为： 正确． 表示的曲线 C 在第二象限和第四象限，故 ݕ 1r 香 ݕ ，得方程 ݕ 由 都错误； 和 则 ， 䁧 香 ， 香 䁧 香 ， 香 䁧 ， 䁧 与曲线 C 相切于点 4 ݕ 即圆 ， ݕ 解得 联立， ݕ 1r 香 ݕ 和 4 ݕ 将 正确； 则 ， 时取等号 ݕ 当且仅当 4 ݕ ， ݕ 1r ݕ 1r 香 ݕ 解： ． 判断 ݕ ；由图形及 可判断 ݕ ，解 ݕ 1r 香 ݕ 和 4 ݕ ；联立 ，可判断 4 ݕ 利用基本不等式得 本题考查曲线与方程的应用，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题． 解析： 15.答案： ． 14 香 4 5 故答案为 ． ൌ 14 香 4 5 所以 ， r 香 5 min 5 香 1 ݕ 所以 为圆上任一点到原点距离的平方， ݕ ． ݕ ݕ 香 1 ݕ 1 t t ， t䁧ݕ 解：设 的最小值，进而得出 d 的最小值． ݕ 为圆上任一点到原点距离的平方，得出 ， ǡ5 得： 4 香 1r 由 ， ݕ 1r 香 1 香 1 香 4 香 则年利润为 设每年 100 天的捕鱼期内晴好天气天数为 x ， 所以预计一艘上述吨位的捕鱼船下一年在捕鱼期内的捕鱼量大约 1160 吨； 吨， 1r ǡ香 11ri 又 天 ， 55 r5 ǡ ǡ5 r i5 香 ǡ5 ǡ香 1 此吨位的捕鱼船 20 年的此地的晴好天气天数的平均值为： 吨 ； ǡ.5 1.5 ǡ 1ǡ.5 ǡ .5 香 ǡ.5 1 1r 1 此吨位的捕鱼船一天的捕鱼量的平均数为： 1 17.答案：解： 中结论，求出 再通过两角和差公式计算，即可得到答案． Ⅰ 由已知条件以及 Ⅱ 的解析式 的值，进而得到 和 的方程，解得 和 根据数量积公式以及三角恒等变换得到 ，再根据已知条件，得到 Ⅰ 解析：本题考查三角形函数的图象与性质以及三角恒等变换，属于中档题． ． i 香 15 4 15 1 4 1 香 所以 ，所以 ． r 香 ， 香 r 䁧 即 又 知： Ⅰ 由 Ⅱ 所以 ， ． ， ܤ t 且， ܤ 知 1 解：由 ． t 所以， ܤ 所以 ， ܤt 平面 面 且平面 平面 PBD， ܤ ，平面 AMHN ܤ 因为 ． t ܤ 平面 PAC，所以 t 因为 平面 PAC， ܤ 所以 平面 PAC， t ，且 AC、 t 因为 ， ܤ t ，所以 t ܤt 因为 的中点， 且 O 为 AC、BD， ܤ 因为 ABCD 为菱形，所以 PO． 证明：连结 AC 交 BD 于点 O，连结 1 18.答案：解： ，再分析即可． 4 香 1r ，由 4 香 ݕ 1r 香 1 香 1 香 设每年 100 天的捕鱼期内晴好天气天数为 x，则年利润为 吨； 1r ǡ香 11ri 又 天 ， 55 r5 ǡ ǡ5 r i5 香 ǡ5 ǡ香 1 此吨位的捕鱼船 20 年的此地的晴好天气天数的平均值为： 吨； 1r 1 ǡ.5 香 .5 ǡ 1ǡ.5 ǡ 1.5 ǡ.5 此吨位的捕鱼船一天的捕鱼量的平均数为： 1 解析：本题主要考查了平均数，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望，属于中档题． ． .4 预测一艘此种捕鱼船年利润不少于 1600 万元的概率为 ， .4 香香 又 100 天的捕鱼期内的晴好天气天数不低于 75 的频率为 一艘此种捕鱼船年利润不少于 1600 万元，即捕鱼期内的晴好天气天数不低于 75， .䁧ݕ ， 1䁧ݕ1 ，并设 䁧ܤ 设存在定点 ； 4 1 ݕ ǡ 所求 C 的方程为 ． 5 ， ， 香 解得 䁧 香 4 香 5 由题可知 1 19.答案：解： 的余弦值． t 香 香 能求出二面角 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 t ， ， 平面 ABCD，分别以 t 推导出 ． t 由此能证明 t. ܤ ，平面 PAC ܤ 连结 AC 交 BD 于点 O，连结 PO，推导出 1 系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 解析： ． 14 香 1 所以所求锐二面角的余弦值为 ． 14 香 1 ൌ ൌ ሻ 则 ， 记二面角的大小为 ， 1 0， 䁧 平面 ABCD 的法向量为 ， 香 香 0， ൌ 1䁧 ，得 1 ，令 1 香 香 ൌ 面 香 ݕ ܤ ൌ 则 ， y， ൌ 䁧 记平面 AMHN 的法向量为 ． 香 1 1， t 䁧 ， 1， 香 香䁧 ， 1 0， 䁧 香 香 面 香 ， 2， 䁧 ܤ 所以 ， 1 0， 䁧 香 面 香 ， 0， 香 香䁧 ， 1， 䁧 ， 0， 香䁧 ， 0， 䁧 ，则 t 设 为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， t ， ， 分别以 ． t 1 ，所以 t 因为 ， t 1 t ， t 香 所以 ， t 所以 PA 与平面 ABCD 所成的角为 平面 ABCD， t ，所以 t 所以 ，且 O 为 AC 的中点， t t 因为 . max 1 上单调递增 䁧1 在 上恒成立， 䁧1 在 时， 1 ，即 1 1 若 ， 1 䁧 令 时， m ，当 1 1 香 的最大值为 此时 上单调增； 䁧1 在 ， m ， 当 ， m 1香 香 1 ． ； ݕ 香 处的切线方程为： 1䁧 在点 函数 ， 1 得： 香 1 20.答案：解： 即可证明． 4 . ǡ 香香r ǡ 1 ， 4 ǡ 1i 1 得到 4 1 䁧 ݕ ǡ ݕ 香 1 由 .䁧.ݕ ， 1䁧ݕ1 ，并设 䁧ܤ 设存在定点 ，即可得到 C 的方程； 5 ， ， 香 由题可知 1 于中等题； 解析：本题主要考查了直线的斜率应用和椭圆的概念及标准方程和直线与椭圆的位置关系应用，属 满足题意． ǡ䁧ܤ 存在定点 ． ǡ ， i 香 ǡ 即 ． 4 ǡ i香ǡ 4 ǡ 4 1 ǡ 香ǡ香1i 1i 可得 ． 1 香 1 1 ． 1香 香 1香1 1 整理为 ， 香 香1 1香 1香1 ． 香 ݕ 1香 ݕ1 即， ܤ ܤ ， ܤ ܤ ． 4 ǡ 香香r ǡ 1 ， 4 ǡ 1i 1 ． 香 香r ǡ 香 1i 4 ǡ ，消 y 可得 4 1 ݕ ǡ ݕ 香 1 由 1 香 ， 若 1 1 ，即 m 1 时， 当 䁧 1 时， m ， 单调递增； 当 1 䁧1 时， ， 单调递减， ， 综上所述： 1 当 1 时， 的最大值为 1 1 香 当 m 1 时 的最大值为 1 香 ln 香 由题意知： ln 香 则 香 香 m ， 即 时 恒成立， 在 䁧 上单调增且 ， ln 香 4 m ， 由零点存在性定理可知： 在 䁧 上存在唯一的零点 . 即在 䁧 上存在唯一零点 . m 即 m 令 则 ， 此时， 在 䁧 上单调递减，在 䁧 上单调递增， 令 ln 香 1 而 1 香 1 得 1 ， 在 䁧 1 单调增，在 1 䁧 上单调减，得 1 ， 1 㤵 当 1 时， ，此时函数 有且只有一个零点 ， 㤵 当 1 即 1 ，且 1 ， 在 䁧 有唯一的零点 1 ， 下面先证： ln 香 1 1 设 ln 1 香 1 ， 1 香 1 香1 得： 1 当 䁧1 时 单调减，当 1䁧 时 单调增， 1 即 ln 香 1 1 得证 当且仅当 1 时取等号 ； 1香 香 1 香1 1香 ， 1香 1 ， ， 由零点存在性定理可知： 在 1香 䁧 上存在唯一零点， 有两个零点． 香 㤵 m 1 时， m 1 且 ， 1 ， m 1 m 1 ， 又有 m ， 由零点存在性定理可知： 在 䁧 与 䁧 上各存在唯一零点，同上 㤵 可知 有两个 零点 .综上所述： 或 1 时， 有一个零点； m 且 1 时， 有两个零点 . 解析：本题考查了导数的几何意义以及利用导数求最值和导数中的零点问题，是一道难题． 1 根据导数求切线的斜率，根据点斜式求切线方程； 根据函数的单调性求函数的极值，然后和端点的函数值比较求最值，注意 b 的取值范围 香 求导分析函数单调性，利用零点存在定理讨论零点个数． 21.答案：证明：根据条件知： 1 香 香 香 香 香 4 … 1ǡ 香 1 香 1 香 … 1ǡ ， 另一方面，令 1 香 香 香 … 1ǡ 香 1 ，则 1 香 、 香 香 、 … 、 1ǡ 香 1中每个数或为 m 或为 香 ， 设其中有 k 个 m， 1ǡ 香 个 香 ，则 1 香 香 香 香 香 4 … 1ǡ 香 1 1ǡ 香 香 香 1ǡ ， 由 知： 香 1ǡ ， 而 香 1ǡ 为奇数，不可能为 0， 所以 ， 于是知： 1 ， 香 ， 香 4 ， … ， 1r 1ǡ ， 1ǡ 1 ， 所以 1 1ǡ 1 ， 即得 1 ， 从而 1 香 … 1ǡ ． 解析：本题主要考查了分析法，根据已知条件一步步分析得到结论，首先根据已知条件得 1 香 香 香 香 香 4 … 1ǡ 香 1 ，然后令 1 香 香 香 … 1ǡ 香 1 ，进而求解即可．