高二数学人教a必修5练习：2-5-1等比数列的前n项和word版含解析

高二数学人教a必修5练习：2-5-1等比数列的前n项和word版含解析

课时训练 13 等比数列的前 n 项和 一、等比数列前 n 项和公式的应用 1.已知等比数列的公比为 2,且前 5 项和为 1,那么前 10 项的和等于( ) A.31 B.33 C.35 D.37 答案:B 解析:∵S5=1,∴ 1 ( 1 - 25 ) 1 - 2 =1,即 a1= 1 31 . ∴S10= 1 ( 1 - 210 ) 1 - 2 =33. 2.设首项为 1,公比为 2 3 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则( ) A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 答案:D 解析:Sn= 1 ( 1 - ) 1 - 1 - 1 - 1 - 2 3 1 - 2 3 =3-2an, 故选 D. 3.(2015 福建厦门高二期末,7)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 27a2-a5=0,则 4 2 等于( ) A.-27 B.10 C.27 D.80 答案:B 解析:设等比数列{an}的公比为 q, 则 27a2-a2q3=0,解得 q=3, ∴ 4 2 1 ( 1 - 4 ) 1 - · 1 - 1 ( 1 - 2 )=1+q2=10.故选 B. 4.(2015 课标全国Ⅰ高考,文 13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和.若 Sn=126,则 n= . 答案:6 解析:∵an+1=2an,即 +1 =2, ∴{an}是以 2 为公比的等比数列. 又 a1=2,∴Sn= 2 ( 1 - 2 ) 1 - 2 =126. ∴2n=64,∴n=6. 5.设数列{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列,则 a1+|a2|+a3+|a4|= . 答案:15 解析:由数列{an}首项为 1,公比 q=-2,则 an=(-2)n-1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则 a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15. 二、等比数列前 n 项和性质的应用 6.一个等比数列的前 7 项和为 48,前 14 项和为 60,则前 21 项和为( ) A.180 B.108 C.75 D.63 答案:D 解析:由性质可得 S7,S14-S7,S21-S14 成等比数列,故(S14-S7)2=S7·(S21-S14). 又∵S7=48,S14=60,∴S21=63. 7.已知数列{an},an=2n,则 1 1 + 1 2 +…+ 1 = . 答案:1- 1 2 解析:由题意得:数列{an}为首项是 2,公比为 2 的等比数列,由 an=2n,得到数列{an}各项为:2,22,…,2n,所 以 1 1 + 1 2 +…+ 1 1 2 + 1 22 +…+ 1 2 .所以数列 1 是首项为 1 2 ,公比为 1 2 的等比数列.则 1 1 + 1 2 +…+ 1 1 2 + 1 22 +…+ 1 2 1 2 1 - 1 2 1 - 1 2 =1- 1 2 . 8.在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·an-1=128,Sn=126,求 n 和 q. 解:∵a2an-1=a1an,∴a1an=128. 解方程组 1 128 , 1 + 66 , 得 1 64 , 2 , ①或 1 2 , 64 .② 将①代入 Sn= 1 - 1 - =126,可得 q= 1 2 , 由 an=a1qn-1,可得 n=6. 将②代入 Sn= 1 - 1 - =126,可得 q=2, 由 an=a1qn-1 可解得 n=6. 综上可得,n=6,q=2 或 1 2 . 三、等差、等比数列的综合应用 9.已知数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,设 cn= ,Tn=c1+c2+…+cn,当 Tn>2 013 时,n 的最小值为 ( ) A.7 B.9 C.10 D.11 答案:C 解析:由已知 an=2n-1,bn=2n-1, ∴cn= =2×2n-1-1=2n-1. ∴Tn=c1+c2+…+cn=(21+22+…+2n)-n=2× 1 - 2 1 - 2 -n=2n+1-n-2. ∵Tn>2 013, ∴2n+1-n-2>2 013,解得 n≥10, ∴n 的最小值为 10,故选 C. 10.已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 S7=77,a1,a3,a11 成等比数列. (1)求 an; (2)若 bn= 2 ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0),由 S7= 7 ( 1+7 ) 2 =77 可得 7a4=77,则 a1+3d=11 ①. 因为 a1,a3,a11 成等比数列,所以 3 2 =a1a11,整理得 2d2=3a1d. 又 d≠0,所以 2d=3a1 ②, 联立①②,解得 a1=2,d=3,所以 an=3n-1. (2)因为 bn= 2 =23n-1=4·8n-1,所以{bn}是首项为 4,公比为 8 的等比数列. 所以 Tn= 4 ( 1 - 8 ) 1 - 8 23+2 - 4 7 . (建议用时:30 分钟) 1.在等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189,则 n 的值为( ) A.5 B.4 C.6 D.7 答案:C 解析:显然 q≠1,由 an=a1·qn-1,得 96=3×qn-1. 又由 Sn= 1 - 1 - ,得 189= 3 - 96 1 - . ∴q=2.∴n=6. 2.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1,S3,S2 成等差数列,则{an}的公比等于( ) A.1 B. 1 2 C.- 1 2 D. 1+ 5 2答案:C 解析:设等比数列{an}的公比为 q, 由 2S3=S1+S2,得 2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q,整理得 2q2+q=0, 解得 q=- 1 2 或 q=0(舍去).故选 C. 3.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比 q 等于( ) A.2 B. 1 2 C.4 D. 1 4答案:C 解析:a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得 a4-a3=3a3 即 a4=4a3,∴q=4. 4.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 5 2 =( ) A.11 B.5 C.-8 D.-11 答案:D 解析:设等比数列的首项为 a1,公比为 q, 则 8a1q+a1q4=0,解得 q=-2. ∴ 5 2 1 ( 1 - 5 ) 1 - 1 ( 1 - 2 ) 1 - 1 - 5 1 - 2 =-11. 5.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的 是 ( ) A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X) C.Y2=XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X) 答案:D 解析:Sn=X,S2n-Sn=Y-X,S3n-S2n=Z-Y, 不妨取等比数列{an}为 an=2n, 则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列, ∴(Y-X)2=X(Z-Y),整理得 D 正确. 6.某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍,则需要 的最少天数 n(n∈N*)等于 . 答案:6 解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以 2 为首项,2 为公比的等比数列,所以 Sn= 2 ( 1 - 2 ) 1 - 2 =2(- 1+2n)≥100, ∴2n≥51, ∴n≥6. 7.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 1 的前 5 项和 为 . 答案: 31 16解析:易知公比 q≠1. 由 9S3=S6,得 9× 1 ( 1 - 3 ) 1 - 1 ( 1 - 6 ) 1 - , 解得 q=2. ∴ 1 是首项为 1,公比为 1 2 的等比数列. ∴其前 5 项和为 1 - 1 2 5 1 - 1 2 31 16 . 8.在等比数列{an}中,若 a1= 1 2 ,a4=-4,则公比 q= ;|a1|+|a2|+…+|an|= . 答案:-2 2n-1- 1 2解析:设等比数列{an}的公比为 q,则 a4=a1q3,代入数据解得 q3=-8,所以 q=-2;等比数列{|an|}的公比为 |q|=2,则|an|= 1 2 ×2n-1, 所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= 1 2 (1+2+22+…+2n-1)= 1 2 (2n-1)=2n-1- 1 2 . 9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a2=4,a3+a4=17. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= 2 +2 ,证明数列{bn}是等比数列并求其前 n 项和 Tn. (1)解:设等差数列{an}的公差为 d. 由题意知 3 + 4 1 + 2 + 1 + 3 17 , 2 1 + 4 , 解得 a1=1,d=3, ∴an=3n-2(n∈N*). (2)证明:由题意知,bn= 2 +2 =23n(n∈N*), bn-1=23(n-1)=23n-3(n∈N*,n≥2), ∴ - 1 23 23 - 3 =23=8(n∈N*,n≥2), 又 b1=8,∴{bn}是以 b1=8,公比为 8 的等比数列. ∴Tn= 8× ( 1 - 8 ) 1 - 8 8 7 (8n-1). 10.已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈R),且 1 1 , 1 2 , 1 4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对 n∈N*,试比较 1 2 + 1 22 + 1 23 +…+ 1 2 与 1 1 的大小. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 由题意可知 1 2 2 1 1 · 1 4 , 即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而 a1d=d2, 因为 d≠0,∴d=a1=a. 故通项公式 an=na. (2)记 Tn= 1 2 + 1 22 +…+ 1 2 , 因为 2 =2na, 所以 Tn= 1 1 2 + 1 22 + … + 1 2 = 1 · 1 2 1 - 1 2 1 - 1 2 1 1 - 1 2 . 从而,当 a>0 时,Tn< 1 1 ; 当 a<0 时,Tn> 1 1 .