2016-2017 学年度第一学期高二级数学科(文)期中考试试卷

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2016-2017 学年度第一学期高二级数学科(文)期中考试试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分为 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内 相应的位置上，用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域 内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整. 第一部分选择题(共 60 分) 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，把答案填涂在答题卡相应的区域． 1.已知集合  | 1 1M x x    ，  |N x y x  ，则 M N  （ ） A.  | 0 1x x  B.  | 0 1x x  C.  | 0x x  D.  | 1 0x x   2.已知下列命题： ①命题“存在 2, 1 3x R x x   ”的否定是“任意 2, 1 3x R x x   ”； ②已知 p q、 为两个命题，若“ p 或 q ”为假命题，则“非 p 且非 q 为真命题”； ③“ 2a  ”是“ 5a  ”的充分不必要条件； ④“若 0xy  ，则 0x  且 0y  ”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的 序号是（ ） A．①②③ B．②④ C．② D．④ 3.淘宝网站对 2015 年“双十一”购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共 500000 份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽 198000 人；家 居用 品 94000 人；化妆品 116000 人；家用电器 92000 人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网 站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了 116 人， 则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为（ ） A．92 B．94 C．116 D．118 4.这个程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图 中“m MOD n”表示 m 除以 n 的余数），若输入的 m ， n 分别为 495，135， 则输出的 m =（ ） A．0 B．5 C．45 D．90 5．如图，在边长为 a 的正方形内有不规则图形  . 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形  内和正 方形内的豆子数分别为 ,m n ，则图形  面积的估计值为( ) A． n ma2 B． m na2 C． n ma D． m na 6.已 知向量       2 3,2 1BA ,       2 1,2 3CB ,则 ABC =（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 7．已知函数     sin 0,0f x x         ，直线 6x  是它的一条对称轴，且 2 ,03      是 离该轴最近的一个对称中心，则  （ ） A． 4  B． 3  C． 2  D． 3 4  8．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为 2 的正三角形、 俯视图轮廓为正方形（单位：cm），则此几何体的侧面积是（ ） A.8 2cm B. 14 2cm C. 232 cm D. 234 cm 9．给出如下列联表： 患心脏病 患其它病 合 计 高血压 20 10 30 不高血压 30 50 80 （第 12 题） 合 计 50 60 110 参照公式 ))()()(( )( 2 2 dbcadcba bcadnK   ， 001.0)828.10( 2 KP ， 010.0)635.6( 2 KP 得到的正确结论是（ ） A．有 99%以上的把握认为“高血压与患心脏病无关” B．有 99%以上的把握认为“高血压与患心脏病有关” C．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病无关” D．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病有关” 10． 已知 0, 0a b  ，若不等式 3 1 03 m a b a b    恒成立，则 m 的最大值为（ ） A． 3 B． 4 C． 9 D． 16 11. )0,3(),0,3( 21 FF  P 为曲线 145  yx 上任意一点，则（ ） A． 1021  PFPF B． 1021  PFPF C． 1021  PFPF D． 1021  PFPF 12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第 k 行有 k 个奇数），其中第i 行第 j 个数表示为 ija ， 例如 1542 a ，若 2015ija ，则  ji （ ） A．29 B．28 C．27 D．26 第二部分非选择题 (共 90 分) 二．填空题：本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答卷的相应位置 13.如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，则残差平方和等于 ，解释变量与预 报变量之间的相关系数等于 . 14.若方程 131 22  m y m x 表示椭圆，则 m 的取值范围是 ． 15.若 ,x y 满足约束条件 1 0 0 4 0 x x y x y          则 y x 的最大值为 . 16.已知 )(xf 是定义在 R 上的增函数，函数 )1(  xfy 的图象关于点（1，0）对称．若对任意的 Ryx , ，不等式 0)8()216( 22  yyfxxf 恒成立，则当 3x 时， 22 yx  的取值范围 是 . 三．解答题：必做大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分共 10 分）在 ABC△ 中，角 A B C， ， 对应的三边长分别为 a b c， ， ，点 a b， 在 直线  sin sin sin sinx A B y B c C   上． （1）求角 C 的值； （2）若 2 2 32cos 2sin2 2 2 A B  ，且 A B ，求 c a ． 18.（本小题满分共 10 分） 已知{ }na 是等差数列，满足 1 3a  ， 4 12a  ，数列{ }nb 满足 1 4b  ， 4 20b  ，且数列{ }n nb a 是 等比数列． （1）求数列{ }na 和{ }nb 的通项公式； （2）求数列{ }nb 的前 n 项和． 19.（本小题满分 12 分）如图,四棱锥 P ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直, 底面 ABCD 是 60ABC   的菱形, M 为 PC 的中点. (1) 在棱 PB 上是否存在一点 Q ,使得 / /QM PAD面 ?若存在,指 出点Q 的位置并证明；若不存在,请说明理由； (2) 求点 D 到平面 PAM 的距离. 20.（本题满分 12 分） 某校高二奥赛班 N 名学生的物理测评成绩（满分 120 分）分布直方图如下，已知分数在 100-110 的 学生数有 21 人． （1）求总人数 N 和分数在 110-115 分的人数 n ； （2）现准备从分数在 110-115 的 n 名学生（女生占 1 3 ）中任选 2 人，求其中恰好含有一名女生的概 率； （3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前 7 次考试的数学 成绩 x （满分 150 分），物理成绩 y 进行分析，下面是该生 7 次考试的成绩． 数学 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 P A B C D M 已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的，求 出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ．若该生的数学 成绩达到 130 分，请你估计他的物理成绩大约是多少？ （参考公式：      1 2 1 ˆ ˆˆ n i i i n i i x x y y b a y bx x x           ， ．） 21.（本小题满分 14 分）已知椭圆 12 2 2 2  b y a x （ 0a b  ）经过点 6 1,2 2      ，离心率为 2 2 ， 动点  2,t （ 0t  ）． (1)求椭圆的标准方程； (2)求以OM （O 为坐标原点）为直径且被直线3 4 5 0x y   截得的弦长为 2 的圆的方程； （3）设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点  ，证明线段  的 长为定值，并求出这个定值． 22.（本小题满分12分）已知函数 ( ) | | 1mf x x x    ( 0)x  ． （1）当 2m  时，判断 ( )f x 在 ( ,0) 的单调性，并用定义证明； （2）若对任意 xR ，不等式 (2 ) 0xf  恒成立，求 m 的取值范围； （3）讨论 ( )f x 零点的个数． 2016-2017 学年第一学期 高二级(文科)数学期中考试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B C A D B A B D B C 13. 0， 1 14. (1,2) (2,3)U 15. 3 16. )49,13( 16.解：∵函数 y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称 ∴函数 y=f（x）的图象关于点（0，0）对 称，即函数 y=f（x）为奇函数，则 f（﹣x）=﹣f（x） 又∵f（x）是定义在 R 上的增函数且 f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0 恒成立 ∴（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2 ）成立∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2 ∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4 恒成立 设 M （x，y），则当 x＞3 时，M 表示以（3，4）为圆心 2 为半径的右半圆内的任意一点， 则 x2+y2 表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方,由图可知，最短距离为 OA= ，最大距离 OB=OC+BC=5+2=7∴13＜x2+y2＜49 17.解：（1）由题得  sin sin sin sina A B b B c C   ，……1 分 由正弦定理 sin sin sin a B c A B C   得   2 2a a b b c   ，即 2 2 2a b c ab   ,……2 分 由余弦定理得 2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab    ，结合 0 C   ，得 3C  ．……4 分 （2）因为 2 22cos 2sin cos cos2 2 A B A B   2cos cos 3A A      ……6 分 1 3 3cos sin sin2 2 6 2A A A         ，……7 分 因为 2 3A B   ，且 A B ，所以 0 3A   ， ∴ 6 6 2A     ，∴ 6 3A    ，……9 分 所以 6A  ， 2B  ， 3C  ，∴ 3c a  ．……10 分 18.解：（1）设等差数列{ }na 的公差为 d ，由题意得 4 1 12 3 33 3 a ad     ，……1 分 所以 1 ( 1) 3 ( 1,2 )na a n d n n      ．……3 分 设等比数列{ }n nb a 的公比为 q ，由题意得 3 4 4 1 1 20 12 84 3 b aq b a      ，解得 2q  ．……4 分 P A B C D MQ O 所以 1 1 1 1( ) 2n n n nb a b a q      ，所以 13 2n nb n   ( 1,2 )n   ．……6 分 （2）由（1）知 13 2n nb n   ( 1,2 )n   ．数列{3 }n 的前 n 项和为 3 ( 1)2 n n  ，……7 分 数列 1{2 }n 的前 n 项和为 1 21 2 11 2 n   ．……9 分 所以，数列{ }nb 的前 n 项和为 3 ( 1) 2 12 nn n    ．……10 分 19.解：(1)当点Q 为棱 PB 的中点时, / /QM PAD面 ,证明如下:………………1 分 取棱 PB 的中点Q ,连结QM ,QA,又 M 为 PC 的中点,所以 1/ / = 2QM BC QM BC且 , 在菱形 ABCD 中 //AD BC 可得 / /QM AD ………………3 分 、 QM PAD 面 , AD PAD 面 , 所以 / /QM PAD面 ………………5 分 (2)点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离, 由(Ⅰ)可知 PO AD ,又平面 PAD 平面 ABCD , 平面 PAD  平面 ABCD AD , PO  平面 PAD ,所以 PO  平面 ABCD , 即 PO 为三棱锥 P ACD 的体高. ………………7 分 在 Rt POC 中, 3PO OC  , 6PC  , 在 PAC 中, 2PA AC  , 6PC  ,边 PC 上的高 AM  2 2 10 2PA PM  , 所以 PAC 的面积 1 1 10 1562 2 2 2PACS PC AM       ,………………9 分 设点 D 到平面 PAC 的距离为 h ，由 D PAC P ACDV V  得 1 1 3 3PAC ACDS h S PO    …… 10 分 ,又 23 2 34ACDS    ,所以 1 15 1 3 33 2 3h     , ………11 分 解得 2 15 5h  , 所以点 D 到平面 PAM 的距离为 2 15 5 . ………………12 分 (还有直接法或者顶点转化法) 20.解：（1）分数在 100-110 内的学生的频率为 1 (0.04 0.03) 5 0.35P     ，……1 分 所以该班总人数为 21 600.35N   ，……2 分 分数在 110-115 内的学生的频率为 2 1 (0.01 0.04 0.05 0.04 0.03 0.01) 5 0.1P          ， 分数在 110-115 内的人数 60 0.1 6n    ．……4 分 （2）由题意分数在 110-115 内有 6 名学生，其中女生有 2 名，设男生为 1 2 3 4, , ,A A A A ，女生为 1 2,B B ，……5 分 从 6 名学生中选出 2 人的基本事件为： 1 2( , )A A ， 1 3( , )A A ， 1 4( , )A A ， 1 1( , )A B ， 1 2( , )A B ， 2 3( , )A A ， 2 4( , )A A ， 2 1( , )A B ， 2 2( , )A B ， 3 4( , )A A ， 3 1( , )A B ， 3 2( , )A B ， 4 1( , )A B ， 4 2( , )A B ， 1 2( , )B B 共 15 个．……7 分 其中恰好含有一名女生的基本事件为 1 1( , )A B ， 1 2( , )A B ， 2 2( , )A B ， 2 1( , )A B ， 3 1( , )A B ， 3 2( , )A B ， 4 1( , )A B ， 4 2( , )A B ，共 8 个，所以所求的概率为 8 15P  ．……9 分 （3） 12 17 17 8 8 12100 1007x         ； 6 9 8 4 4 1 6100 1007y          ；…… 10 分 由于 x 与 y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到 ^ 497 0.5994b   ， ^ 100 0.5 100 50a     ，∴线性回归方程为 0.5 50y x  ，……11 分 ∴当 130x  时， 115y  ．……12 分 21.解：（1）由题意得 2 2 c a  ①因为椭圆经过点 6 1( , )2 2P ， 所以 2 2 2 2 6 1( ) ( )2 2 1a b   ② 又 2 2 2a b c  ③ 由①②③解得 2 2a  ， 2 2 1b c  ． 所以椭圆的方程为 2 2 12 x y  ……….…..4 分 （2）以 OM 为直径的圆的圆心为 (1, )2 t ，半径 2 14 tr   ， 故圆的方程为 2 2 2( 1) ( ) 12 4 t tx y     ．……5 分 因为以OM 为直径的圆被直线3 4 5 0x y   截得的弦长为 2 ， 所以圆心到直线3 4 5 0x y   的距离 2 2 1 1 14 2 t td r      ．…6 分 所以 | 3 2 5| 5 2 t t   ，…………..7 分 即 2 | 2 2 | 5t t  ， 故 4 4 5t t  ，或 4 4 5t t   ， 解得 4t  ，或 4 9t   ． 又 0t  ，故 4t  ．………8 分 所求圆的方程为 2 2( 1) ( 2) 5x y    ．………..9 分 （3）方法一：过点 F 作OM 的垂线，垂足设为 K ． 直线OM 的方程为 2 ty x ，直线 FN 的方程为 2 ( 1)y xt    ． 由 2 2 ( 1) ty x y xt       ，解得 2 4 4x t   ，故 2 2 4 2( , )4 4 tK t t  ．….……11 分  2 2 2 2 2 2 16 4 4| | ( 4) ( 4) 4 tOK t t t      ； 2| | 4OM t  ．……………….……………12 分 又 2 2 2 4| | | | | | 4 24ON OK OM tt       . | | 2ON  ．所以线段ON 的长为定值 2 ．14 分 方法二：设 0 0( , )N x y ，则 0 0( 1, )FN x y  ， (2 , )OM t ， 0 0( 2 , )MN x y t   ， 0 0( , )ON x y ．  FN OM  ， 0 02( 1) 0x ty   ．  0 02 2x ty  ．…………….11分 又 MN ON  ， 0 0 0 0( 2) ( ) 0x x y y t    ．  2 2 0 0 0 02 2x y x ty    ． 2 2 0 0| | 2ON x y   为定值．……………….14分 22.解：（1）当 2m  ，且 0x  时， 2( ) 1f x x x     是单调递减的.……1 分 证明：设 1 2 0x x  ，则 1 2 1 2 1 2 2 2( ) ( ) 1 ( 1)f x f x x xx x          2 1 1 2 2 2( ) ( )x x x x     2 1 2 1 1 2 2( )( ) x xx x x x    2 1 1 2 2( )(1 )x x x x    又 1 2 0x x  ，所以 2 1 0x x  ， 1 2 0x x  ， 所以 2 1 1 2 2( )(1 ) 0x x x x    所以 1 2( ) ( ) 0f x f x  ，即 1 2( ) ( )f x f x ， 故当 2m  时， 2( ) 1f x x x     在 ( ,0) 上单调递减的． ……4 分 （2）由 (2 ) 0xf  得| 2 | 1 02 x x m   ，变形为 2(2 ) 2 0x x m   ，即 22 (2 )x xm   而 2 21 12 (2 ) (2 )2 4 x x x     ，当 12 2 x  即 1x   时 2 max 1(2 (2 ) ) 4 x x  ，所以 1 4m  ． ……7 分 （3）由 ( ) 0f x  可得 | | 0( 0)x x x m x    ，变为 | | ( 0)m x x x x    令 2 2 , 0( ) | | , 0 x x xg x x x x x x x         ……9 分 作 ( )y g x 的图像及直线 y m ，由图像可得： 当 1 4m  或 1 4m   时， ( )f x 有 1 个零点．……10 分 当 1 4m  或 0m  或 1 4m   时， ( )f x 有 2 个零点；……11 分 当 10 4m  或 1 04 m   时， ( )f x 有3个零点． ……12分